Formulario di Modellistica e Identificazione

Teorico campionario

Teorico campionario = + ()() = ∫ ∙ () = + ()

Valor medio

Valor medio di ̂ = ∑ ∙ Π = ∑ Ω =1 =1

2( )− ̂2 2 2 2 2() 2 = ∫ − ()) (

Variazione

Variazione di ̂ = ∑ Ω =1Π :Dove è la frequenza relativa della classe della popolazione ⟶+∞ ) () = ( ∈ = ∫ → Π =

Coefficiente di variazione

Coefficiente di variazione . . = . . ≤ 0.2, generalmente si richiede che la distribuzione non si disperda troppo dalla media.

Dissimetria

Dissimetria 3 3 ( )√∑ − ̂ ∙ Π =1=

Curtosi

Curtosi 4∑ ( )− ̂ ∙ Π =1 = −3 42 ),~(, = 0. Che nel caso di si ha percentile | |− ( > = %)

Distribuzioni simmetriche

Distribuzioni simmetriche gaussiana T di Student2(1 − ) =Distribuzione = ∙ exp {− } √12 =12 2∑ ( )√2 (∙) 0

Valor medio e varianza

Valor medio ∙2 2 Varianza −2 + 1 le variabili aleatorie Nota 2 ), … ~(0, 1 2

Distribuzioni asimmetriche

Distribuzioni asimmetriche Chi quadro F di Fisher1 2∑ ( )=12 2)Distribuzione = = ∑( 1 2∑ ( )=1 =1 (∙)

Valor medio −222 ( + − 2)∙2 2 Varianza 2 (( − 2) − 4) + le variabili aletorie le variabili aleatorie Nota 2 ) ~(0,1) … , … ~(0, 1 1

Distribuzioni vettoriali

Distribuzioni vettoriali [ ] ∈ ℝ = , … , Se , ossia :1 = , … , [ ] 1 2 2 ⋯ 1 1 = (( − ()) − ())) =([ ]⋮ ⋱ ⋮ 2 2 ⋯ 1 x = ∙ + , ∈ ℝ ∈ ℝ Se con e : () = ∙ () + =

Distribuzione gaussiana vettoriale 1 −1) ((0, = ∙ exp{−[ − θ), Y − ]} N (2) ∙ √det2 3

Test statistici

Test di del di Person

Test di del di Person () ()H : ~ H : ≉ oppure0 1 … Dividi l’insieme ammissibile dei valori della distribuzione allo studio in sottointervalli disgiunti :1 () = ∫ , = 1 … { } Dividi il campione in gruppi di dati ottenuti contando per ogni il numero di risultati fra gli =1 ∈ Π =possibili tali per cui. Calcola per ogni il rispettivo. La statistica test è:

2(Π − ) 22 =∑ ~−1=1 1022 = { > }. ≥ 5 ≥ .Ossia il set critico è Nota che e. Questo test è più accurato più è alto −1,

Test di Kolmogorov-Smirnov

Test di Kolmogorov-Smirnov () ()H : ~ H : ≉ oppure0 1 ( ) ()() = ( ≤ ) = , = 1 … .Sfrutta il confronto tra e Quest’ultima può essere∫ −∞ < < ⋯ < calcolata ordinando :1 2 −1( ) = La statistica test è: −1 2 ) ( ), ( ) )) ) )) = max − − ( = max − , − ((( (( +1 1≤≤ 1≤≤2 = { > } ≅ 30.Il set critico è dove è specifico per questo test. Questo test è opportuno per

Test di Anderson-Darling

Test di Anderson-Darling () ()H : ~ H : ≉ oppure0 1 Questo test ha che il test dipende dall’ipotesi da testare, dunque si avranno tabelle dei percentili differenti a seconda della distribuzione ipotizzata da testare. La statistica test qui è:

2 − 12 )) ))] = − − ∑ + ln(1 − ([ln(( +1−=1 ≅ 20.Il test è affidabile anche per

Stime campionarie

Valori di popolazione

Valori di popolazione campione indipendente campione non indipendente

Valor medio ̂ = ∑ =1 1 −122 2 2 22 Varianza ̂ = ̂ = ∑( − ̂ ̂ = ̂ ( )) ,1 ,2 ,1−1 −1 =1 Varianza per campione

Valor medio

Valor medio varianza per campione indipendente non indipendente2 ̂ ,1 2 22̂ (̂ = ) = ̂ (1 − ) = ,1̂̂ 4 4 ]) [( − − 3 22 2 2̂ (̂ = ) = − ?( ) ,∙ 2 ̂ 4 − 1 ,∙

Si ha dunque che per far valere il TLC: 1 14 ]) 21 [( − − 3 1 −3 2. . = − = ( + 3 − ) ≤ 0.2( )2 ̂ 4 −1 −1√ √ > 50, se ≤ 0 (0,2] > 100, se ∈⟹ { > 500, se > 2

Test statistici di ipotesi

Test statistici di ipotesi dati gaussiani e omoschedastici set critico teorico set critico campionario | − ̂ || − |H : = 0 0 > { }> { } H : ≠ ,−1̂1 0 2− − ̂H : = 0 0 < −{ } < −{ } ,−1H : < ̂1 0 − − ̂H : = 0 0 > { } > { } ,−1H : > ̂1 0

Test di confronto della media

Test di confronto della media set critico con dati non set critico con dati gaussiani gaussiani e vale il TLC|̂ − | |̂ − |)H : (̂ = 0 > > { } { },−1)H : (̂ ≠ 21 ̂ ̂ ̂ − ̂ − )H : (̂ = 0 < − < −{ } { },−1 )H : (̂ < 1 ̂ ̂ ̂ − ̂ − )H : (̂ = 0 > > { } { },−1 )H : (̂ > 1 ̂ ̂ 2 > 50 ̂ ~( , )

Ricorda che se si ha ̂ 5

Confronto tra medie con misure appaiate

Confronto tra medie con misure appaiate dati gaussiani e omoschedastici set critico )||̂ − (̂H : ̂ = ̂ 0 1 2 > { }H : ̂ ≠ ̂ ,−1 21 ̂1 2 )̂ − (̂H : ̂ = ̂ 0 1 2 < −{ },−1H : ̂ < ̂ 1 ̂1 2 )̂ − (̂H : ̂ = ̂ 0 1 2 > { },−1H : ̂ > ̂ 1 ̂1 2

Dove si è assunto: = − 2̂ 1 2 ,1) 2H : (̂ = 0 =0 )(̂ = ̂ − ̂ ̂ 1 2

Confronto tra medie con misure non appaiate

Confronto tra medie con misure non appaiate dati gaussiani e omoschedastici set critico )||Δ̂ − (Δ̂H : = 0 1 2 > { }H : ≠ , + −2 1 221 Δ̂1 2 )Δ̂ − (Δ̂H : = 0 1 2 < −{ }