Formulario Fisica (modulo elettromagnetismo e onde)

FISICA GENERALE - FORMULARIO di ELETTROMAGNETISMO

ELETTROSTATICA

Costante dielettrica nel vuoto ε_0 = 8,85×10^-12 C^2/Nm^2

ε = ε_0ε_r = costante dielettrica assoluta; ε_r = costante dielettrica relativa

Legge di Coulomb nel vuoto: F = k \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{u}_r = \frac{q_1 q_2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \hat{u}_r

con k = 1/4\pi\varepsilon_0 = 8.89 x 10^9 Nm^2/C^2 ; \hat{u}_r = versore della distanza r fra le cariche

Campo elettrostatico: E = \frac{F}{q}

campo generato da una carica puntiforme Q: E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \hat{u}_r

Campo elettrico generato da una distribuzione discreta di cariche:

E = \sum_{i=1}^n \frac{q_i}{4\pi\varepsilon_0 r_i^2} \hat{u}_i

Campo generato da distribuzioni continue di carica

• distribuzione di carica di densità volumetrica \rho = \frac{dq}{dV}:

E = \int \frac{\rho (\vec{r}) \hat{u}_r}{4\pi\varepsilon_0 r^2} dV

• distribuzione di carica di densità lineare \lambda = \frac{Q}{l}:

E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} \hat{u}_r

• distribuzione di carica \sigma su una superficie isolante piana:

E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{n} con \hat{n} = versore della normale al piano

• distribuzione di carica \sigma su una superficie conduttrice piana:

E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \hat{n}

Legge di Gauss

Forma integrale (\Sigma superficie chiusa): \Phi_\Sigma(E) = \oint_S E \cdot \hat{n} dS = \frac{Q_{int}}{\varepsilon_0}

Forma differenziale: \mathop{\mathrm{div}}\nolimits\^E \cdot E = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

Lavoro ed energia del campo elettrico

Lavoro della forza elettrica su una carica q: L = q \int_{\Gamma}^i E \cdot dl;

L_{A \to B} = U_A - U_B = - (U_B - U_A) = - \Delta U

FISICA GENERALE - FORMULARIO di ELETTROMAGNETISMO

ELETTROSTATICA

Costante dielettrica nel vuoto: ε₀ = 8,85×10^-12 C²/Nm²

ε = ε₀ε_r = costante dielettrica assoluta; ε_r = costante dielettrica relativa

Legge di Coulomb nel vuoto: F = k \frac{q₁q₂}{r²} \hat{u_r} = \frac{q₁q₂}{4πε₀r²} \hat{u_r}

con k = 1/4πε₀ = 8.89 x 10⁹ Nm²/C²; \hat{u_r} = versore della distanza r fra le cariche

Campo elettrostatico:

E = \frac{F}{q}

campo generato da una carica puntiforme Q: E = \frac{Q}{4πε₀r²} \hat{u_r}

Campo elettrico generato da una distribuzione discreta di cariche:

E = \sumⁿ_i=1 \frac{q_i}{4πε₀r²_i} \hat{u_ri}

Campo generato da distribuzioni continue di carica

• distribuzione di carica di densità volumetrica ρ = \frac{dq}{dV}

E = \int \frac{ρ(\vec{r_i})\hat{u_r}}{4πε₀r²} dV

• distribuzione di carica di densità lineare λ = \frac{Q}{l}: E = \frac{λ}{2πε₀r} \hat{u_r}
• distribuzione di carica σ su una superficie isolante piana con \hat{n} = versore della normale al piano
• distribuzione di carica σ su una superficie conduttrice piana:

E = \frac{σ}{ε₀} \hat{n}

Legge di Gauss

Forma integrale (Σ superficie chiusa): Φ_Σ(E) = \oint_Σ E · \hat{n}dS = \frac{Q_int}{ε₀}

Forma differenziale: divE = ∇ · E = \frac{∂E_x}{∂x} + \frac{∂E_y}{∂y} + \frac{∂E_z}{∂z} = \frac{ρ}{ε₀}

Lavoro ed energia del campo elettrico

Lavoro della forza elettrica su una carica q: L = q \int_i E · dl

L_A→B = U_A - U_B = -(U_B - U_A) = -ΔU

Densità d'energia associata al campo elettrico:

u = ^Energia/_Volume = ¹/₂ ε₀ ε_r(E)²

Energia potenziale elettrostatica di due cariche:

L = U_p = q_p∫_∞^rq/_4πε0r²dr = ^qpq/_4πε0

Potenziale elettrostatico

Definizione: V = ^U/_q

Potenziale in un punto generato da n cariche q: V(x) = Σ_i=1^{n q_i}/_4πε0ri

Differenza di potenziale fra due punti: V_A − V_B = ∫_A^BE • dl

In un campo E generato dalla carica puntiforme Q:

V_A − V_B = ^Q/_4πε0A − ^Q/_4πε0B

Relazione fra il campo elettrico e il gradiente del potenziale:

E (x, y, z) = −gradV = − (∂V/_∂x u_x + ∂V/_∂y u_y + ∂V/_∂z u_z)

Dipolo elettrico

Momento di dipolo elettrico: p = qd

Energia potenziale del dipolo elettrico: U_e = −p • E = −Ep cosθ

Momento meccanico agente sul dipolo immerso in un campo elettrico:

M_e = p × E

Condensatori

Capacità del condensatore: C = ^q/_V

Capacità di un condensatore piano: C = ε₀ ^S/_d

(area S, vuoto fra le armature a distanza d)

Capacità di un condensatore sferico di raggio R: C = 4πε₀R

Capacità di un condensatore cilindrico di lunghezza / raggio interno R_i ed

raggio esterno R_e: C = ^2πε₀l/_ln(^Re/Ri)

Capacità di un condensatore con dielettrico fra le armature:

C_d = ε_rC

Campo elettrico all'interno di un condensatore piano E = ^σ/_ε0 n̂

Potenziale di un condensatore piano:

V = σ/ε₀ d

Capacità di N condensatori in serie:

C = 1/∑_i=1^N (1/C_i)

Capacità N condensatori in parallelo:

C = ∑_i=1^N C_i

Energia potenziale di un condensatore:

U = 1/2 CV² = 1/2 QV = 1/2 ^Q2/_C

Suscettività dielettrica: χ_e = ε_r - 1

Polarizzazione di un dielettrico: P = ε₀χ_e E

Correnti stazionarie

Intensità di corrente elettrica i = dq/dt

Densità di corrente in un filo di sezione S percorso dalla corrente I: j = I/S

I legge di Ohm: i = V/R

II legge di Ohm: R = ρl/S

I legge di Kirchhoff (Equazione al nodo): ∑_i i_i = 0 (∑_i i_i (entranti) = ∑_j i_j (uscenti))

II legge di Kirchhoff (Equazione alla maglia): ∑_i V_i = 0 (^{∑_i V_gi}/_Rf = ∑_j i_j R_f)

N Resistenze in serie: R = R₁ + R₂ + R₃ ... R_N

N Resistenze in parallelo: 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + 1/R₃ ... 1/R_N

Potenza elettrica: P = Vi = i²R = V²/R

Circuiti RC

Costante di tempo: τ=RC

Soluzione equazione differenziale di primo ordine transitori:

y(t) = y_finale - (y_finale - y_iniziale)e^-t/_τ

Carica di un condensatore inizialmente scarico: V_C(t) = V_G(1 - e^-t/_τ)

Scarica del condensatore con V_C(0) = V_in; V_C(t) = V_ine^-t/τ

MAGNETISMO

Permeabilità magnetica nel vuoto μ₀ = 4π · 10^-7 N/A²

Campo generato da una carica in moto: B = ^μ₀/_4πr² qv × u_r

Campo generato da una corrente I: B = ^μ₀/_4π ∫ ^{dl × u_r}/_r² (Legge di Ampère-Laplace)

Campo generato da un filo rettilineo indefinito percorso dalla corrente i in un punto P distante r dal filo:

B_filo = ^μ₀i/_2πr u_i × u_r Legge di Biot-Savart;

u_i rappresenta il versore della corrente i. u_r il versore del raggio r. u_i × u_r individua la direzione tangente alla circonferenza di raggio r.

Campo magnetico generato da una spira di raggio R lungo l'asse k:

B_Z = ^μ₀I/_2v ^R2/_{(R²+z²)^3/2} k

Campo all'interno di un solenoide indefinito: B = μ₀nI ;

dove n = ^{N (spire)}/_{L (solenoide)}

Teorema di Ampère (forma integrale): ∮_Γ B · dl = μ₀ ∑ I_concatenate (Γ linea chiusa)

Definizione di rotore

∇ × B = ijk ∂∂∂ B_xB_yB_z

Teorema di Stokes: ∮_Γ B · dl = ∫_S(∇ × B) · dS

Teorema di Ampère in forma differenziale: rotB = ∇ × B = μ₀j

Forze magnetiche

Legge di Laplace: F = I ∫ dl × B;

F = I/L × B

Forza tra correnti: |F| = _μ₀/2π * i₁i₂ * l/d

Momento di dipolo magnetico di una spira: m = iS n̂

Momento meccanico agente su una spira piana: M = m × B

Forza di Lorentz: F = q(v × B)

Induzione elettromagnetica

Forza elettromotrice indotta: f. e. m. = - dΦ(B)/dt

Definizione di induttanza: L = Φ(B_autoind)/i

Induttanza di un solenoide: L = (N²μ₀μ_rA)/l

μ_r = permeabilità magnetica del traferrro;

L = Φ(B)/i

Circuito RL

Costante di tempo in un circuito RL: τ = L/R

Transitorio alla chiusura del circuito: i(t) = V_g/R (1 - e^-Rt/L)

Transitorio all’apertura del circuito: i(t) = V_g/R (e^-Rt/L)

Circuiti RLC in regime sinusoidale

Impedenza circuito puramente capacitivo

X_C = 1/ωC;

impedenza complessa: Z_C = 1/jωC = -j/ωC

Impedenza circuito puramente induttivo

X_L = ωL;

impedenza complessa: Z_L = jωL;

Circuito RLC

|Z| = √[R² + (ωL - 1/ωC)²];

impedenza complessa: Z = R + j(ωL - 1/ωC);

Angolo di sfasamento: φ = arctang ^{(ωL - 1)oc.c.}_R

Valore efficace di un segnale periodico

Valore medio V_DC = ⟨V(t)⟩ = (1∕T₀)∫₀^T₀ V(t)dt

Valore efficace V_eff = V_RMS = ⟨V²(t)⟩ = √(1∕T₀ ∫₀^T₀ V²(t)dt)

V_eff = √V²_AC + V²_DC

ONDE ELETTROMAGNETICHE

Equazioni di Maxwell

Forma differenziale

• a) divE = ρ∕ε₀
• b) divB = 0
• c) RotE = -∂B∕∂t
• d) RotB = μ₀j + μ₀ε₀ ∂E∕∂t

Forma integrale

• a) Φ(E) = ∮_Σ E • n̂dS = Q_int∕ε₀
• b) Φ(B) = ∮_Σ B • n̂dS = 0
• c) ∮_L E • dl = -d∕dt ∮_Σ B • n̂dS
• d) ∮_L B • dl = μ₀I + μ₀ε₀ d∕dt ∮_Σ E • n̂dS

Equazioni di Maxwell nel vuoto in assenza di cariche e correnti:

• a) divE = 0
• b) divB = 0
• c) RotE = -∂B∕∂t
• d) RotB = μ₀ε₀ ∂E∕∂t

Relazione tra i moduli dei vettori campo elettrico e magnetico: E = cB

numero d'onda: k = 2π∕λ ; frequenza v = c∕λ

Velocità della luce nel vuoto: c = √(1∕ε₀μ₀) ≈ 3 • 10⁸

Velocità delle onde elettromagnetiche in un mezzo: V = ω∕k = 1∕√(εμ) ; V = c∕√(ε_r)

Vettore di Poynting: S = E x B∕μ = D x H∕ε = E x H

Densità di energia associata a un'onda elettromagnetica nel vuoto

u_ttot = ε₀E² = B²∕μ₀

Intensità di energia (Radianza)

I = (S) = Potenza / area = ¹/₂ ε₀E₀²

Pressione di radiazione su uno schermo perfettamente riflettente: p = ^2I/_c

Pressione di radiazione su uno schermo perfettamente assorbente: p = ^I/_c

Interferenza di onde elettromagnetiche

Interferenza prodotta da due fenditure distanti d su uno schermo distante L dalle fenditure (L≫d, angoli ϑ piccoli):

Interferenza costruttiva: δ = r₂ - r₂ = d sinϑ ≈ dϑ = mλ

Posizioni dei massimi di intensità luminosa sullo schermo: y = L ^mλ/_d

Intensità luminosa sullo schermo: I_tot = I₁ + I₂ + 2√I₁I₂ cosΔϕ

Diffrazione di Fraunhofer

(fenditura di larghezza a)

Minimi di intensità: sinϑ_min = ^mλ/_a

Posizione sullo schermo dei minimi: y_min = L ^mλ/_a

Diffrazione da apertura circolare

(diametro D)

ϑ_min = angolo che individua il primo minimo: ϑ_min = 1,22 ^λ/_D

Posizione sullo schermo del primo minimo: y_min = ϑ_minL = 1,22 ^λ/_DL

Polarizzazione per assorbimento

I_p = I₀ cos²θ (legge di Malus)

Ottica Geometrica

Indice di rifrazione di un mezzo trasparente: n = ^c/_v ≥ 1

Legge della riflessione: θ_i = θ_r

Legge di Snell della rifrazione: n₁senθ_i = n₂senθ_t

Legge del diottro sferico

^n₁/_p + ^n₂/_q = ^n₂-n₁/_r