Geometria e Algebra lineare - Formulario

Sistemi di riferimento = R = (0, l , l , l ) P-O = xl + yl zl

1 2 3 1 2 3



1) Se P ≡ (x, y, z) e Q ≡ (x’, y’, z’) v = (P-Q) = (x-x’)l + (y-y’)l + (z-z’)l

1 2 3



2) Se P ≡ (x, y, z) e v = (Q-P) = λ + λ + λ Q ≡ (x + λ , y + λ , z + λ

l l l )

1 1 2 2 3 3 1 2 3

(π)

Equazioni geometriche di un PIANO =

≡ (x

1) Basta conoscere un punto P , y , z ) che sta sul piano e due vettori || al piano,

0 0 0 0

= a’i +b’j +c’k di π sono:

v = ai + bj +ck e v con v non || v . Le equazioni parametriche

1 2 1 2

x = at +a’s + x t,s = Parametri arbitrari

0

y = bt + b’s + y (x , y , z ) = Coordinate di un punto di passaggio

0 0 0 0

z = ct + c’s + z (a,b,c) e (a’,b’,c’) = Componenti vettori || a π.

v e v

0 1 2

≡ (x = αi + βj + γk

2) Basta conoscere un punto P , y , z ) che sta sul piano ed un vettore n

0 0 0 0

che è _|_ a π. π ↔ (P-P ↔ (P-P

Allora un punto P sta su ) _|_ n )*n = 0.

0 0

 

+ βj + γk) = 0 ↔ α(x-x ) + β(y-y ) + γ(z-z

[(x-x )i + (y-y )j + (z-z )k)]*(αi ) = 0

0 0 0 0 0 0

di π:

Equazione cartesiana (implicita)

αx + βy + γz + θ = 0 con θ = (-αx βy γz ) e (α,β,γ) = Coefficienti del vettore _|_ a π.

- - n

0 0 0

≡ (x ≡ (x ≡ (x ) che stanno su π.

3) Basta conoscere 3 punti, P , y , z ), P , y , z ) e P , y , z

0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2



a) π passa per P ed è || a P -P e P -P ci si riconduce al caso 1).

0 1 0 2 0 

b) π passa per P )Λ(P

ed è _|_ a (P -P -P ) ci si riconduce al caso 2).

0 1 0 2 0  )Λ(P

c) Altrimenti P0, P1, P2 devono essere complanari (P-P -P )*(P -P ) = 0. Equazione:

0 1 0 2 0

x-x y-y z-z

0 0 0 

x -x y -y z -z = 0 Viene fuori equazione in forma implicita (cartesiana),

1 0 1 0 1 0

x -x y -y z -z una volta fornite le coordinate dei tre punti di passaggio.

2 0 2 0 2 0

Equazioni geometriche di una RETTA (r) =

≡ (x

1) Basta conoscere un punto P , y , z ) che sta sulla retta e un vettore v = ai +bj + ck || a r.

0 0 0 0

↔ (P-P ↔ (P-P

Un altro punto P sta su r ) || v ) = t*v ossia deve essere:

0 0



(x-x )i + (y-y )j + (z-z )k = t*(ai +bj + ck) Equazioni parametriche di r sono:

0 0 0

x = ta + x t = Parametro arbitrario

0

y = tb + y (x , y , z ) = Coordinate di un punto si passaggio (che sta su r).

0 0 0 0

z = tc + z (a,b,c) = Componenti di un vettore v || a r.

0 ≡ (x = αi + βj + γk

2) Basta conoscere un punto P , y , z ) che sta sulla retta e due vettori n ed

0 0 0 0 1

= α’i + β’j + γ’k ↔

n che sono _|_ a r. Un altro punto P sta su r (P-P ) è _|_ a n e n . Quindi

2 0 1 2

deve valere: (P-P )*n = 0 e (P-P )*n = 0 (scrivo la retta come intersezione di due piani).

0 1 0 2

Equazioni cartesiane (implicite):

αx + βy + γz + θ = 0 con θ = βy γz (α,β,γ) = Componenti di

-αx - - n

0 0 0 1

α’x + β’y + γ’z + θ’ = 0 con θ’ = – β’y – γ’z (α’,β’,γ’) = Componenti di

-α’x n

0 0 0 2

≡ (x ≡ (x

3) Basta conoscere due punti P , y , z ), P , y , z ) che stanno su r.

0 0 0 0 1 1 1 1



a) Se impongo (P -P ) || a r ci si riconduce al caso 1).

1 0

b) Un altro punto P ≡ (x, y, z) sta su ↔ (P-P ) quindi ↔ (P-P )Λ(P

r ) || (P -P -P ) = 0.

0 1 0 0 1 0

Combinazione lineare di piani = Spieghiamola con un esempio; siano:



π λ + λ

: 3x-2y+5 = 0 | (3x-2y+z) (x+y+z) = 0

1 1 2



π (3λ +λ +λ + (λ + 5λ

: x+y+z = 0 | )x + (-2λ )y )z = 0

2 1 2 1 2 2 1

Se almeno uno dei tre coefficienti di x,y,z è ≠0, abbiamo ancora un piano _|_ al vettore

- = (3λ +λ +λ + (λ Se λ , λ

n )i + (-2λ )j )k. = 0, non abbiamo più un piano.

1 2 1 2 2 1 2

= Si dice fascio generato da π e π , l’insieme

Fascio di piani dei piani che sono ottenibili

1 2

come combinazione lineare dei piani π e π , ovvero dei piani di equazione:

1 2

π(λ,μ): λ(ax + by +cz +d) + μ(a’x + b’y + c’z +d’)

π(λ,μ): μa’)x μb’)y μc’)z μd’) = 0

(λa + + (λb + + (λc + + (λd +

π(λ,μ) μa’)i μb’)j μc’)k λ(ai μ(a’i + b’j + c’k)

_|_ n = (λa + + (λb + + (λc + = +bj +ck) +

 λn μn _|_ π _|_ π

n(λ,μ) = + n n

1 2 1 1 2 1

 

Se π || π è l’insieme di tutti i piani || a π e π

1) n || n il fascio, improprio, .

1 2 1 2 1 2

 

Se π non è || π π ∩ π è l’insieme dei piani che

2) è una retta r il fascio, proprio,

1 2 1 2

= π ∩ π

contengono r . Ossia ogni piano del fascio contiene r.

1 2

= Si chiama stella generata dai piani π π π l’insieme dei piani che sono

Stelle di piani 1, 2, 3

quest’ultimi:

combinazione lineare di

π λ(a μ(a υ(a

: x + b y +c z +d ) + x + b y +c z +d ) + x + b y +c z +d ) = 0.

λ,μ,υ 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

π

Osservazione: _|_ n = a i +b j +c k

1 1 1 1 1 

π π λn μn υn

_|_ n = a i +b j +c k _|_ + +

λ,μ,υ

2 2 2 2 2 1 2 3

π _|_ n = a i +b j +c k

3 3 3 3 3 che π intersechi π π

- Ci deve essere almeno un piano che interseca gli altri due: facciamo .

3 1 e 2

 π ∩ π

1) Se n , n , n sono complanari r(qualunque): r = è parallela a r e r dove

λ,μ,υ λ,μ,υ

1 2 3 1 1 2



= π ∩ π = π ∩ π

r e r . Tutti i piani delle stella si intersecano secondo rette tra loro ||.

1 1 3 2 2 3

 stella impropria (contiene tutti i piani che sono || alle rette r e r ).

1 2

 π , π , π infatti π

2) Se n , n , n NON sono complanari si intersecando in un punto; deve

1 2 3 1 2 3 1

intersecare π lungo una retta r, che è || a (n1Λn2) ma non _|_ a n3 quindi non può essere || a π

2 3

  

r interseca anche π (π ∩ π ∩ π (che è l’insieme

) = {un solo punto}. stella propria

3 1 2 3

di tutti i piani che passano per quel punto, detto centro).

Mutua posizione di piani = Dati n piani, basta vedere il det. della matrice A (completa):



| a b c d | 1) Rango(A) = 1 I piani sono tutti coincidenti.

1 1 1 1 

A = | a b c d | 2) Rango(A) = 2 I piani stanno tutti sullo stesso fascio

2 2 2 2 

| a b c d | 3) Rango(A) = 3 I piani stanno tutti sulla stessa stella

n n n n

Mutua posizione di rette = Date due rette consideriamo la matrice dei coefficienti:

αx βy γz θ

ax + by + cz + d = 0 + + + = 0

a’x + b’y + c’z + d’ = 0 r’: α’x + β’y + γ’z + θ’ = 0

r:  I 4 piani passano per un’unica retta: r = r’ (coincidenti)

| a b c d | 1) Rango(A) = 2 

| a’ b’ c’ d’ | 2) Rango(A) = 3 I 4 piani stanno sulla stessa stella:



α β γ θ r e r’

A = | | a) Se propria incidenti (il sistema ha soluzione)



α’ β’ γ’ θ’ | r || r’

| b) Se impropria parallele non coincidenti (sistema senza soluzione)

 

r e r’ sono det(A) ≠ 0.

3) Se Rango(A) = 4 sghembe ossia basta che

- Per sapere se al punto 3) sono incidenti o parallele, si usa il teorema di Rouche-Capelli sul

sistema a 4 equazioni, i coefficienti delle incognite del quale sono i valori della matrice A.

Proprietà dei determinanti =

1) Se si scambiano due righe il det. cambia segno.

con λR + μ

2) Se si sostituisce una riga R R , il nuovo determinante è uguale al vecchio diviso

i i j j

per λ. Riassumendo: dove A’ è la matrice A ridotta per righe e

det(A) = c*det(A’) c è il

coefficiente determinato dal numero di scambi di righe e dai coefficienti λ usati nella

riduzione.

3) Se la matrice è nella forma triangolare superiore (inferiore) il det. è dato dal prodotto degli

elementi sulla diagonale.

= Se A è una matrice quadrata n x n, allora rango(A) = n ↔ det(A) ≠ 0.

- Teorema ≡ (x ≡ (x

Distanza tra due PUNTI = Dati P , y , z ) e P , y , z ) la distanza trai due è:

0 0 0 0 1 1 1 1

2 2 2

–P γ(z = √(x

dist(P ,P ) = |P | = |(x -x )i + (y -y )j + -z )k| -x ) + (y -y ) + (z -z ) .

0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

Distanza tra un PUNTO e un PIANO = Poniamo:



≡ (x

P , y , z ) Punto qualsiasi

0 0 0 0 

π: ax+by+cz = _|_ π.

-d Piano, con (a,b,c) = componenti di un vettore n π



≡ (x Punto che sta sul piano e che verifica quindi l’equazione (ax

P , y , z ) +by +cz = -d)

1 1 1 1 1 1 1



γ(z

(P -P ) = (x -x )i + (y -y )j + -z )k Vettore (P -P )

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1



n Vettore _|_ al piano dato ________

2 2 2

,π) = |π )c +d| / √a

Dist(P (P -P )| = |(P -P )*n|/|n| = |(x -x )a +(y -y )b +(z -z +b +c =

0 n 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

–by –cz

|ax +by +cz +d| con d = -ax

0 0 0 1 1 1

2 2 2

√a +b +c da trovare i piani σ || ad e _|_ ad un piano π e distanti X da

- Osservazione = Siano una retta r

un punto A ≡ (x , y , z ). Abbiamo che:

0 0 0  

π deve essere σ || r Λ

n _|_ v _|_ n da cui abbiamo: n = (v n )

π σ σ π

r r

 

σ σ _|_

n _|_ deve essere n _|_ n n poi: |ax +by +cz +d| = X

σ π σ π 0 0 0

2 2 2

√a

v || r +b +c

r

con (a,b,c) = Componenti di n e con (x , y , z ) coordinate di A. Si trova il valore d.

σ 0 0 0

Distanza tra un PUNTO e una RETTA =

≡ (x si può prendere il piano π che passa

I° Modo = Per calcolare la distanza tra P , y , z ) e r

0 0 0 0

ed è _|_ a r. L’intersezione r∩π è quel punto P

per P tale che dist(P -P )= dist(P ,r).

0 1 0 1 0