Formulario di Elettromagnetismo

E

o E : campo elettrico nel vuoto (senza dielettrico)

0

o E : campo elettrico nel dielettrico

o ϵ: costante dielettrica assoluta del mezzo (cambia a seconda del mezzo)

• Continuità e discontinuità del campo elettrico nei materiali

= e =

1// 2// 1⊥ 2⊥ ! Solo dielettrici isotropi

⃗

≠ → = σ / ⃗⃗⃗⃗⃗



1⊥ 2⊥ P 0

o = 1,2

: campo elettrico nel materiale parallelo all’interfaccia tra i due materiali

//

o = 1,2

: campo elettrico nel materiale perpendicolare all’interfaccia tra i due materiali

⊥ 

⃗

o : campo sulla superfice dell’interfaccia su cui è presente una densità di carica di



polarizzazione che genera il campo

 L’angolo del campo elettrico con la normale dell’interfaccia si trova con la legge di Snell

• Vettore polarizzazione !

Solo dielettrici isotropi, in quelli

⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ !

ℙ ≔ = χϵ , = σ

|ℙ | χ ℙ

anisotropi e sono tensori

0

! ℙ

Polarizzazione uniforme: costante

⃗

∇ ℙ=0

nello spazio:

!

⃗⃗⃗⃗⃗ = ℙ = ℙ()

⃗⃗ ⃗⃗ Solo altrimenti

∮ℙ ∙ = − , ∇∙ℙ = −ρ

o ℙ: vettore polarizzazione

o σ : densità superficiale di carica di polarizzazione sulla superfice del

dielettrico

o ρ : densità volumetrica di carica di polarizzazione

• Campo induzione dielettrica

⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗

≔ ϵ + ℙ = ϵE

0 ! Caso statico e dinamico

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗ ⃗

∙ = , ∮ ∙ = −

⃗

o : campo induzione dielettrica

o

: densità volumetrica di carica libera

 ⃗

Il campo in generale non è conservativo quindi non si può scrivere un’espressione generale

per la circuitazione o il rotore (si calcola caso per caso)

• Relazione tra polarizzazione e D

− 1

⃗⃗ ⃗ ⃗

ℙ = =

+1

Condensatori e induzione elettrostatica

• Induzione elettrostatica ! Solo campo elettrostatico nei

= 0, = 0 → =

conduttori

! Vale anche in presenza di cavità

o : carica complessiva di un corpo conduttore carico → la carica si distribuisce sulle

superfici esterne del conduttore anche in presenza di cavità

o : campo elettrico interno di un corpo conduttore

o : potenziale costante sulla superficie e all’interno del conduttore poiché il campo è nullo

• Induzione completa ! Solo induzione completa

= −

1 2

o : carica su una delle superfici nella situazione di induzione completa. Utile nei

condensatori

• Definizione di capacità elettrica ! Le formule di capacità per

=/ condensatori valgono solo se tra le

armature c’è induzione completa

o : ,

capacità elettrica di un conduttore contenente una carica ad un potenziale in altre

Δ.

parole, caricato con carica con una differenza di potenziale

 Utile per calcolare la capacità in vari sotto casi (condesatore piano, sferico, cilindrico e altri)

Σ

= ϵ , = 4πϵ , = 2πϵ

)

d − ( /

o ϵ: ϵ

costante dielettrica del mezzo, può coincidere con se il condesatore usa il vuoto come

0

dielettrico

o Σ:

superficie armature a distanza

o : raggio armature sferiche o cilindriche

• Combinazioni di condensatori

// ⊥

∑ ∑

= , 1/ = 1/

o : Capacità equivalente di un parallelo o una serie di capacità

• Energia nel condensatore ! , =

Solo se

! 2 2

= ∫ 1/2 = 1/2 = 1/2 = 1/2 /

o : energia potenziale elettrostatica immagazzinata nel condensatore

Magnetostatica

Campo e forza magnetostatica

• Forza magnetostatica di Lorentz !

⃗⃗⃗ ⃗ Ricavata

= ×

sperimentalmente

⃗⃗⃗⃗ ⃗

o

: forza magnetostatica di Lorentz agente su che si muove in un campo magnetico a

velocità

• Raggio di curvatura magnetica e velocità di rivoluzione !

⃗ Solo particelle non

= , ⃗⃗

ω = − relativistiche

o :

raggio di curvatura di una carica con massa e velocità che si muove in

o ω:

raggio di curvatura di una carica con massa e velocità che si muove in

• Prima legge elementare di Laplace !

⃗⃗⃗⃗ Ricavata

× ⃗⃗⃗⃗

× ⃗⃗⃗⃗

0 0

⃗ sperimentalmente

= ∮ = ∫ τ

2 2

4 4

τ

⃗

o

: campo magnetico prodotto da una corrente in un punto generico a distanza da un

tratto

o : permeabilità magnetica del vuoto

0

• Seconda legge elementare di Laplace

! =

Solo se

⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗

!

= ∫ × = ×

⃗

o ,

: forza agente su un filo percorso da una corrente lungo e immerso in

• Legge di Biot-Savart

μ ! >> r

Solo se (vicini al

0

⃗

() =

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ filo)

2πr

⃗

o (): r .

campo magnetico a distanza da un filo percorso da una corrente e di lunghezza

⃗

r

è tangente ad una circonferenza di raggio e asse il filo.

• Densità di energia magnetica

1 1 1 1

⃗ ⃗

2 2

μ ≔ = μ = μ = ∙

τ 2 2 2

0

o : densità di energia magnetica nel vuoto e nei materiali

Equazioni di Maxwell in magnetostatica

• Circuitazione del campo magnetostatico ! → =

Solo se stazionaria

⃗⃗⃗⃗

⃗ ⃗

∮ ∙ = μ , ∇ × = μ

0 0

Γ o : Γ

somma algebrica delle correnti concatenate da , il cui segno si determina con la regola

della mano destra

• Flusso del campo magnetostatico ! Campo magnetostatico e

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗ ⃗

∮ ∙ = 0, ∙ =0 dinamico

o : superficie chiusa e orientata

• Potenziale vettore ! Solo magnetostatica

⃗ 2

≔ ∇ × , ∙ = 0, = −

0

o : potenziale vettore (analogo al potenziale scalare del campo elettrico)

Dipoli magnetici

• Momento di dipolo magnetico

⃗⃗ = Σ ⃗⃗⃗⃗⃗

o : Σ

momento magnetico di una singola spira di area percorsa da un corrente (quantità

algebrica)

• Energia potenziale magnetica di un dipolo magnetico ! ≪

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

= −

⃗⃗ ∙

o

⃗⃗

: energia potenziale magnetica di una spira di momento immersa in un campo

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

magnetico esterno

• Momento della forza su un dipolo magnetico ! ≪

⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=

⃗⃗ ×

⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

o

: momento della forza agente su un dipolo immerso in un campo magnetico esterno

• Forza su un dipolo magnetico ! ≪

⃗ ⃗

⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

!

= = −∇ = ⃗⃗ ∙

( )

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

o

: forza agente su un dipolo immerso in un campo magnetico esterno

Campo magnetico nei materiali Magnetizzazione

• Permeabilità, suscettività e costante magnetica del mezzo ⃗

= 1 + χ = / , μ = !

Se è variabile le costanti

m 0

0 dipendono dalla frequenza

o : permeabilità magnetica relativa

o : suscettività magnetica

o : campo magnetico nel vuoto (senza un materiale magnetico)

0

o : campo magnetico nel materiale

o : permeabilità magnetica assoluta del mezzo (cambia a seconda del mezzo)

• Continuità e discontinuità del campo magnetico nei materiali

! Solo materiali isotropi

= =

e

1⊥ 2⊥ 1// 2// ⃗⃗⃗

!

Magnetizzazione uniforme:

costante nello spazio

⃗

≠ → = / ⃗⃗⃗⃗⃗⃗



1// 2// 0

o = 1,2

: campo magnetico nel materiale parallelo all’interfaccia tra i due materiali

//

o = 1,2

: campo magnetico nel materiale perpendicolare all’interfaccia tra i due

⊥

materiali 

⃗

o : campo magnetico nelle immediate vicinanze della superficie su cui è presente una



densità superficiale di corrente di magnetizzazione, che genera il campo

 L’angolo del campo magnetico con la normale dell’interfaccia si trova con la legge di Snell

• Vettore magnetizzazione ⃗⃗⃗

⃗⃗ 1 !

Magnetizzazione uniforme: costante

⃗

⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ! λ

≔ = , =

|

| ⃗

∇ = 0

nello spazio:

τ

0 ! Solo materiali isotropi

! =