Formulario di Elettromagnetismo

Elettrostatica

Campo e forza elettrostatica

• Forza elettrostatica di Coulomb

! Ricavata

1 2 1 2

⃗⃗⃗

=

⃗⃗⃗⃗ , =

sperimentalmente

2

⃗⃗⃗

o

: forza elettrostatica agente tra le cariche e a distanza

1 2

1

o = ϵ

: costante di Coulomb, : costante dielettrica del vuoto

0

4πϵ

0

o : energia potenziale elettrostatica tra le due cariche

• Campo elettrostatico !

⃗⃗⃗⃗ Valida solo per cariche

q

s

⃗ ⃗⃗⃗⃗ ! ! ⃗⃗⃗

= , = = ⃗⃗⃗⃗

↔ V = k =

puntiformi se

C

2

r

forza di coulomb

⃗

o

: campo elettrico generato dalla carica sorgente

o

: forza elettrostatica generata e agente sulla carica di prova

⃗

o : potenziale scalare corrispondente a

• Potenziale elettrostatico

! Valido solo se il campo è

⃗⃗⃗⃗

⃗ ⃗

≔ − ∫ ∙ ↔ = −∇ conservativo

≡

o Δε:

differenza di potenziale elettrostatico tra i punti e

⃗

o

: campo corrispondente al potenziale

o Δε: Γ

differenza di tensione lungo un percorso da a (come il potenziale ma è definita anche per

campi non conservativi)

• Energia potenziale elettrostatica !

Valida per cariche puntiformi o

= ∫ ↔ W = −Δ = −qΔV sistemi di cariche

o

: energia potenziale elettrostatica di al potenziale

o :

lavoro per portare la carica da a

1 2

• Densità di energia elettrica

1 1 1 1

⃗ ⃗

2 2

μ ≔ = ϵ μ = = ∙

0

τ 2 2 ϵ 2

o : densità di energia elettrica nel vuoto e nei materiali

Equazioni di Maxwell per il campo elettrostatico

• Circuitazione del campo elettrostatico ! Solo campo

⃗⃗⃗⃗

⃗ ⃗

∮ ∙ = 0, ∇ × = 0 elettrostatico

• Flusso del campo elettrostatico ! Campo elettrostatico e

⃗⃗⃗⃗⃗

∮⃗ ⃗

∙ = /ϵ , ∇ ∙ = ρ /ϵ dinamico

0 0

Σ

o Σ.

: carica o densità di carica volumetrica interna alla superficie chiusa e orientata

La superficie è orientata con un versore normale ad essa.

• Equazione di Poisson e Laplace

2 ! Campo elettrostatico e

∇ = −ρ/ϵ

0 dinamico

Dipoli Elettrici

• Momento di dipolo elettrico di un sistema di cariche ! Formula generale. Si semplifica nel caso di

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ≔

∑

due cariche uguali e opposte.

! Per sistemi di cariche continui si usa

l’integrale e si sfrutta la relazione di densità

per esprimere

o

⃗⃗⃗⃗

: momento di dipolo complessivo del sistema di cariche rispetto al polo O, punto generico

appartenente al sistema di cariche

⃗⃗⃗

o

: distanza tra O e , orientato dalla carica negativa a quella positiva

• Potenziale di un sistema di cariche ! >>

q ∙ ⃗⃗⃗⃗

Solo se dimensioni dipolo

tot

)

( = + = + 1

! ( )

Si trascurano i termini

2

3

o ):

( ,

potenziale generato dal sistema di cariche in un punto a distanza dal punto dovuto al

termine di monopolo e a quello di dipolo (si trascurano i contributi degl’altri termini di n-polo)

o ∑

=

: carica complessiva del sistema (somma algebrica della cariche ).

= 0 nei sistemi complessivamente neutri come atomi o molecole.

o : momento di dipolo del sistema. Presente anche se il sistema è complessivamente neutro

• Energia potenziale elettrostatica di un dipolo elettrico ! ≪

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

= − ∙

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

o

: energia potenziale elettrica di un dipolo immerso in un campo elettrico esterno

• Momento della forza su un dipolo elettrico ! ≪

⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

= ×

⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

o

: momento della forza agente su un dipolo immerso in un campo elettrico esterno

• Forza su un dipolo elettrico ! ≪

⃗ ⃗

⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

!

= = −∇ = ∙

( )

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

o

: forza agente su un dipolo immerso in un campo elettrico esterno

 ⃗ ⃗

= = −∇

Esiste la formula più generale dalla meccanica:

Campo elettrostatico nei conduttori Correnti Elettriche

• Intensità e densità di corrente elettrica

⃗⃗⃗⃗⃗

≔ = ∮ ∙ , ≔

⃗⃗⃗⃗⃗ =

o : intensità di corrente elettrica

o

: densità di corrente elettrica attraverso la superficie orientata

o :

numero di cariche per unità di volume con velocità di deriva

• Conservazione locale e globale della carica elettrica

∂ρ

∇∙ =− , = +

• Legge di Ohm locale e globale !

σ⃗ Solo corrente continua, in caso di correnti

= , = alternate e in presenza di carichi non

puramente resistivi si usa l’impedenza

⃗

o σ

: densità di corrente generata da in un conduttore con conducibilità

o σ = 1/ρ: ρ:

conducibilità del conduttore, resistività del conduttore

o :

tensione che genera una corrente I in un conduttore con resistenza

o =

ρ/Σ : resistenza del conduttore

∫

• Combinazioni di resistenze

//

⊥

= , 1/ = 1/

∑ ∑

o : Resistenza equivalente di un parallelo o una serie di resistenze

• Effetto Joule ! Solo in presenza di

! 2 2 ! 2 ()

= = = /, = ∫ () = ∫ conduttori di

resistenza

o , : )

potenza e lavoro elet