Formulario per Calcolo delle probabilità e Statistica

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O+4 5($ (,-Dove Γ(g) = 5 J e5∫ Dopo aver invertito si!(0,1)Bernoulli 1~A(1, :), 0 ≤ : ≤ 1, 1 ∈ 6 '#ha . Definiamo la!' (!)Legge del Chi 1~i 9(1) = !8(1 = 1) = : ; 8(1 = 0) = 1 − : sua matrice JacobianaChe si comporta <=>(1) = 2!quadrato con9(1) = :; <=>(1) = :(1 − :) come:! #grado di densità) * come $ &Schema !"##" ,F GF G >(-) >(-)! "(! " "8(1 = ,) = HI! , ≤ > J , ≤ ! − K n.Ipergeom. >- >I*+) ~ =  ÄF G &'N1 >(E) >(E)Legge di Cauchy 9(1) !I! JW4WQJ" U(5) => !>K K+>−! >- >I<=>(1) !I! JW4WQJ)'c(1 + 59(1) = ! ∗ ; <=>(1) = ∗ Ricordare poi che:(K 'K+> + >) K + > − 1 $!1Legge (9:;-(7) !'∗1 +7 ($," &) =( 9(1) = JU(5) = J ! (,*'1lognormale di!Geometrica 1~LJIM(:); 8(1 = ,) = :(1 − :) a5√2c ! ! " )$($, &), *($, &)+ ∗$

"& $'"((*) = . /. − 12 (,+'(M, )param. a!+$(1(k-insucc. N(,) = 8(1 ≤ ,) = 1 − − :) ~ )||det ( −1O1−: 1−:prima di T) Per ottenere la densitàFormule Generali e proprietà9(1) = ; <=>(1) = ': : del nuovo vettore aleat7 7) ∑ ∑Probabilità condizionata: Probabilità totale: Marginale discreta X: 8(1 = 5 = 8(1 = 5 , n = o ) = : integrare in 2$.% % = %==&$ =&$!($Geometrica 8(1 = ,) = :(1 − :) 8(T ∩ A) 8(l) = 8(T ∩ A) ∗ 8(A) + 8(T ∩ A) ∗ "%&$ "%&$∑ ∑GMarginale discreta Y: 8Fn = o = 8(1 = 5 , n = o ) = :1 1−: = % = %=8(T|A) =Modificata 8(T)9(1) = ; <=>(1) = , M=!H= MJMI>4= 8(A) Addizioni da ricordare(T 1° succ.) ': : +4 -Indipendenza: Formula di Bayes: - X,Y Poisson allora3, 4,Ricordare che e cheU(5) e5 = 1 N(5) = U(5) e5,∫ ∫!Poisson O (4 (4)8(T ∗ 8(A|T ) X+Y = Poisson(3 + 4)(,(!);

8(T ∩ A) = 8(T)8(A)1~8 8(1 = ,) = J * > +4% % ? ?)FN(1)G., Momento di X ordine K èU(5) = 9(5 = 5 U(5)e5∫|A)8(T =,! - e6~89::9(;, 3)% (48(A) >-9(1) = O ; <=>(1) = O 4!IPQ>J O = !: allora<~89::9(=, 3)∑Mancanza di memoria (discrete positive): Discr. :qJ p = r=5(q, l) =PPI>= 4M:IWQ=>J 9(1) = 5 * :8(5 ∈ T) = ; : % % % X+Y =89::9(; + =, 3)4−1 %Pascal +48(p = 4) = 8(p ≤ 4) − 8(p ≤ 4 − 1)8(p > ! + M|p > !) = 8(p > M) Cont. : 9(1) = 5 * U(5)e5∫;! %(!(18(1 = ,) = R S : − :) - T,S Discrete, allora- ∈A (4(T i-esimo #,−1 ,'#-,E ∑' ' P(T+S = k) = P(T =∑ ) (1)/ (o) Convoluz.: 8(1 = 5, n = t − 5) = qJ p = r4!(q, l) =PPI>= 4M:IWQ=>J <=>(1) = 9(1 − 9 ≥ 08 = 8(5, o) 8, ,(1 − :) -.#-∈Fsuccesso) DB|D h)P(S = k − h)9(1) = ; <=>(1) = ∑ 3(4 = 5) = 3(4 > 5) = 3(7 > 5, 8 > 5) -Iv(1) = 9(1n) − 9(1)9(n)(discreta)8(5,

t - 5) = u(t)-,E / (5)8 = 8(5, o) 8' -: : BD|BSerie notevoli Disuguagliuanza di Chebichev, TLC e intervalli Vettori Aleatori ContinuiDensità del vettore Distribuzioni marginali X, Y:<=>(1) Esprime la probabilità che la v.a. X8(|1 - 9(1)| > \) <= - +4aleatorio:si allontani dalla sua media per più (5)' N = 8(1 <= 5) = e} U(}, v)ev∫ ∫B (4 (4+4 +4di E' probabilità bassa.\. e5 U(5, o)eo = 1 E +4∫ ∫ (o)N = 8(n <= o) = e} U(}, v)e}∫ ∫(4 (4 D (4 (41 + ⋯ + 1 - !` La media di una variabile si può Indipendenza: Densità marginali di X , Y:$ "8R <= tS = approssimare per n molto grande ) (5 ) (o ) (-)>J +4U(5 , o = U * Ua√! (5) $U = = U(5, o)eo∫6 6 B 6 D 6 BI (41 >-con la fdd di di una variabilef(t) Convoluzione Z=X+Y:! (E)>J +4((- )/'= f(t) = w J (o) %U = = U(5, o)e5∫')conp~x(0,1) <=>(1 = a DF√2c (4% >E(t)U = U(5,

t - 5)∫(4 Ka FIntervallo di confidenza di livelloy = [1 ± f ] Densità Z=X-Y: Densità di Z=aX+bY+c: Densità di Z=Y/X:$(5" per la media nota o ignota1 − g `√! ' +4F I(L(M- $ (Q) |5|U(5,(t) U = o)e5U = U(5, 5 − t) (t) ∫∫ U = U . / ∗ KK K - (4F |*|*