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O

e Momento Risultante del Sistema e sono entrambi dei vettori liberi

1.1 Trasporto

Sia S un Sistema di vettori applicati e O,O’ due poli, allora si ha:

1.2 Coppia di vettori

Un sistema costituito da due soli vettori di uguale modulo e direzione, ma con verso opposto , si dice una

coppia di vettori:

Il momento risultante di questo particolare sistema di vettori applicati è:

Mentre il vettore risultante è banalmente il vettore nullo

1.4 Invariante scalare

Si definisce invariante scalare la seguente quantità scalare, che, è bene osservare, non dipende dal polo:

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1.5 Riduzione di un Sistema di vettori applicati

1.5.1 Se R = 0 e M = 0, il sistema è equilibrato;

O

1.5.2 Se R = 0 e M 0, il sistema si riduce ad una coppia,

≠

O

1.5.3 Se R 0 e I = 0, il sistema si riduce ad un vettore applicato in un punto della

≠

retta di applicazione del risultante :

Di seguito sono riportati alcuni sottocasi:

Sistema di vettori paralleli:

S= {( ) ‖̂ ‖ };

, Ι = ̂ , = 1 i = 1,2, … , n

Sistema di vettori concorrenti in un polo:

S= {( ) };

, Ι ∥ i = 1,2, … , n

Sistema di vettori piani

S= {( )

, Ι = x ̂ + y ̂ i = 1,2, … , n}

1.5.4 Se R 0 e I 0, il sistema si riduce ad una forza applicata e ad una coppia. Il

≠ ≠

momento della coppia risulta parallelo al risultante ed ha minimo modulo se si

sceglie come polo di riduzione un punto dell’asse centrale.

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2. GEOMETRIA DELLE MASSE

2.1 Baricentro

Caso discreto :

Caso continuo:

2.2 Momenti d’Inerzia

Caso discreto :

Caso continuo:

Teorema di Huygens - Steiner

2.3 : momento d’inerzia del sistema rispetto all’asse a parallelo ad a e passante per il baricentro;

G

m: massa totale del sistema;

d: distanza tra i due assi.

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Per tutti i sistemi piani vale:

2.4 Prodotti d’Inerzia

Trasporto dei Prodotti d’Inerzia

2.5

Dati due sistemi di riferimento S baricentrale (per cui x = y =0) e un sistema di

G G

riferimento S’ con origine in A e assi x’, y’, z’ paralleli rispettivamente a x,y,z risulta:

dove (x ,y ) sono le coordinate del punto A nel sistema di riferimento baricentrale

A A

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Tabella dei Momenti d’Inerzia di figure elementari

Tensore d’Inerzia

2.6

Proprietà:

a. è una matrice 3x3;

b. è simmetrica;

c. è semidefinita positiva (autovalori non negativi)

Direzioni e momenti principali d’Inerzia

2.7

Poichè la matrice d’inerzia è simmetrica, allora essa è diagonalizzabile, esiste quindi una terna di versori

detta terna principale d’inerzia, rispetto alla quale il tensore è diagonale e che soddisfano la seguente

relazione:

Si definiscono momenti principali d’inerzia rispetto a O gli autovalori corrrispondenti agli autovettori di

I o

Si definiscono direzioni principali d’inerzia rispetto a O gli assi individuati dagli autovettori di I o

Siano , , gli autovalori, necessariamente reali, del tensore d’inerzia valutato nel punto O, allora si

possono avere i seguenti casi:

a. esiste un’unica base di autovettori;

≠ ≠ →

b. sono direzioni principali tutte le rette contenute nel piano e la direzione associata a ;

= ≠ →

c. tutte le retti uscenti da O sono direzioni principali d’inerzia.

= = →

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Proprietà:

- Data una figura piana, ogni asse di simmetria materiale è un asse principale d’inerzia;

- Due dei momenti principali d’inerzia rappresentano il massimo e il minimo

momento d’inerzia rispetto a tutte le rette passanti per un punto,

- Ad autovalori distinti corrispondono autovettori ortogonali;

direzioni principali d’Inerzia

2.8 Determinazione delle

Supponiamo di conoscere , e di una figura piana, si presentano i seguenti 3 casi:

1. Se = e = 0, allora qualunque coppia di assi ortogonali ne piano xy è principale.

2. Se = ma 0, allora gli assi principali formano un angolo di 45° con gli assi originali

≠

(x,y) θ

3. Infine se e allora gli assi principali formano un angolo con gli assi originali

≠ ≠ 0,

(x,y) dato da:

3. CINEMATICA

Atto di moto rigido

3.1

Dati due punti A e B appartenenti ad un corpo rigido le rispettive velocità v e v sono

A B

legate dalla seguente relazione

dove ω è il vettore velocità angolare

Teorema di Chasles

3.2

Dato un moto rigido piano con ω , se sono note le direzioni, non parallele delle velocità v e v

≠0 A B

(non parallele) per due punti A e B solidali al corpo rigido, allora il centro di istananea rotazione

(CIR) è il punto di intersezione tra le perpendicolari a v e v condotte per A e B

A B

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3.3 Quantità Meccaniche per sistemi di punti

Quantità di moto:

Momento Angolare rispetto ad un polo Ω:

= ∑

Ω

⋀

Energia Cinetica:

3.4 Cinematica dei sistemi vincolati

Un vincolo è bilatero se la relazione che lo traduce è un'uguaglianza, ovvero se vale

DEF#1

f( , ,..., ,..., ; t) = 0

;,

Si dice invece unilatero se la relazione precedente è una disuguaglianza

Un vincolo è fisso se la relazione che lo traduce non dipende esplicitamente dal tempo, ovvero

DEF#2

se si può scrivere:

f( , ,..., ,..., )

;,

Si dice invece mobile se la relazione dipende esplicitamente dal tempo

Un vincolo è olonomo se è possibile trovare una relazione che lo traduce e che dipende solo

DEF#3

dalle coordinate dei punti e non dalle loro velocità, ovvero:

{ }

f( , ,..., ; t)

Si dice invece anolonomo se relazione che lo traduce contiene necessariamente le velocità dei

punti.

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3.5 Esempi di vincoli Incastro

L'incastro blocca qualsiasi movimento. L'asta in gura non può né traslare né ruotare.

In termini di atto di moto, la velocità del punto di incastro deve essere nulla e la velocità angolare

dell'asta deve essere nulla. La formula fondamentale dell'atto di moto rigido impone allora che tutti i

punti dell'asta abbiano velocità nulla. Cerniera fissa

La cerniera fissa blocca la traslazione del punto O. È permessa però la rotazione, evidenziata dalla

variabile angolare θ. In termini di atto di moto, la velocità del punto O deve essere nulla

Cerniera relativa

In questo caso è bloccata la traslazione relativa delle due aste, i cui estremi devono rimanere sempre

in contatto. È però permessa la rotazione relativa, evidenziata dalla variabile angolare θ. In termini

di atto di moto, le velocità dei due estremi a contatto delle aste devono essere uguali.

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Carrello

Il carrello permette all’asta di traslare in direzione parallela al vincolo e di ruotare. I movimenti

permessi sono evidenziati dalle variabili s e θ. In termini di atto di moto, la velocità del punto

estremo dell’asta, vincolato dal carrello, ha componente solo orizzontale

Puro Rotolamento

Il vincolo di puro rotolamento, è un vincolo con attrito. In assenza di attrito il disco striscerebbe e

non potrebbe rotolare. La presenza dell'attrito è quindi fondamentale per avere rotolamento. Questo

fatto implica che la reazione vincolare esercitata dalla guida abbia una componente tangenziale,

dovuta all'attrito. Quando si vogliono esplicitare le reazioni vincolari nel puro rotolamento, si

devono quindi introdurre due forze, una tangente e una normale al vincolo, e non solo quella

normale.

In termini di atto di moto, tale vincolo si esplica, se la guida è ferma, come segue:

= 0

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4. STATICA DEI SISTEMI

4.1 Principio dei Lavori Virtuali

Condizione necessaria e sufficiente affinchè una configurazione C sia d’equilibrio per un sistema

meccanico soggetto a vincoli ideali e bilateri è che:

4.2 Teorema di Stazionarietà del Potenziale

Per sistemi soggetti a vincoli ideali con forze tutte conservative risulta:

dove U(q) è il potenziale delle forze attive conservative.

Le configurazioni di equilibrio sotto le precedenti ipotesi possono trovarsi indipendentemente

OSS:

sia con il PLV sia con il Teorema di Stazionarietà del potenziale, in quanto le component

generalizzate del lavoro virtuale corrispondono esattamente alle derivate parziali del potenziale

rispetto ai k gradi di libertà

4.3 Equazioni cardinali della Statica

Condizione necessaria per l’equilibrio di un sistema meccanico è che siano soddisfatte le due

equazioni di equilibrio alla traslazione e di equilibrio alla rotazione rispetto ad un punto A:

che danno luogo, per sistemi piani, alle seguenti 3 equazioni scalari:

Nelle equazioni cardinali entrano in gioco tutte le forze esterne, sia attive che reattive.

OSS:

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5. DINAMICA DEI SISTEMI

5.1 Potenza in un atto di moto rigido:

Per un arbitrario moto rigido con assegnato sistema di forze si ha:

R M

dove il punto O è solidale con il corpo rigido, e sono rispettivamente il vettore risultante e il

o

momento risultante del sistema rispetto al polo O.

OSS: La Potenza e il Lavoro Virtuale sono due quantità scalar aventi le stesse componenti

generalizzate, possiamo quindi passare dal Lavoro Virtuale alla Potenza a meno di sostituire lo

spostamento virtuale δp con la corrispondente velocità v

5.2 Equazioni cardinali della Dinamica ̇ ( )

=

̇ Ω̇ ( )

+ =

⋀

5.3 Teorema dell’Energia Cinetica

dove П è la potenza di tutte le forze, sia interne sia esterne.

OSS Le due equazioni cardinali della dinamica e il Teorema dell’Energia Cinetica danno

:

la stessa informazione sull’equazione del moto

5.4 Teorema di decomposizione del