Geometria e Algebra lineare - Formulario

Vettore = v = Q-P : insieme di bipunti con modulo, direzione e verso di (P,Q).

Proprietà SOMMA dei vettori Proprietà MOLTIPLICAZIONE per scalare

λ(v λv λw

1) v + w = w + r 1) +w) = +

+ μ)*v λv + μv

2) (v + w) + t = (w + t) + r 2) (λ =

λ*(μv)

3) v + 0 = v 3) = (λμ)*v

4) v + (-v ) = 0 4) 1*v = v

Moltiplicazione (Vettore)*(Scalare, λ) λ*v

=



λ λ*v

1) Se = 0 = 0



λ>0 λv λ*|v|

2) Se è il vettore che ha stessa direzione e verso di v e modulo pari a



λ<0 λv

3) Se è il vettore che ha stessa direzione di v ma verso opposto e modulo

pari a |λ|*|v|. ≠

Versore = Vettore modulo unitario. Dato un vettore v 0 esistono due versori che hanno

stessa direzione, verso opposto che sono: (1/|v|)*v e (-1/|v|)*v.

≠

TEOREMA 1 = Sia v 0 . Un vettore w è parallelo a v, se e solo se è esprimibile come

(c’è una sola combinazione). Le comb. lin. di v sono

combinazione lineare di v a*v, ossia



sono i multipli tutti paralleli a v. Quindi se w e parallelo a v w = a*v con a = + |w|/|v|.

(quindi ≠

TEOREMA 2 = Siano v e w non paralleli 0). Un vettore t è complanare con v e w

solo esprimibile con l’unica combinazione lineare di v e w. Il vettore t complanare con v e w è

nella forma: t = a*v + b*w. tre vettori non complanari (e quindi ≠

TEOREMA 3 = Siano v, w e t 0), allora ogni vettore s

= λv + υt.

è esprimibile come combinazione lineare di w, v e t e ha forma: s + wμ

= Se all’interno di un insieme di vettori c’è anche il vettore nullo

TEOREMA 4 (dipendenza)

l’insieme è dipendente.

TEOREMA 5 (dipendenza) = Un insieme di due vettori {v , v } è linearmente dipendente se

1 2

e solo se i due vettori sono paralleli (che sono complanari è sottointeso).

TEOREMA 6 (dipendenza) = Un insieme di 3 vettori è linearmente dipendente se e solo se

tali vettori sono complanari.

RIASSUMENDO: ↔ ↔

2 Vettori: se paralleli (complanari) dipendenti prodotto vettoriale = 0

↔ ↔

3 Vettori: se complanari dipendenti prodotto misto = 0

↔ ↔

3 Vettori: se NON complanari indipendenti formano base (Corollario)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

= E’ un qualunque insieme di V

Base di tre vettori (l , l , l ) per il quale:

3 1 2 3

€ V

- Ogni vettore w è esprimibile come comb. lin. di (l , l , l ).

3 1 2 3

c’è un’unica combinazione l