Formulario Circuiti 2°Ordine

Circuiti di secondo ordine

Tipologie di circuiti

I circuiti di secondo ordine includono configurazioni con induttori e condensatori come:

• Circuito C-L
• Circuito C-C
• Circuito L-L

Considerando variabili come v_L (tensione sull'induttore) e i_C (corrente nel condensatore), possiamo esprimere le relazioni fondamentali:

Relazioni caratteristiche

Le relazioni caratteristiche che descrivono il comportamento di induttori e condensatori sono essenziali per l'analisi dei circuiti di secondo ordine:

Condensatore: \( i = C \cdot \frac{dv}{dt} \)

Induttore: \( v = L \cdot \frac{di}{dt} \)

Matrice di stato

La rappresentazione in matrice di stato è una tecnica utile per analizzare i circuiti:

Matrice di stato: \( A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \)

Traccia di A: \( T = a_{11} + a_{22} \)

Determinante di A: \( \det(A) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \)

Equazioni caratteristiche

Le equazioni caratteristiche derivano dalla matrice di stato:

• \( \alpha = \frac{a_{11} + a_{22}}{2} \)
• \( \omega = \sqrt{|a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}|} \)
• Soluzioni per s: \( s = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - \omega^2} \)

Soluzioni e transizione di stato

Le soluzioni dell'equazione caratteristica permettono di determinare il comportamento temporale \( x(t) \) del sistema:

\( x(t) = A \cdot e^{s_1t} + B \cdot e^{s_2t} \)

Utilizzando queste relazioni e le matrici di stato, è possibile analizzare e progettare circuiti di secondo ordine per ottenere il comportamento desiderato. L'approfondimento di questi concetti è cruciale per applicazioni in elettronica avanzata e sistemi di controllo.