Formulario di analisi dei dati

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X−∞ ≤ ≤ ≤a b +∞,interesse di una variabile aleatoria. Siano si ha allora≤p(X b) = F (b)X− ≤ −p(X > a) = 1 p(X a) = 1 F (a)X≤ ≤ − −p(a < x b) = p(X b) p(X > a) = F (b) F (a)X X −≤ ≤ ≤ − −p(a x b) = p(X b) p(X < a) = F (b) F (a )X X3 Variabili aleatorie continue 73.1 Variabili aleatorie assolutamente continueX F (x) assolutamente continuaLa variabile aleatoria avente funzione di distribuzione si diceX→ ∞)f : [0,se esiste una funzione integrabile (in senso improprio) su tale cheR Rx ˆxF (x) = f (a)daX X−∞f XdensitàLa funzione è chiamata della v.a. e gode delle seguenti proprietàx ´ +∞≥f (x) 0 f (u)du = 11. ed inoltre vale la normalizzazione, ovveroX X−∞ ∀x ∈F (x)2. Per le v.a. assolutamente continue, essendo continua si ottieneRX ˆb≤ ≤ f (x)dxp(a X b) = Xada cui è evidente notare che

la probabilità dei punti isolati è nulla. Il medesimo risultato si ottiene per tutti gli intervalli delimitati da disuguaglianze strette o meno. Se la v.a. ha FdD continua con derivata continua a tratti (C a tratti), allora è garantita l'esistenza della densità della v.a. che si può definire come: f(x) = 0 dove F(x) è continua f(x) = arbitrio dove F(x) non è continua Valore atteso |x| Se è una v.a. assolutamente continua con densità e la funzione è integrabile, il valore atteso è ∞: E(X) = ∫x f(x) dx -∞ Se è una funzione misurabile e se la funzione è integrabile, il valore atteso di g(X) vale ∞: E(g(X)) = ∫g(x) f(x) dx -∞ Il teorema fondamentale del valore atteso risulta anch'esso finito. Questo risultato va sotto il nome di valore atteso. Osserviamo che tutte le proprietà del valore atteso viste per

Il caso discreto continuan a valere.

VarianzaXSe è una v.a. assolutamente continua, la varianza si ottiene calcolando il valore atteso di2-g(x) = (x E(X)) ovvero ∞ 2-var(X) = (x E(X)) f (x)dxX-∞

Variabili aleatorie continue 8Variabili aleatorie uniformi (a, b)Corrisponde a una v.a. assolutamente continua nell'intervallo con densità

0 x<a

1 ≤ ≤f (x) = a x bX b-a

0 x>b

La sua funzione di distribuzione è quindi

0 x<a'

x x-a1 ≤ ≤F (x) = dx = a x bX b-a b-a

1 x>b

Otteniamo infine che che a + bE(X) = 2 2-(b a)var(X) = 12Variabile aleatoria di Cauchy λ > 0Corrisponde a una v.a. assolutamente continua di parametro con densità1 λf (x) =X 2 2π λ + x|x| f (x)Non ammette valore atteso, in quanto non è integrabile. Le v.a. di Cauchy hannoXvalore perlopiù teorico.Variabile aleatoria esponenziale

(unilatera) λ > 0

Corrisponde a una v.a. assolutamente continua di parametro con densità−λxf (x) = λe^u(x)X

La sua funzione di distribuzione è quindi −λx−F (x) = (1 − e^−λx)u(x)X

Otteniamo infine che che 1E(X) = λ

1var(X) = 2λ

Dalla funzione di distribuzione osserviamo che −λa≥ −p(X ≤ a) = p(X > a) = 1 − F (a) = e^−λa

Quanto ricorda il risultato precedentemente trovato con la v.a. geometrica, per cui k≥ −p(X ≤ a) = (1 − p)^k.

Osserviamo che la v.a. esponenziale e la v.a. geometrica sono simili, in assenza di memoria, quanto godono della stessa proprietà di

Variabili aleatorie continue 9

Variabile aleatoria di Laplace (bilatera) λ > 0

Corrisponde a una v.a. assolutamente continua di parametro con densitàλ −λ|x|f (x) = e^X 2

Otteniamo che E(X) = 0

var(X) = 2λ

Variabili aleatorie continue 103.2 Variabili aleatorie normali o gaussiane2∈X

µ σ > 0

Una variabile aleatoria di parametri e è una v.a. assolutamente continua con

Densità di probabilità 1 2(x−µ)1−√ ef (x) = 22 σX 22πσe gode delle seguenti proprietà

1. Simmetria rispetto al puntof (x) > 0
2. Positività, infatti sempreX 1x = µ, f (µ) =
3. Massimo unico in con √X 22πσ± ± 'x = µ σ, f (µ σ) 0, 6f (µ)
4. Ha due flessi, in con X X1
5. Integrabile su e il suo integrale valeR 2 +→σ 0

Osservazione. Se consideriamo il limite per otteniamo una distribuzione degenere1 2(x−µ)1−√ −lim e = δ(x µ)22 σ22πσ2 +→0σovvero l’impulso di Dirac.

Funzione di distribuzione

Applicando la definizione, otteniamo cheˆ ˆx x 1 2(a−µ)1−√F (x) = f (a)da = e da22 σX X 22πσ−∞

−∞la cui primitiva non è esprimibile in forma chiusa, pertanto deve essere valutata con metodi di integrazione numerica. Valore atteso e varianza 2µ σ Osserviamo che i parametri µ e σ corrispondono al valore atteso e alla varianza della v.a. normale, da cui E(X) = µ e var(X) = σ^2. Trasformazioni affini di v.a. normali Se X (µ, σ) è una v.a. normale, allora Y = aX + b con a ≠ 0 e b sono ancora v.a. normali. In particolare, Y (µY, σY) con µY = aµ + b e σY = |a|σ. Sia X una v.a. normale con media µ e deviazione standard σ, e sia Z = (X - µ)/σ. Allora Z è una v.a. normale standard (cioè con media 0 e deviazione standard 1). Standardizzazione di v.a. Se una v.a. X ha media µ e deviazione standard σ, allora la v.a. Z = (X - µ)/σ ha media 0 e deviazione standard 1. Z è chiamata v.a. normale standard (o gaussiana standard). Definiamo la funzione

La funzione di distribuzione di una v.a. normale standard è indicata con Φ(z) = ∫e^(-u^2/2) du/√(2π), i cui valori solitamente sono espressi in una tabella (non esistendo una forma chiusa per l'integrale).

Combinazione lineare di v.a. normali indipendenti N(μ, σ^2):

Se X_1, X_2, ..., X_n sono v.a. normali indipendenti, con media μ_i e varianza σ_i^2, allora si ha che:

X = ∑(a_i * X_i), con i che va da 1 a n

Calcolo di probabilità di eventi per v.a. normali N(μ, σ^2):

Data una v.a. X abbiamo che:

P(a ≤ X ≤ b) = Φ((b - μ)/σ) - Φ((a - μ)/σ)

Osserviamo poi, dalla parità della funzione di distribuzione e da quanto appena detto:

Φ(-z) = 1 - Φ(z)

per cui basta trovare i valori di Φ(z) per z ≥ 0.

Osserviamo poi alcuni valori di probabilità comunemente considerati:

P(Z ≤ z) = Φ(z)

P(Z > z) = 1 - Φ(z) = Φ(-z)

(-z) ≤ -p(|Z| z) = 2Φ (z) 1≥ -p(|Z| z) = 2(1 Φ (z))4

Classificazione delle variabili aleatorie

La classificazione si effettua considerando le caratteristiche delle loro funzioni di distribuzione. Le funzioni di distribuzione continue ma non assolutamente continue non sono utili in applicazioni di base e non le trattiamo, mentre le funzioni di distribuzione discontinue ma non costanti attratti sono molto interessanti.

Combinazioni convesse di funzioni di distribuzione ≤ ≤F (x) F (x), 0 λ 1

Date due funzioni di distribuzione e per ogni la funzione1 2 -F (x) = λF (x) + (1 λ)F (x)1 2 {a } i = 1, ..., n

Ne segue che, dati per tali che è una funzione di distribuzione (mistura). inP a = 1 n F (x) i = 1, ..., n, e funzioni di distribuzione per allora anche i ii=1 nXF (x) = a F (x)i ii=1 è una funzione di distribuzione.

Variabili aleatorie miste

Una variabile aleatorie che ha almeno

un salto e non è costante a tratti è detta v.a. mista. Anche la funzione di distribuzione corrispondente è detta funzione di distribuzione mista. Come esempio vediamo:

F(x) = λp(x)u(x|x) + (1-λ)f(w)dw

Densità di probabilità generalizzata:

La funzione di distribuzione, la densità sarà la sua derivata, ovvero:

f(x) = λp(x)δ(x|x) + (1-λ)f(x)

Valore atteso:

Data la v.a. mista, composta da una parte assolutamente continua e da una discreta:

E(X) = λE(X|x) + (1-λ)E(X)

Funzioni di variabili aleatorie:

X → Y = g(X)

Se g è una v.a. e è una funzione misurabile allora è anch'essa una v.a.

Calcolo della descrizione statistica di Y = g(X):

Data la distribuzione o la densità e la funzione misurabile determinare:

F(y) = F(x) f(x) Y = g(X)

La distribuzione o la densità della v.a. Un procedimento conveniente consiste nel ricavare dai dati a disposizione e da questa ricavare successivamente per derivazione. Si tratta quindi di calcolare −1≤ ≤ ∈F (y) = p(Y y) = p(g(X) y) = p(X g ((−∞, y]))Y5 Vettori aleatori 135 Vettori aleatori n−dimensionali