Formulario di Modellistica e Identificazione

H

Se è vera allora:

0

2

~ con = ∑

−1

2

=1

Allora per il teorema di Cochran: ⊥

2

~

−

2

2

~

−1

2

8

Dunque scelgo la statistica test: 1

∙ −

2

− 1

= = ∙ ~

−1,−

1 − 1

∙ 2

−

Da cui il set critico è: = >

{ }

−1,−,

Confronto tra medie di più gruppi (ANOVA a due vie)

() (,

)

{ },

Se i dati sono dove denota la l-esima ripetuta del dato (assumiamo che ogni ha lo stesso

numero di ripetute), allora: () ()

= + + + +

Dove è l’effetto combinato di e e è l’effetto della classe j-ma.

Il test ora è: ≠ 0 per almeno un

= 0

≠ 0 per almeno un

= 0

H : H :

oppure

0 1

= 0 (,

≠ 0 per almeno un )

Denotiamo:

1 ()

(, ) ̂ = ∑ per = 1 … , = 1 … ℎ

Media di ogni gruppo

=1 ℎ

1 ()

̂ = ∑ ∑ per = 1 …

Media di ogni gruppo ,∙,∙

∙ℎ =1 =1

1 ()

Media di ogni gruppo ̂ = ∑ ∑ per = 1 … ℎ

∙,,∙

∙ =1 =1

Consideriamo la varianza campionaria totale:

/ = / + / + / + /

1 2

ℎ 2

()

∑ ∑ ∑ ( − ̂ )

Varianza totale

=1 =1 =1

ℎ ℎ

2

() 2

∑ ∑ ( − ̂ ) = − − − = ∑ ∑ ̂

Varianza nei gruppi 1 2 ,

=1 =1 =1 =1

2

Varianza tra i gruppi

ℎ ∙ ∑(̂ − ̂ )

1 ,∙,∙

=1

ℎ 2

∙ ∑(̂ − ̂

)

Varianza tra i gruppi ∙,,∙

2 =1

ℎ 2

(, ) ∑ ∑ ((̂ + ̂ − + ̂

) (̂ ))

Varianza tra i gruppi ,∙,∙ ∙,,∙

=1 =1 9

Se ho verificato:

()

4 { }

I dati devono essere gaussiani (verificato con un test)

()

{ }

5 I dati devono essere tra loro omoschedastici (verificato con il test di Bartlett)

H

E è vara allora:

0 2

~ con = ∙ ℎ ∙

−1

2

Allora per il teorema di Cochran: ⊥ ⊥ ⊥

1 2

1 2

2 2

2 2

~ , ~ , ~ , ~

−1 ℎ−1 (−1)(ℎ−1)

ℎ(−1)

2 2 2 2

Scegliamo le statistiche test:

ℎ( − 1)

1 = { > }

= ∙ ~ 1 −1,ℎ(−1),

1 −1,ℎ(−1)

−1

ℎ( − 1)

2 = { > }

= ∙ ~ 2 ℎ−1,ℎ(−1),

2 ℎ−1,ℎ(−1)

ℎ−1

ℎ( − 1)

= { > }

= ∙ ~ (−1)(ℎ−1),ℎ(−1),

(−1)(ℎ−1),ℎ(−1)

(

− 1)(ℎ − 1)

Confronto tra medie di più gruppi (ANOVA a due vie senza repliche)

= + + +

Denoto come: ℎ

1

̂ = ∑ ∑

Media del campione

∙ℎ =1 =1

ℎ

1

̂ = ∑ per = 1 …

Media di ogni gruppo ,∙

ℎ =1

1

Media di ogni gruppo ̂ = ∑ per = 1 … ℎ

∙,

=1

Possiamo analizzare la varianza dei dati come:

/ = / + / + /

1 2 ℎ 2

∑ ∑( − ̂ )

Varianza totale

=1 =1

ℎ 2

∑ ∑ (( + ̂ − (̂ + ̂ )) = − −

)

Varianza nei gruppi ,∙ ∙, 1 2

=1 =1

10 2

Varianza tra i gruppi

ℎ ∑(̂ − ̂ )

1 ,∙

=1

ℎ 2

∑(̂ − ̂

)

Varianza tra i gruppi ∙,

2 =1

Nota che non è presente solo perché non riusciamo a modellarla esplicitamente. Se ho verificato:

{ }

4 I dati devono essere gaussiani (verificato con un test)

{ }

5 I dati devono essere tra loro omoschedastici (verificato con il test di Bartlett)

H

E è vara allora:

0 2

~ con = ∙ ℎ

−1

2

Allora per il teorema di Cochran: ⊥ ⊥

1 2

1 2

2 2 2

~ , ~ , ~

−1 ℎ−1

(ℎ−1)(−1)

2 2 2

Scegliamo le statistiche test:

(ℎ − 1)( − 1)

1 = { > }

= ∙ ~ 1 −1,(ℎ−1)(−1),

1 −1,(ℎ−1)(−1)

−1

(ℎ

− 1)( − 1)

2 = { > }

= ∙ ~ 2 ℎ−1,(ℎ−1)(−1),

2 ℎ−1,(ℎ−1)(−1)

ℎ−1

ANOVA a una via di Kruskal-Walls Condizioni necessarie

…

1 I gruppi indipendenti di numerosità 1

2 I valori di ogni gruppo hanno la stessa unità di misura

≈ ⋯ ≈

3 I gruppi devono avere 1

{ }

4 I dati devono essere non gaussiani

{ }

5 I dati devono essere tra loro omoschedastici (verificato con il test di Levene)

L’algoritmo sfrutta, invece che il valore del dato , il rango di questo.

ANOVA a una via di Welch Condizioni necessarie

…

1 I gruppi indipendenti di numerosità 1

2 I valori di ogni gruppo hanno la stessa unità di misura

≈ ⋯ ≈

3 I gruppi devono avere 1

{ }

4 I dati devono essere non gaussiani

{ }

5 I dati devono essere tra loro eteroschedastici

11

Poiché i dati non hanno stessa accuratezza, si ha che la media dei dati deve essere equalizzata:

′

̂ = ∑ ∙ ̂ = ∑ ∙ ̂

2

̂

=1 =1

~

E la statistica test è una con un molto complicato.

Stratificazione

Tale tecnica serve a pianificare l’esperimento in modo da raccogliere i dati distribuendo opportunamente la

numerosità del campione tra le varie classi o strati.

1

Media della popolazione = ∑ ∑ = ∑ ∙ = ∑

=1 =1 =1 =1

1

Media della classe = ∑

=1

1

̂ = ∑ ∑

Media del campione

=1 =1

1

̂ = ∑

Media del campione nella classe

=1

(̂ =

)

2

, se il campione è indipendente

̂ ⟹

2

=

̂ 2

−

∙ , se il campione è non indipendente

{ − 1

{

Da cui: )

(̂ =

2

2

∑ , se il campione è indipendente

̂ ⟹

=1

2 2

2

= ∑ =

̂ ̂

2

−

=1

2

∑ ∙ , se il campione è non indipendente

− 1

{ {

=1

̂

Dunque per avere un più accurato possiamo scegliere un opportuno:

= ∙

Attribuzione proporzionale

2

2

= argmin , . . ∑ = }

{∑

̂

=1 =1

∙ , se il campione è indipendente

Attribuzione ottimale =1

∑

= − 1)

√/(

∙ , se il campione è non indipendente

∑ √/( − 1)

{

=1

12

Regressione lineare di dati omoschedastici

= + ∑ + , per = 1 …

0

=1

+1

[ ]

= … ∈ ℝ

Per trovare il valore di bisogna minimizzare la seguente funzione di costo:

0 2

1 1 1 2

2

)

() = ∑ − ( + ∑ )] = ∑( − ̂ = ∑

[

0

=1 =1 =1 =1

̂ = argmin{()}

Ossia e affinché esista:

2

0 = − ∑ − ( + ∑ )] = 0

[

0

0 =1 =1

∇() = = 0 ⟹

1

2

⋮ = − ∑ ∙ − ( + ∑ )] = 0, per = 1 &