Formulario Elettrotecnica

Fasori

Domino nel tempo

x(t) = X_mcos(ωt + φ)

x(t) = X_msin(ωt + φ)

= X_mcos(ωt + φ - ^π/₂)

Domino dei fasori

NB: il fasore è riferito al valore massimo

Domino dei fasori

Domino del tempo

x(t) = Re { X e^jωt }

Domino dei fasori

X = Xe^jφ

Domino del tempo

x(t) = Re { X e^jωt }

Esempio:

X = ¹/₂ + j ^√3/₂

Metodo 1

x(t) = Re { ( ¹/₂ + j^√3/₂ )(cos(ωt) + j sin(ωt)) } =

= Re { ¹/₂cos(ωt) - ^√3/₂sin(ωt) + j( ^√3/₂cos(ωt) + ¹/₂sin(ωt)) } =

= ¹/₂cos(ωt) - ^√3/₂sin(ωt)

Metodo 2

|X|= √( ( ¹/₂ )² + ( ^√3/₂ )² ) = 1

φ = arc tg (^√3/₂/¹/₂) = arc tg √3 = ^π/₃

Re (X) >= > 0

x(t) = Re { 1 e^{j π/₃ ejωt } = Re { 1 ej(ωt + π/₃) } =}

= cos(ωt + ^π/₃)

Teoria: Valore efficace, Trasformazione Stella Triangolo e Tronchi di tensioni trifase

• Fasore riferito rispetto al valore massimo

x(t) = X_mcos(ωt + φ) → X = X_me^jφ

x(t) = Re { X e^jωt }

• Fasore riferito rispetto al valore efficace

x(t) = X_mcos(ωt + φ) X = ^X_m/_√2 e^jφ

→ x(t) = √2 Re { X_e e^jωt }

Fasori

DOMINIO NEL TEMPO ➔ DOMINIO DEI FASORI

x(t) = X_m cos(ωt + φ) ➔ X = X_m e^jφ

cosφ + jsinφ

NB: il fasore è riferito al valore massimo

x(t) = X_m sin(ωt + φ)

= X_m cos(ωt + φ - π/2)

X_m e^{j(φ - π/2)} = X_m e^jφ e^-jπ/2 = -j X_m e^jφ

= -j

DOMINIO DEI FASORI ➔ DOMINIO DEL TEMPO

X = Xe^jφ

x(t) = Re {X e^jωt}

Esempio:

X = 1/2 + j √3/2

Metodo 1

x(t) = Re {(1/2 + j√3/2) (cos(ωt) + j sin(ωt))}

= Re {1/2 cos(ωt) - √3/2 sin(ωt) + j (√3/2 cos(ωt) + 1/2 sin(ωt))}

= 1/2 cos(ωt) - √3/2 sin(ωt)

Metodo 2

|X| = √( (1/2)² + (√3/2)²) = 1

φ = arctg √3/2

= arctg √3 = π/3

X = |X| e^jφ

|X| = √( (1/2)² + (√3/2)²) = 1

φ = arctg √3/2 = arctg √3 = π/3

x(t) = Re {1 e^jπ/3 e^jωt}

= Re {1 e^{j(ωt + π/3)}}

= cos (ωt + π/3)

TEORIA: VALORE EFFICACE, TRASFORMAZIONE STELLA-TRIANGOLO E TERNE DI TENSIONI TRIFASE

• FASORE RIFERITO AL VALORE MASSIMO

x(t) = X_m cos(ωt + φ) ➔ X = X_m e^jφ

X

➔ x(t) = Re {X e^jωt}

• FASORE RIFERITO AL VALORE EFFICACE

x(t) = X_m cos(ωt + φ)

X = X_m / √2 e^jφ

X

➔ x(t) = √2 Re {X e^jωt}

Teorema del Max Trasf. di Potenza Attiva

Z assorbe la max. potenza attiva sse Z = Zth*

P_{o max} = 1/2 |E_th|² / 4Re{Zth}

(Fissori, inferiori rispetto al valore max)

Impedenza e Ammettenza

/ = = + [Ω]

impedenza resistenza reattanza

/ = = + [S]

ammettenza conduttanza suscettanza

Condensatore

^1/ =

C [F] = capacità

= 1/2 C²

energia assorbita dal condensatore

Induttore

^1/

= /

L [H] = induttore

= 1/2 L²

energia assorbita dall'induttore