Formulario metodi matematici per l'ingegneria

Concetti di trasformazione e periodicità

Se g(t) è un prolungamento T₀-periodico di un segnale M(t) B-trasformabile, allora:

g_k = 1 / T₀ ∫_-T0/2^T₀/2 M(τ) e^iκf₀ 1 / T₀ ∫₀^T₀ M(τ)κ = f Plancherel definisco energia del segnale

E[ M(t)] = E[ M^{^}(f)] ∫_-∞^+∞| M(t)|² dt = ∫_-∞^+∞|M^{^}(f)|² df

NB² se u(t) → u^{^}(f) Re [u^{^}(f )] = ℑ [ 1/2 (u(t) + u(-t)) ]

ℑm [u^{^}(f )] = ℑ [1/2i (u(t) - u(-t)) ]

Proprietà delle trasformazioni

NB³ data u(t), Re[u^{^}(f )] è pari e ℑm[u^{^}(f )] è dispari

[u^{^}] è pari e Ag[u^{^}(f )] è dispari

Se u è reale e pari ⇒ u^{^} è reale e pari

Se u è reale e dispari ⇒ u^{^} è immaginario puro ma anche vero... se u è pari ⇒ u^{^} è pari se u è dispari ⇒ u^{^} è dispari

Considerazioni (determine con L¹, L²)

Se u ∈ L¹ ∩ L² ⇒ necessariamente u ≠ 0

Se u^{^} ∈ L² ⇒ u ∈ L¹

Proprietà di linearità e periodicità

NB se g(t) prolungamento T_o-periodico del segnale m(t) β-trasformabile allora

g_k =  ∫_⁢ β}

• Proprietà: linearità Hermitian (se U cauli), _{U(n-N) _⊃ U (z): z^-N}
• δ(n) → 1 d(n-K) → _{n-k , U(n)→ ^z─── z^-1}, nU(n) → z ^dU─── dzaⁿU(n) → ^z───z-a,aⁿH(n) → ^z───z-a^U(t)─── a^δ(n) A H(n)a^-nK, z───(z-a)^{k+1H(n=K) z-n} = ^+∞∑_-∞H(n)z^-n

Serie di Fourier

[...] n _{e^cos(w₀n)U(n)} → ^z────zi[U(^z────e^iω ] +U(^z────e^-iω ]^esr _(wn)U(n)z ────zi[U(^z────e^iω] - U(^z────e^-iω Antitrasformata^{U(n) = ₁ ────––2πi ∮ _Cρ(0)U(t)zn-1 dz = _N(n-v₀)───Σ_{K Res(U(z): 2-n-1 zu} ─ num (U(z)) - deg( denu U(z))───}

Espando ^U(z) olomorfa al di fuori di un certo `cpm` con al più un comportamento di tipo polo o sing. elim. per z = 0(per z→∞ U(z) ha polo di ordine ν₀ se ν₀>φ, sing. eliminabile se ν₀ = φ) zero di ordine ν₀ se νo n per z→otutti i piasioni!

Serie di Fourier è ogni segnale T-periodico s su un intervallo di ampiezza T può essere espresso come sovrapposizione di segnali trigonometrci completi.

Forma trigonometrica

F. TRIGONOMETRICA

M(t) = ₀/₂ + ∑_k=1^∞(a_k cos(kω₀t) + b_k sen(kω₀t) )

Forma esponenziale

F. EXP:

M(t) = ₀ + ∑_k=-∞^+∞ î_k e^i₀t M(t) = ₀/₂ + ∑_n=1^∞ _n cos (n₀t + _n)

Con î_n = a_n - ib_n/₂   c_n = _ne^i_n a_n = z Re(î_n)   b_k = -z Im(î_n)

î_n = ₁/_T∫₀^T M(t) e^-in₀t dt  a_k = z/_T ∫₀^T M(t) cos(n₀t) dt   b_a = z/_T ∫₀^T M(t) sin(n₀t) dt

Proprietà di convergenza

[LHT OHK] Se n pari _k = Φ Se dispari a_k = Φ Se reale î_n = î*, M(t) e λM(t) hanno stesse î_n M(t - Ç) → î_n e^-in₀t   M(t) e^in₀t → î_k-n

[CONVERGENZA SIF] I TIPO: II TIPO: III TIPO: _{Tk = π B0kM = ∫0^T M(t) dt = ∑k=-∞^+∞ |înn|²}