Formulario di Elettromagnetismo

q q r

Legge di Coulomb Date due cariche e poste nel vuoto a distanza , la

1 2 12

F

forza di coulomb di interazione che si esercita sulla ca-

12

q q

rica a causa della presenza della carica è direttamen-

1 2

te proporzionale al prodotto delle cariche e inversamente

proporzionale al quadrato della distanza:

·

q q

1 2

F = k µ

ˆ

12 12

r

12

~

F

Campo Elettrico La forza normalizzata alla carica q si traduce in una

perturbazione elettrica dello spazio circostante Q (carica

posta nell’origine) e dipendente solo da Q:

N

~ −

F (x, y, z) 1 (~r r

~ )

~ 1

X

= E(x, y, z) = q i 3

|~r − |

q 4π r

~

0 1

i=1

~

E

Linee di Forza -Tangenti in ogni punto al

~

E

-Stesso verso di in ogni punto ~

E

-Densità delle linee di forza proporzionale all’intensità di

~

E

Teorema di Gauss Il flusso del generato da una distribuzione di cariche at-

P

traverso una superficie chiusa S arbitraria è pari alla

delle cariche interne ad essa diviso :

0

{ Q

intS

~ ~ · ·

Φ (

E) = E ~n dS =

S 0

S

Campo elettrico ge- Vale il principio di sovrapposizione degli effetti:

nerato da N cariche N

X

~ ~

E = E i

i=1

0 0 0

ρ(x , y .z )

Campo elettri- Data la densità volumetrica di carica:

co generato da 0 0 0 −

Z ρ(x , y , z ) (~r r

~ )

~ 1

E(x, y, z) = dτ

una distribuzione 3

|~r − |

4π r

~

0 1

τ

continua

Campo elettrico ge- Dato P un generico punto e x la sua distanza dal filo:

nerato da un filo λ

~

E(P )= µ

ˆ

rettilineo uniforme x

2π x

0

0 0 0

σ(x , y , z )

Campo elettrico ge- Data la densità superficiale di carica:

nerato da una di-  σ µ

ˆ , x> 0



stribuzione di carica x

 2

~ 0

E(x, y, z) = σ

piana − µ

ˆ , x< 0



 x

2 0

Campo elettrico ge- λR y

~

E = µ̂

nerato da una spi- y

3

2 2 2

(R + y )

0 2

ra sul suo asse di

simmetria

Campo elettrico ge-  z

σ

−

1 z> 0

√



nerato da un disco  2 2 2

~ z +R

0

E = σ z

pieno sul suo asse di

− −

1 z< 0

 √

 2 2 2

z +R

0

simmetria

Campo elettrico ge-  ρr µ̂ 0 <r<R



nerato da una sfera r

 3

~ 0

E = 3

ρR

piena µ̂ r>R



 r

2

3 r

0

Campo elettri- 

0 r < R

co generato da  1









~ ρ

E =

guscio cilindrico 2 2

−

[r R ]µ̂ R < r < R

r 1 2

1

2 r

0





infinitamente esteso  ρ 2 2

 −

[R R ]µ̂ r > R

 r 2

2 1

2 r

0

Teorema della Serve a trasformare un integrale di superficie in uno di

Divergenza volume: {

I Z

~ ~ ~

· ·

( E) = E ~n dS = dv Edτ

S τ

S

Prima equazione di ρ(x, y, z)

~ ~

∇

div E(x, y, z) = E(x, y, z) =

Maxwell 0

Potenziale elettro- Possiamo vedere che il potenziale è indipendente dalla linea

γ

statico percorsa per andare tra A e B

Z ~

~ · −

E dl = V (r ) V (r )

a b

A→B

Potenziale genera- Q

V (r) =

to da una carica 4π r

0

puntiforme

Potenziale di una Nel caso di una distribuzione discreta:

distribuzione arbi- N

X

V (r) =

traria i=1

Nel caso di una distribuzione continua: 0 0 0 0

0 0 0

Z Z ρ(x , y , z )dτ

dq(x , y , z ) =

v(r) = ~ ~

0 0

|~ − | |~ − |

4π r r 4π r r

τ

τ 0 0

Relazione tra V e E ~ ~

−∇V (x, y, z) = E(x, y, z)

 ∂V

−

(x, y, z) = (x, y, z)

 x ∂x







 ∂V

da cui −

(x, y, z) = (x, y, z)

y ∂y





 ∂V

 −

(x, y, z) = (x, y, z)

 z ∂z

~

~ ~ ~

−∇V ·

E = E dl = dV

Superfici Datto che e allora:

equipotenziali ~ ~

~ ~

∇V · |

∇V · | ·

dv(x, y, z) = (x, y, z) dl = (x, y, z)| dl| cos α

α

dove è l’angolo tra il gradiente di potenziale e la direzione

di spostamento.

α = 0 =⇒ dV = 0:

Se Gli spostamenti in direzione or-

togonale non determinano alcuna variazione della funzione

potenziale

~

E = 0

Proprietà condutto- 1. int

ri in elettrostatica ~

E

2. Sulla superficie ha solo la componente normale:

σ

~

E = µ

ˆ : emphTeorema di Coulomb

n n

0 ∀

V = V

3. Il conduttore è equipotenziale: A,B interni

A B

4. Tutte le cariche sono esterne al conduttore, non possono

essere presenti cariche interne

Z

Q = σ(x, y, z)dS

S

5. La superficie esterna del conduttore è equipotenziale

6. Gabbia di Faraday: un conduttore cavo è in grado d’i-

solare l’ambiente interno da un qualunque campo elettro-

statico presente al suo esterno, per quanto intenso questo

possa essere

7. Induzione completa: preso un conduttore cavo scarico e

posta una carica Q su un conduttore interno, sulle parete

interne ed esterne del conduttore cavo si inducono 2 cariche

q q

e con carica uguale in modulo a Q posta sul conduttore

1 2

centrale

8. Potere delle punte: tutte le volte che un conduttore pre-

senta delle punte o delle spigolosità, lì si riscontrerà una ele-

vata la densità di carica e anche