Formulario di Statistica

Coincide con =

4 la mediana 4

4

13. Valore del 1° quartile 3° quartile

a) caratteri non suddivisi in classi d) caratteri non suddivisi in classi

= =

1 /4 1 3/4

b) caratteri in classi con frequenze e) caratteri in classi con frequenze

cumulate assolute cumulate assolute

3

− −

−1

1 −1

4 3

= + ∗

( ) 4

= + ∗

( )

1

−

1 1 3

−

3 3

−1

1 1 −1

3 3

c) caratteri in classi con frequenze f) caratteri in classi con frequenze

cumulate relative cumulate relative

1 3

− −

−1 −1

1 3

4 4

= + ∗ = + ∗

( ) ( )

1 3

− −

1 1 3 3

−1 −1

1 1 3 3

14. Range interquartile | |

−

3 1 4

6,7

15. Devianza 2

= − )

∑(

=1

7,8

16. Varianza

a) carattere quantitativo senza frequenze

1

2 2 2

= −

( ∑ )

=1 3

b) carattere quantitativo con frequenze assolute

1

2 2 2

= −

( ∑ )

=1

c) carattere quantitativo con frequenze relative

2 2 2

= −

(∑ )

=1

d) combinazione lineare ∗

2 2 2

=

9

17. Scostamento quadratico medio √ 2

=

7,10

18. Coefficiente di variazione

= 100

– –

6 La devianza è il numeratore della varianza, nella sua forma classica. La successiva formula della varianza infatti

è quella “semplificata”.

7 Si può calcolare anche in riferimento alla mediana, basta sostituire M con M .

e

8 Misura la variabilità assoluta. Si può calcolare anche rapportando la devianza al numero di osservazioni.

9 Chiamata anche deviazione standard.

10 Misura la variabilità relativa. 5

7

19. Scostamento semplice medio dalla media aritmetica

a) carattere quantitativo senza frequenze

1 ∑|

= − |

=1 3

b) carattere quantitativo con frequenze assolute

1 ∑|

= − |

=1

c) carattere quantitativo con frequenze relative

∑|

= − |

=1

11

20. Rapporto di concentrazione

a) con procedimento di Gini −1

∑

=1

= 1 − −1

∑

=1 12

b) approssimando con la Curva di Lorenz (calcolo dei trapezi)

=1

( )(

∑

1 − + − )

−1 −1

=

−1

c) senza frequenze −1

∑

=1

=1−2 −1

11 0 ≤ ≤ 1:

Il suo valore è , c’è assenza di concentrazione;

o = 0

Se , c’è massima concentrazione.

o = 1

Se

12 F si può anche omettere perché tende ad uno.

–

k 1 6

21. Tabella per il calcolo della concentrazione

=

⁄ ⁄

1 1 1 1 1

⁄ ⁄

+ +

2 2 2 1 2 1 2

. . . . .

. . . . .

. . . . .

1 1

Ʃ = Ʃ =

13

22. Codevianza

∑( )

= − −

( )

=1

14

23. Covarianza

a) per coppie di valori

1

= − = ( ∑ ) −

=1

b) con distribuzione congiunta ℎ

1

= − = ( ∑ ∑ ) −

=1 =1 –

13 La codevianza è il numeratore della covarianza, nella sua forma classica. La successiva formula della covarianza

– è quella “semplificata”.

infatti

14 ≷ 0:

Il suo valore è

o > 0 quando vi sono più scarti concordi;

o < 0 quando vi sono più scarti discordi.

7

15

24. Coefficiente di correlazione lineare

=

16,17

25. Retta della nuvola di punti ∗

= −

∗ ∗

= +

∗

= 2

18

26. Indice di determinazione lineare

considerando la Somma degli scarti Quadrati dovuti all’Errore e

a) la Somma degli

scarti Quadrati Totali 2

∑( )

− ̂

2

=1− = 1− 2

∑(

− ̅)

b) considerando la Somma degli scarti Quadrati dovuti alla Regressione lineare e la

Somma degli scarti Quadrati Totali 2

∑(̂

− ̅)

2

= = 2

∑(

− ̅)

l’indice

c) considerando 2

2 2

=

= ( )

15 −1 ≤ ≤ 1:

Il suo valore è

o = −1

Se , la nuvola di punti ha un andamento decrescente;

o = 1

Se , la nuvola di punti ha un andamento crescente.

|0,7|.

≥

Una buona interdipendenza tra le variabili si ha per Esprime la linearità di una nuvola di punti.

16 Chiamata anche retta interpolare. Il sistema a fianco definisce la retta secondo il metodo dei minimi quadrati.

∗

17

Il termine viene chiamato coefficiente di regressione.

2

18 0 ≤ ≤ 1:

Il suo valore è

2

o = 0,

Se il metodo di stima è pessimo;

2

o = 1

Se , il metodo di stima è perfetto. 8

27. Scomposizione della devianza totale

= +

 2

=

 2

(1 )

= −

 2

(

= ∗ ) 9

Probabilità

28. Eventi semplici, congiunti e condizionati

 () = 1 − ()

 con eventi compatibili

( ∪ ) = () + () − ( ∩ )

 con eventi incompatibili

( ∪ ) = () + ()

 se eventi compatibili

( ∩ ) ≠ ∅ > 0

 se eventi incompatibili

( ∩ ) = ∅ = 0

(∩)

 con eventi dipendenti

|

( ) = ()

 con eventi indipendenti

|

( ) = ()

 ( ∩ ) = () ∗ ()

 °

(Ω) = °

29. Funzione di ripartizione

() = ( ≤ ) = ()

∑

=0

30. Distribuzione discreta

!

 −

(1

( = ) = − )

( ) =

( )

dove (−)!

!

 ∑

() = () valore atteso (media)

∈

 2 2 2 2 varianza

) [()] ∑ (

= () = ( − = − ) ()

∈

 2 2 2

( ) [()]

= √ = −

√ scostamento quadratico

10

31. Distribuzione binomia

 ~ (, )

la variabile x si distribuisce come una binomiale di parametri n e p

 con n grande e p qualsiasi, la binomiale è simmetrica;

 con n piccolo e p prossimo a 0.5, la binomiale è sempre simmetrica.

!

 −

(1

( = ) = − )

( ) =

( )

dove (−)!

!

 () = valore atteso (media)

 2 varianza

= () = (1 − )

 2

= √ = (1 − )

√ scostamento quadratico

32. Distribuzione gaussiana normale

 2

~ (, ) 2

la variabile x si distribuisce come una normale di parametri

!

 −

(1

( = ) = − )

( ) =

( )

dove (−)!

!

 () = valore atteso (media)

 2 2 varianza

= () =

 2

= √ scostamento quadratico

 ) ) dipendenza fra variabili

(, ) = ( ∗ (

)

( ;



| probabilità condizionata

( ) =

( )

33. Variabile standardizzata −

= 11

34. Passaggio da normale a standardizzata

 2

~ (, ) − −

 1 2

( ) ( )

≤ ≤ = ≤≤ = ≤ ≤ =

( )

1 2 1 2



se e sono negativi

1 2 [1 [1

= − ( )] − − ( )]

2 1



se e sono positivi

1 2 )

= ( − ( )

2 1

 se uno dei due è negativo [1

= ( ) − − ( )]

2 1

−

 1

( ) ( )

≥ = ≥ = ≥ =

( )

1 1



se è negativo

1 = ( )

1



se è positivo

1 = 1 − ( )

1

−

 1

( ) ( )

≤ = ≤ = ≤ =

( )

1 1



se &e