Formulario Matematica finanziaria

TASSI EQUIVALENTI:

1

Lineare : i : , i : ; Esponenziale: i : (1+i) -1

sem trim q

2 4

3. LEGGE IPERBOLICA (legge dello sconto commerciale) : viene utilizzata raramente e per tempi brevissimi.

Si utilizza per attualizzare → v

(0; t

) → 1- i * t

VALORE COMPLESSIVO DELL’OPERAZIONE FINANZIARIA IN t → W (0; t

)

W (X; t ) → ∑ *

( ;

) + ∑ * (

; )

≤

>

Se un’operazione è equa in t allora: M (X; t ) = - V (X; t

)

TIR: tasso interno di rendimento → tasso che rende equa un'operazione finanziaria secondo una legge

esponenziale. PG

2

TITOLI A CEDOLA FISSA (TCF/BULLET BOND/COUPON BOND)

TAN: tasso annuo nominale con il quale si calcolano le cedole

Tasso cedolare : i =

c .

q

i * = (1+ i ) -1

c 1/

q

i = (1+ i *) -1

c

Una tipologia di TCF è rappresentata dai BTP : buoni poliennali del tesoro la cui scadenza va da 10 a 35 anni con

cedola semestrale

.

VALUTARE UN TCF (BTP)

TCF = TCN + RENDITA

-

n -t*h(

0

;t) -

P = C*(1+ i ) = C * e = C * e δ *

TCN −

− δ

1

−( 1

+

*) 1

−(

)

P = R * = R *

R δ

* −

1 −

−

δ

1

−(

1

+

*) 1

−(

)

P (semestrale)

= C* i * = C* i *

R c c δ /2

* −

1

DURATION DI UN TCF −

− ⎡⎢ ⎤

1 + 1 − ( 1

+

)

*( 1

+

) + − *

*

⎥ * +

*

⎣ ⎦

D = =

( 1

+ ) −

1

TCF − +

− 1 − (

1 + )

⎡ ⎤

( 1

+

) +

*

⎢ ⎥

⎣ ⎦

1

*

1

*

( 0

;

1

)+

2

*

2

*

(

0

;

2

)

D = (per tempi brevi)

TCF

*

(

0

;

1

)+

2

*

( 0

;

2

)

DURATION DI UN TCN = SCADENZA

RENDITA ( immediata , posticipata

, temporanea e a rate costanti annuali

)

−

1

− ( 1

+

)

VA = R * n= n. rate

DURATION DI UNA RENDITA ( rata costante, posticipata, annuale, temporanea e immediata

)

1

+

D = −

R

( 1

+

) −

1 −

1

− ( 1

+

) -k -k

RENDITA DIFFERITA : VA = R * * (1+

i

) , dove k= differimento (1+i) non è altro che v(0;k)

1

+

DURATION k

+ , dove k rappresenta il differimento

−

( 1

+

) −

1 − 1

1

−( 1

+

)

⎡⎢ ⎤

RENDITA ANTICIPATA

: VA

= R * 1 + ⎥

⎣ ⎦

1

RENDITA PERPETUA : VA

= R* , vale se i>0

1

+

DURATION: −

1

− ( 1

+

)

RENDITA FRAZIONATA

: VA = R * = R *

¬

k PG

3

1

RENDITA PERPETUA E FRAZIONARIA : VA = R * 1

RENDITA PERPETUA E ANTICIPATA

: VA = R * ⎡ ⎤

1 +

⎣ ⎦

*

+

*

*

+

*

DURATION DI UN PORTAFOGLIO: D = =

p

+

2 −δ*

∑(

) * *

(2)

DURATION DEL SECONDO ORDINE: D = −δ*

∑ *

∆

VARIAZIONE DEL PREZZO → ΔVA

= → =

− * * ∆ − * ∆

1

+

1

+

AMMORTAMENTO ITALIANO: C costante e D , R e I decrescenti linearmente

k k k k

AMMORTAMENTO FRANCESE: R costante, D e I decrescenti in maniera esponenziale e C crescente in

k k k k

maniera esponenziale

*

R =

k −

1

−(

1

+

)

__________________________________________________________________________________________

2

×

Se R = R →

3 4 − 2

[ ]

1

−

( 1

+

)

-1 -2 + -3 n

-1

D = R * (1+ i ) + R * (1+ i

) R * (1+

i

) +.....+ R * (1+

i )

1 2 3 4 n

STRUTTURA PER SCADENZA DELLE INTENSITÀ DI RENDIMENTO

1

h (0; t ) è la media integrale di (0;

s ) nell’intervallo [0; t

]

δ = ∫ δ( 0 ;

)

0

2

1

h (0; t ; t ) è la media integrale di (0; s

) nell’intervallo [

t ; t ]

=

δ ∫ δ( 0 ;

)

1 2 1 2

2

−

1

1

1

−

h(

0

;t)

i(0;t) = e -1 = 1 − 0

[ (

0 ;

1 ) ] − 1

[

( 0

;

)]

h (0 ;t) = [1+ i (0 ;t )] =

−(

1

−

0

)

=

-[ t1-t0] -t*h(

0

;t) 2

*h(

0

;t)

p(0;t) = [1+i(0 ;t )] e ES: p(0;2) = e

→

(0;s) = D[ s

*h(0 ;s )] = - D[

Iog p

(0; t) ]

( 0

;

2

)

( 0

;

2

)

p (0; t ) = p (0; t ) * p (0; t ; t ); p (0; t ; t )

= ; p (0; t )

=

2 1 1 2 1 2 1

( 0

;

1

)

( 0

;

1

;

2

)

1

NB

: D [

ln (1-2

x )] = × 2

1

−

2

2 x 2 x

D e = 2

e

2

2

1

∫ =

2

2

1

∫ =

2 PG