Formulario per prova scritta di Metodi numerici

Programma del Corso di “Metodi Numerici con elementi di Programmazione” Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale.

Il formulario in questione tratta dei seguenti temi:

I. Nozioni Introduttive. Errori e loro propagazione. Condizionamento di un problema. Stabilità degli algoritmi.

II. Soluzione di equazioni e sistemi di equazioni non lineari Separazione e approssimazione della radici con metodi iterativi. Ordine di convergenza ed efficienza dei procedimenti iterativi. Metodo di bisezione. Metodi iterativi a un punto. Metodo delle approssimazioni successive; metodo di Newton-Raphson; metodo delle secanti con estremi variabili; metodo a tangente fissa; metodo delle secanti con un estremo fisso. Criteri d’arresto. Sistemi di equazioni non lineari: metodo di Newton-Raphson e metodo del punto unito.

III. Algebra lineare numerica Richiami su matrici e spazi vettoriali: matrici speciali (simmetriche, definite positive, ecc.), spazi vettoriali normati, norme di vettori, norme di matrici, matrici convergenti. Contrazioni, teorema del punto unito. Generalità sui sistemi lineari. Condizionamento di un sistema lineare. Generalità sui metodi iterativi: convergenza, velocità asintotica di convergenza, criteri d’arresto. Metodi di Jacobi, di GaussSeidel, SOR e loro convergenza. Metodi diretti: fattorizzazione LU; algoritmo di sostituzione per sistemi triangolari. Calcolo dell’inversa di una matrice. Metodo di eliminazione di Gauss con pivoting parziale, Metodo di Thomas.

IV. Soluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie Soluzione numerica del problema di Cauchy, definizioni e concetti base. Errore di troncamento locale, errore globale. Consistenza, stabilità, convergenza dei metodi. Metodi one-step espliciti: metodo di Eulero-Cauchy, Metodo di Heun, Metodi di Runge Kutta. Convergenza dei metodi one-step espliciti. Sistemi di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine. Metodi impliciti. Metodi predictorcorrector. Problemi ai limiti. Metodi alle differenze finite per la soluzione numerica di problemi ai limiti lineari e non lineari. Convergenza, stabilità e consistenza. Estrapolazione di Richardson.

V. Approssimazione di dati e funzioni Generalità sul problema dell’approssimazione: spazi di funzioni approssimanti, criteri di approssimazione, fonti di errore nell’approssimazione. Approssimazione polinomiale ai minimi quadrati. Interpolazione polinomiale; generalità; errore di troncamento, errore propagato, funzione di Lebesgue. Espressione di Lagrange del polinomio interpolatore ed espressione dell’errore di troncamento. Formula di Newton alle differenze divise. Formula di Newton alle differenze finite. Stima dell’errore di interpolazione. Convergenza dei polinomi interpolatori. Funzioni Spline. Spline naturali.

VI. Integrazione numerica Formule di quadratura interpolatorie: concetti base, grado di precisione, resto ed errore di propagazione. Formule di Newton–Cotes: formula del trapezio, formula di Cavalieri-Simpson, formule generalizzate dei trapezi e delle parabole. Criterio di Runge, estrapolazione di Richardson. Convergenza delle formule di quadratura.