Formulario metodi matematici per l'ingegneria

NB

Se g(t) prolungamento T₀-periodico di f allora

(ϕ(t) ∈ L²(|ℝ|))}

Plancherel

Difusco energia del segnale

moduli in tutto complesso!

NB

Se U(t) → Û(f)

x + iy x = -iy

estrando un reale e ƒ-trasformabile

NB

data Û(f), Re [Û(f)] è pari e Im [Û(f)] è dispari

se U è reale e pari → Û è reale e pari

se U è pari → Û è pari

TRASFORMATA DI FOURIER

1. un segnale aperiodico u(t) limitato è B-trasformabile se   ∫_R lim u(t) e^-2πjft dt ∈ L¹(R)

2. In tal caso definisco trasformata di Fourier di u_i : R → R   ũ(f) = ∫_R u(t) e^-2πjft dt

DUALITÀ:

  i, u(t)↔ũ(f) ⟹ ũ(t)↔u(−f)   u(−t)↔ũ(−f)

Proprietà:

• ũ(f) ... [equations] ... M(f)
• M(t) ... [functions]

Moltovoli...

• rect(t)↔sinc(f)
• Δ(t)↔sinc²(f₀)
•   1 → ...   1
•   tⁿu(t)e → ...ⁿ!

ANTITRASFORMATA

Se ũ è B-trasformabile e esplora a tutti , allora  u(t) = ∫_-∞^+∞ ũ(f) e^2πjft df

 if ∈ L¹ ... (Cous)  if M ∈ L¹(R) allorà

  se M ha durata limitata   ... (Paley-Wiener)

[SERIE di FOURIER]

Ogni segnale T-periodico o su un intervallo di ampiezza T può essere espresso come sovrapposizione di segnali trigonometr. con freq. kω₀ = 2πk/T₀

• F. TRIGONOMETRICA

M(t) = d₀/2 + Σ [a_k cos(kω₀t) + b_k sin(kω₀t)]

• F. EXP

M(t) = M̂₀ + Σ M̂_k e^ikω₀t

• AMPIEZZA + FASE

M(t) = β₀/2 + Σ β_k cos (kω₀t + Θ_k)

con

• M̂_x = a_k - ib_k/2
• c_u = β_k e^iΘ_k
• a_x = 2 Re(M̂_x)
• b_k = -2 Im(M̂_x)

→ M̂_x = ∫_T M(t) e^ikω₀t dt

a_k = 2/T ∫₀^T M(t) cos(kω₀t) dt

b_k = 2/T ∫₀^T M(t) sin(kω₀t) dt

• se M pari b_k = φ ; se dispari a_k = φ (∀k)

• se reale M̂_k = M̂^*__-k

M(t) e^-ikω₀t₀

M(t) = ∑ M̂_k e^ikω₀t

= 1/2 [M(t₀) + M^*(t₀)]

[CONVERGENZA S. F.]

1. TIPO: ENERGIA se M(t) Limitato
2. TIPO: PUNTUALE " " Limitato ^ regolare ^ tutti t₀
3. TIPO: UNIFORME " " Limitato ^ regolare ^ tutti e continuo

|P(M(t))| = [(d₀/2)² + Σ_k=1^+∞ a_k + b_k/2 Σ |c_k|]²