Formulario di Modellistica e Identificazione

1

Teorico Campionario = +

()

() = ∫ ∙

() = + ()

Valor medio di ̂ = ∑ ∙ Π = ∑

Ω

=1 =1

2

( )

− ̂

2

2 2 2 2

() 2

= ∫ − ())

( =

Variazione di ̂ = ∑

Ω

=1

Π :

Dove è la frequenza relativa della classe della popolazione

⟶+∞

) ()

= ( ∈ = ∫ → Π =

Coefficiente di variazione

. . =

. . ≤ 0.2,

Generalmente si richiede che ossia che la distribuzione non si disperda troppo dalla media.

Dissimetria 3 3

( )

√∑ − ̂ ∙ Π

=1

=

Curtosi 4

∑ ( )

− ̂ ∙ Π

=1

= −3

4

2 ),

~( , = 0.

Che nel caso di si ha

Percentile | |

−

( > = %

)

Distribuzioni simmetriche Gaussiana T di Student

2

(

1 − ) =

Distribuzione = ∙ exp {− } √1

2 =1

2 2

∑ ( )

√2

(∙) 0

Valor medio

∙2 2

Varianza −2

+ 1

le variabili aleatorie

Nota 2 )

, … ~(0,

1

2

Distribuzioni asimmetriche Chi quadro F di Fisher

1

2

∑ ( )

=1

2 2

)

Distribuzione =

= ∑(

1 2

∑ ( )

=1

=1

(∙)

Valor medio −2

2

2 ( + − 2)

∙2

2

Varianza 2 (

( − 2) − 4)

+

Le variabili aletorie

Le variabili aleatorie

Nota 2 )

~(0,1) … , … ~(0,

1 1

Distribuzioni vettoriali

[ ]

∈ ℝ = , … ,

Se , ossia :

1

= , … ,

[ ]

1 2 2

⋯

1 1

= (( − ()) − ())) =

( [ ]

⋮ ⋱ ⋮

2 2

⋯

1

x

= ∙ + , ∈ ℝ ∈ ℝ

Se con e : () = ∙ () +

=

Distribuzione gaussiana vettoriale 1 −1

) (

(0, = ∙ exp{−[ − θ), Y − ]}

N

(2) ∙ √det

2 3

Test di del di Person () ()

H : ~ H : ≉

oppure

0 1 …

Dividi l’insieme ammissibile dei valori della distribuzione allo studio in sottointervalli disgiunti :

1

()

= ∫ , = 1 …

{ }

Dividi il campione in gruppi di dati ottenuti contando per ogni il numero di risultati fra gli

=1

∈ Π =

possibili tali per cui . Calcola per ogni il rispettivo . La statistica test è:

2

(Π − )

2

2

=∑ ~

−1

=1 10

2

2

= { > }. ≥ 5 ≥ .

Ossia il set critico è Nota che e . Questo test è più accurato più è alto

−1,

Test di Kolomogorov-Smirnov () ()

H : ~ H : ≉

oppure

0 1

( ) ()

() = ( ≤ ) = , = 1 … .

Sfrutta il confronto tra e Quest’ultima può essere

∫

−∞

< < ⋯ <

calcolata ordinando :

1 2 −1

( )

=

La statistica test è: −1

2 ) ( ), ( ) )) ) ))

= max − − ( = max − , − (

(( ((

+1

1≤≤ 1≤≤

2

= { > } ≅ 30.

Il set critico è dove è specifico per questo test. Questo test è opportuno per

Test di Anderson-Darling () ()

H : ~ H : ≉

oppure

0 1

Questo test ha che il test dipende dall’ipotesi da testare, dunque si avranno tabelle dei percentili differenti

a seconda della distribuzione ipotizzata da testare. La statistica test qui è:

2 − 1

2 )) ))]

= − − ∑ + ln(1 − (

[ln((

+1−

=1

≅ 20.

Il test è affidabile anche per

4 Stime Campionarie

Valori di popolazione Campione indipendente Campione non indipendente

Valor medio ̂ = ∑

=1

1 −1

2

2 2 2 2

2

Varianza ̂ = ̂ = ∑( − ̂ ̂ = ̂ ( )

)

,1 ,2 ,1

−1 −1

=1 Varianza per campione

Valor Medio Varianza per campione indipendente non indipendente

2

̂

,1 2 2

2

̂

(̂ =

) = ̂ (1 − )

=

,1

̂

̂

4 4 ]

)

[( − − 3

2

2 2 2

̂ (̂ =

) = − ?

( )

,∙ 2

̂ 4

− 1

,∙

Si ha dunque che per far valere il TLC: 1 1

4 ]

) 2

1 [( − − 3 1 −3 2

. . = − = ( + 3 − ) ≤ 0.2

( )

2

̂ 4 −1 −1

√ √

> 50, se ≤ 0

(0,2]

> 100, se ∈

⟹ {

> 500, se > 2

Test statistici di ipotesi

Dati gaussiani e omoschedastici Set critico teorico Set critico campionario

| − ̂ |

| − |

H : =

0 0 >

{ }

>

{ }

H : ≠ ,−1

̂

1 0 2

− − ̂

H : =

0 0 < −

{ } < −

{ }

,−1

H : < ̂

1 0 − − ̂

H : =

0 0 >

{ } >

{ }

,−1

H : > ̂

1 0

Test di confronto della media

Set critico con dati non

Set critico con dati gaussiani

gaussiani e vale il TLC

|̂ − | |̂ − |

)

H : (̂ =

0 > >

{ } { }

,−1

)

H : (̂ ≠ 2

1 ̂ ̂

̂ − ̂ −

)

H : (̂ =

0 < − < −

{ } { }

,−1

)

H : (̂ <

1 ̂ ̂

̂ − ̂ −

)

H : (̂ =

0 > >

{ } { }

,−1

)

H : (̂ >

1 ̂ ̂

2

> 50 ̂ ~( , )

Ricorda che se si ha ̂

5

Confronto tra medie con misure appaiate

Dati gaussiani e omoschedastici Set critico

)|

|̂ − (̂

H : ̂ = ̂

0

1 2 >

{ }

H : ̂ ≠ ̂ ,−1

2

1 ̂

1 2 )

̂ − (̂

H : ̂ = ̂

0

1 2 < −

{ }

,−1

H : ̂ < ̂

1 ̂

1 2 )

̂ − (̂

H : ̂ = ̂

0

1 2 >

{ }

,−1

H : ̂ > ̂

1 ̂

1 2

Dove si è assunto:

= − 2

̂

1 2 ,1

) 2

H : (̂ = 0 =

0

)

(̂ = ̂ − ̂ ̂

1 2

Confronto tra medie con misure non appaiate

Dati gaussiani e omoschedastici Set critico

)|

|Δ̂ − (Δ̂

H : =

0

1 2 >

{ }

H : ≠ , + −2

1 2

2

1 Δ̂

1 2 )

Δ̂ − (Δ̂

H : =

0

1 2 < −

{ }