Formulario Fisica II

Legge di Coulomb

Forza elettrostatica

\( \vec{F}_{12} = k \frac{q_1 q_2}{x^2} \hat{u}_{12} \)
\( k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \)
\( \varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \frac{C^2}{Nm^2} \)

Campo elettrico

\( \vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0} = \frac{k q}{x^2} \hat{u}_r = \frac{q}{4 \pi x^2 \varepsilon_0} \hat{u}_r \)

Densità volumetrica di carica

\( \varrho = \frac{q}{V} \)

Flusso elementare di un campo \(\vec{V}\)

\( \Phi_S (\vec{V}) = \iint_S \vec{V} \hat{n} ds \)

Teorema di Gauss

Flusso Elettrostatico: \( \Phi_\Sigma (\vec{E}) = \frac{q_e}{\varepsilon_0} = \iint_\Sigma \vec{E} \hat{n} ds \)_{Superficie Chiusa}

Nabla

\( \vec{\nabla} = \frac{\partial}{\partial x} \hat{u}_x + \frac{\partial}{\partial y} \hat{u}_y + \frac{\partial}{\partial z} \hat{u}_z \)

Gradiente di una funzione \( F \)

\( \text{grad}(F) = \vec{\nabla} F \)

Divergenza di un campo \(\vec{V}\)

\( \text{div}(\vec{V}) = \vec{\nabla} \cdot \vec{V} \)

Teorema della divergenza

\( \iint_S \vec{V} \hat{u} ds = \iiint_T \text{div}(\vec{T}) d\tau \)
\( \Rightarrow \) Prima equazione di Maxwell: \( \text{div}(\vec{E}) = \frac{P_e}{\varepsilon_0} \) (Valido solo per punti materiali in movimento)

Energia potenziale elettrostatica

\( U(\vec{r}) = \frac{q \cdot q'}{4 \pi \varepsilon_0 r} \quad [U(\infty) = 0] \)
\( U = \frac{1}{2} \iiint_T \varrho \Phi d\tau \)

Potenziale elettrostatico

\( V = \frac{U}{q} \)
\( \Rightarrow V(\vec{r}) = \frac{q_0}{4 \pi \varepsilon_0 r} \)
\( \Rightarrow \iint_S \frac{\hat{i} \cdot \hat{n}}{4 \pi \varepsilon_0 r} \alpha ds \) (Valore all'infinito = 0)

Forza elettrostatica

\( F_{12} = k \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{u}_x \)
\( k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \)
\( \varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \frac{C^2}{Nm^2} \)

Campo elettrostatico

\( E = \frac{F_q}{q_0} = \frac{k q}{r^2} \hat{u}_x \)

Densità volumetrica di carica

\( \rho = \frac{q}{V} \)

Flusso elementare di un campo \(V\)

\( \Phi_s (V) = \iint_S V \cdot n dS \)

Teorema di Gauss

Flusso Elettrostatico: \( \Phi_\Sigma (E) = \frac{Q_\Sigma}{\varepsilon_0} = \iint_\Sigma E \cdot n dS \)

Nabla

\( \nabla = \frac{\partial}{\partial x} \hat{u}_x + \frac{\partial}{\partial y} \hat{u}_y + \frac{\partial}{\partial z} \hat{u}_z \)

Gradiente di una funzione \( F \)

grad(F) = \( \nabla F = \frac{\partial F}{\partial x} \hat{u}_x + \frac{\partial F}{\partial y} \hat{u}_y + \frac{\partial F}{\partial z} \hat{u}_z \)

Divergenza di un campo \( V \)

div(V) = \( \nabla \cdot V \)

Teorema della divergenza

\( \iint_S V \cdot n dS = \iiint_V \text{div}(V) d\tau \)
\( \Rightarrow \) Prima equazione di Maxwell: \( \text{div}(E) = \frac{P}{\varepsilon_0} \)

Energia potenziale elettrostatica

\( U(r) = \frac{q \cdot q'}{4 \pi \varepsilon_0 r} \quad [U(\infty) = 0] \)
\( U = \frac{1}{2} \iiint_T \rho \Phi d\tau \)

Potenziale elettrostatico

\( V = \frac{U}{q} \)
\( \Rightarrow V(R) = \frac{q_0}{4 \pi \varepsilon_0} \)
\( \Rightarrow \iint_S \frac{\hat{i} \cdot \hat{n}}{4 \pi \varepsilon_0 r} \alpha ds \) (Valore all'infinito = 0)

Rotore di un campo \( \vec{V} \)

rot(\( \vec{V} \)) = \( \nabla \times \vec{V} \)

Teorema del rotore

\( \oint_S \vec{V} \cdot d\vec{S} = \iint \text{rot}(\vec{V}) \cdot \hat{n} dS \)
\( \Rightarrow \) Seconda equazione di Maxwell: rot(\(\vec{E}\)) = 0

Volume, superficie e linea

Volume \( \rho \rightarrow \text{div}(\vec{E}) = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \)
Superficie \(\sigma \rightarrow [\vec{E}_\perp] = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \)
Linea \(\lambda \rightarrow \vec{E} \cdot n \alpha \beta n (\alpha \neq 0) \)

Equazione di Poisson

\( \nabla^2 V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0} \)

Equazione di Laplace

\( \nabla^2 V = 0 \)

Momento di dipolo

\( \vec{P} = q \cdot \vec{d} \quad \Rightarrow V(P) = \frac{\vec{P} \cdot \hat{n}}{4\pi \varepsilon_0 z^2} \)

Forza agente sul dipolo

\( \vec{F} = \vec{P} \text{grad} (\vec{E}) \)

Momento della forza agente sul dipolo

\( \vec{P} \cdot \hat{n} \times \vec{E} + \hat{n} \times \vec{F} \Rightarrow U = -\vec{P} \cdot \vec{E} \)

Conduttori

Pressione elettrostatica

\( P_{elett} = \frac{dF}{dS} = \frac{U^2}{2\varepsilon_0} \)

Condensatore

Capacità

\( C = \frac{Q}{\Delta V} = \frac{\varepsilon_0 S}{d} \)

In serie

\( \frac{1}{C_{tot}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + ... + \frac{1}{C_n} \)

In parallelo

\( C_{tot} = C_1 + C_2 + ... + C_n \)

Energia

Conduttori

\( U = \frac{1}{2} QV = \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2} CV^2 \)

Condensatori

\( U = \frac{1}{2} q\Delta V = \frac{q^2}{2C} = \frac{1}{2} C\Delta V^2 \)