Formulario di statistica

E E(X))

(X p

γ , σ V

= dove = (X)

3

σ

Nota: γ >

• asimmetria positiva: 0

Y

≈

γ

• simmetria: 0

Y γ <

• asimmetria negativa: 0

Y

Indice di curtosi

4

−

E E(X))

(X

β = 4

σ

Nota: β >

• distribuzione leptocurtica: 3

Y ≈

β

• distribuzione normocurtica: 3

Y

β <

• distribuzione platicurtica: 3

Y

Variabili casuali multivariate , X , . . . , X

Una variabile casuale multivariata è un vettore i cui elementi sono variabili casuali (X ).

n

1 2

20

Variabili casuali bivariate

Funzione di ripartizione congiunta 2

≤ ≤ ∈

F y) P x, Y y), y)

(x, = (X (x, R

X,Y

Funzione di ripartizione marginale ∈ ∈

F F y), x F y), x

(x) = lim (x, (y) = lim (x,

RF R

X X,Y Y X,Y

y→+∞ x→+∞

Y , y

Si dice variabile casuale bivariata (X, ) discreta se (x ) appartengono a un insieme finito o al più

i i

numerabile: X

P x , Y y p > p

(X = = ) = 0 e = 1

i j ij ij

i,j

{(x ∈ ×

S , y , j) I J}

= ) (i,

X,Y i j

Funzione di probabilità congiunta discreta

∀(i, ∈ ×

p y) , y , j) I J

se (x, = (x )

ij i j

f y)

(x, =

X,Y 0 altrimenti.

Funzione di probabilità marginale (caso discreto)

X X ∈

P x P x , Y y p p x S

(X = ) = (X = = ) = =

i i j ij i+ i X

j∈J j∈J

X X ∈

P y P x , Y y p p , y S

(Y = ) = (X = = ) = =

j i j ij j Y

+j

i∈I i∈I

Condizionamento e indipendenza

X Y

Se e sono indipendenti 2

∈

F y) F y)

(x, = (x)F (y), per ogni (x, R

X,Y X Y

Y

Se (X, ) è discreta ∈

f , y f f p p p , , y S

(x ) = (x ) (y ) = = (x )

X,Y i j X i Y j i,j i+ i j X,Y

+j

Variabile casuale condizionata P x , Y y p

(X = = )

i j ij

|Y ∈

f P x y x S

(x ) = (X = = ) = = i

i i j

X|Y X|Y

=y =y

j j

P y p

(Y = )

j +j

Valore atteso condizionato X

E y x f

(X|Y = ) = (x )

j i i

X|Y =y

j

x i

Varianza condizionata X 2

−

V y E y f

(X|Y = ) = (x (X|Y = )) (x )

j i j i

X|Y =y

j

x i 21

Covarianza

• Per variabili casuali continue − −

Y σ E[(X E(X))(Y E(Y

Cov(X, ) = = ))]

XY

• Per variabili casuali discrete X X − −

Y E(X)) E(Y f , y

Cov(X, ) = (x (y )) (x )

i j X,Y i j

x y

i j

Formula per il calcolo −

Cov(X, Y E(XY E(X)E(Y

) = ) )

Nel caso discreto X X

E(XY x y f , y

) = (x )

i j X,Y i j

x y

i j

Infine, 2 2

V bY a V b V Y

(aX + ) = (X) + (Y ) + 2abCov(X, )

V Y V V Y

(X + ) = (X) + (Y ) + 2Cov(X, )

− −

V Y V V Y

(X ) = (X) + (Y ) 2Cov(X, )

Coefficiente di correlazione lineare σ XY

ρ Y

= Cor(X, ) =

XY σ σ

X Y

−1 ≤ ≤

ρ

Il coefficiente di Pearson è 1. Se:

XY

ρ > ρ

• 0 : relazione lineare crescente con probabilità

XY XY

ρ

• = 0 : incorrelazione tra X e Y

XY

ρ < ρ

• 0 : relazione lineare decrescente con probabilità

XY XY

Costante di normalizzazione

La costante di normalizzazione serve a fare in modo che le caratteristiche delle funzioni di probabilità/densità

e ripartizioni siano mantenute. Per trovare il suo valore basta porre l’integrale della funzione di densità pari

a 1: +∞

Z f (x)dx = 1

X

−∞ 22

6. Modelli probabilistici

Modelli discreti

Modello uniforme discreto

Il modello uniforme discreto descrive esperimenti con un numero finito di esiti equiprobabili.

Quando si usa?

∼

X U d(x , . . . , x

In simboli: )

n

1 x x , . . . , x

1/n se = n

1

f x , . . . , x

(x; ) =

X n

1 0 altrimenti

n

1 X

E(X) x

= i

n i=1

n

1 X 2

− E(X))

V (x

(X) = i

n i=1

Modello binomiale

Il modello binomiale si utilizza nelle estrazioni con reinserimento, che possono avere

Quando si usa? ≥

n

successo (1) o insuccesso (0). Descrive quindi il numero di successi in 1 esperimenti indipendenti e con la

∼ {0,

X Bi(n, p), S . . . , n}.

stessa probabilità di successo. In simboli: con supporto =

X



n x n−x

− ∈

p p) x S

(1 se

 X

x

f n, p)

(x; =

X 0 altrimenti

 !

n n

X X

E(X) E X E np

= = (X ) =

i i

i=1 i=1

!

n n

X X −

V V X V np(1 p)

(X) = = (X ) =

i i

i=1 i=1

∼

n X Ber(p),

Se = 1 allora modello che esprime un esperimento bernoulliano con successo o insuccesso.

E(X p

) =

i −

V p(1 p)

(X ) =

i

n

P −

X X E(X) np V np(1 p).

Dato che = allora = e (X) =

i

i=1

Modello poisson Il modello poisson descrive problemi di conteggio di accadimenti di eventi in un certo

Quando si usa?

intervallo di tempo.

∼

X P S

In simboli: (λ), se = N.

X −λ

x

∈

λ e /x! x S

se X

f λ)

(x; =

X 0 altrimenti

23

E(X) λ

=

V λ

(X) =

λ λ vt v n. t

Il parametro può essere visto come = con = di successi e l’intervallo di tempo in cui sono

≥ ≤

n p

avvenuti. Per 50 e 1/25 il modello binomiale si approssima al modello Poisson.

Modello geometrico

Descrive il tempo di attesa, ovvero il numero di replicazioni indipendenti necessarie a un

Quando si usa? +

∼

p. X Ge(p), S

esperimento per avere successo, avendo probabilità di successo In simboli: se = .

N

X

x−1

− ∈

p) p x S

(1 se X

f p)

(x; =

X 0 altrimenti

1

E(X) = p

− p)

(1

V (X) = 2

p s t

È dotato di assenza di memoria: la probabilità di successo dopo + prove ponendo per condizione che non

s t

sia successo per volte è come dire la probabilità di successo dopo prove.

Modelli continui

Modello uniforme continuo

Il modello uniforme continuo descrive esperimenti aleatori che possono essere rappresentati

Quando si usa? b]

come un’estrazione casuale di un numero dall’intervallo [a,

∼

X U b), S b]

In simboli: (a, se = [a,

X − ≤ ≤

a) a x b

1/(b se

f a, b)

(x; =

X 0 altrimenti

 x < a

0 se

 − − ≤

a)/(b a) a x < b

(x se

F a, b)

(x; =

X ≥

x b

1 se



b 2 2

−

Z b a b a

1 +

1 dx

E(X) x = =

= − −

b a b a

2 2

a 2

b

Z b a

1 +

2 2 2

− −

V E X x dx

(X) = (E(X)) = −

b a 2

a

2

3 3 2

− −

b a b a a)

+ (b

−

= =

− a)

3(b 2 12

24

Modello esponenziale

Viene usato per rappresentare durate e tempi di vita/funzionamento, in caso di assenza di

Quando si usa?

memoria o usura.

∼

X S

In simboli: Esp(λ), se = [0, +∞)

X −λx

∈

λe x S

se X

f λ)

(x; =

X 0 altrimenti

−λx

− e x >

1 se 0

F λ)

(x; =

X ≤

x

0 se 0

1

E(X) = λ

1

V (X) = 2

λ

Modello normale

Si usa per descrivere errori accidentali nel caso di misurazioni strumentali ripetute. Spesso

Quando si usa?

2

∼

X N µ, σ , S

viene usato come approssimazione degli altri modelli probabilistici. In simboli: se = R.

X

2

− µ)

1 (x

√ −

f µ, σ)

(x; = exp

X 2

2σ

2πσ 2

µ, σ

Il massimo della funzione è che è anche moda e mediana, oltre che media. La varianza è pari a .

∼

Z N

Tramite la è possibile ottenere una (0, 1) e calcolare le probabilità vedendo le

standardizzazione

tavole dei valori critici. − µ)

(X

Z = σ

− ∀z ≥

Φ(−z) = 1 Φ(z), 0

− − −

a µ X µ b µ

≤ ≤ ≤ ≤

P X b) P

(a = σ σ σ

− −

b µ a µ

−

=Φ Φ

σ σ

− − −

X µ b µ b µ

≤ ≤

P b) F µ, σ) P

(X = (b; = =Φ

X σ σ σ

α:

Per trovare le code di distrubuzione (destra e sinistra) con probabilità di peso

≥ ∈

P z α, con α

(Z ) = (0, 0.5)

α

Verifica della normalità

La verifica della normalità è un’analisi preliminare dei dati per verificare se il fenomeno preso in esame può

2

∼

x , x , . . . , x X N σ

essere descritto da un modello normale. Quindi dati , si vuole valutare se (µ, ). Questa

n

1 2

verifica può avvenire tramite:

• confronto tra istogramma e funzione di densità

• stima di densità e funzione di densità

• qqplot, una rappresentazione dei quantili calcolati sui dati e sulla distribuzione normale

25

Modello chi-quadrato n 2 2

P ∼

Z χ

Z , . . . , Z N Y

Date le variabili casuali indipendenti con distribuzione (0, 1) allora = (n) se

n

1 i

i=1

S = [0, +∞).

Y E(Y n

) =

V (Y ) = 2n

→ ≥

n N

Per +∞ (n 80) il modello tende alla distribuzione normale (n, 2n).

t

Modello di Student Z

√

2

∼ ∼

Z N Y χ T S

Date (0, 1) e (n), T ha distribuzione T di student: = , se = R.

T

Y /n

E(T ) = 0

n

V (T ) = −

n 2

→ ≥ −

n N n/(n

Per +∞ (n 30) il modello tende alla distribuzione normale (0, 2)). Per i valori critici, essendo

−t

t

simmetrica, = .

α,n

1−α,n

F

Modello di Fisher X/n

2 2

∼ ∼ ∼

X χ Y χ F F F m)

Date le variabili (n) e