Formulari Fisica 1

Formulario di cinematica del punto

Moto rettilineo uniforme

$x(t)\; =\; x$₀ + _t0∫^t v(t) dt = x₀ + v _t0∫^t dt = x₀ + v(t-t₀)
Se t₀ = 0 → $x(t)\; =\; x$₀ + vt

$v$_m = Δx / Δt , v₂ - v₁

Moto rettilineo uniformemente accelerato

$v(t)\; =\; v$₀ + _t0∫^t a(t) dt = v₀ + a _t0∫^t dt = v₀ + a(t-t₀)
Se t₀ = 0 → $v(t)\; =\; v$₀ + at

$a$_m = Δv / Δt; a = dv / dt = d²x / dt²

$x(t)\; =\; x$₀ + v₀(t-t₀) + 1/2 a(t-t₀)²
Se t₀ = 0 → $x(t)\; =\; x$₀ + v₀t + 1/2 at²

Considerando $v2$ e a come f.m. della posizione oltre che del tempo: $\int$_x0^x a(x) dx - 1/2 v² - 1/2 v⁰²

$v2=\; v$₀² + 2a(x-x₀)

Moto verticale di un corpo

Caduta: x₀ = h, v₀ = 0, t = t₀ = 0

$v(t)\; =\; -gt$
$x\; =\; h\; -\; 1/2\; gt2$

Arriva al suolo dove x = 0 nel tempo $t*=\; \surd (2h/g)$ , e con $v$_f = √(2gh)

Lanciato verso il basso: x₀ = h, v₀ = v₁, t = 0

$v(t)\; =\; v$₁ - gt
$x\; =\; h\; -\; v$₁t - 1/2 gt²

$t$_c = (v₁ + √(v₁² + 2gh))/g

Corpo lanciato dal suolo verso l'alto: v(0) = 0, v(0) - v(2) > 0, t = 0

$v\; =\; v(2)\; -\; gt$
$x\; =\; v(2)t\; -\; (1/2)gt2$

Il corpo ha velocità nulla v(2) = 0 in $t$_(H) = v(2)/g e nella posizione $x$_H = x(t_(H)) = v²₂ / 2g

Per t > t_(H), -v(0) = 0 e $t$_(c) = √(2x_H/g) e durata totale $2t$_(H) = 2v(2)/g

Moto armonico semplice

$x(t)\; =\; A\; \backslash sin(wt\; +\; \backslash varphi)$ con A: ampiezza del moto (metri)

$\backslash omega(t\; +\; \backslash varphi)\; =\; \backslash text\{fase\; del\; moto\}$
$\backslash varphi:\; \backslash text\{fase\; iniziale\}$
$\backslash omega:\; \backslash text\{pulsazione\}$

$T\; =\; \backslash text\{periodo\; (secondi)\}$
$V\; =\; \backslash text\{frequenza\; (secondi\}^\{-1\})$

$T\; =\; \backslash frac\{2\backslash pi\}\{\backslash omega\}$ , $\backslash omega\; =\; \backslash frac\{2\backslash pi\}\{T\}$
$v\; =\; \backslash frac\{1\}\{T\}$ , $\backslash omega\; =\; 2\backslash pi\; v$

$x\text{'}(t)\; =\; v(t)\; =\; \backslash frac\{dx\}\{dt\}\; =\; vA\; \backslash cos(wt\; +\; \backslash varphi)$

$x\text{'}\text{'}(t)\; =\; a(t)\; =\; \backslash frac\{dv\}\{dt\}\; =\; -\backslash omega^\{2\}\; A\; \backslash sin(wt\; +\; \backslash varphi)\; =\; -\backslash omega^\{2\}\; x$

$x(0)\; =\; x\_\{o\}\; =\; A\; \backslash sin\; \backslash varphi$ ; $v(0)\; =\; v\_\{o\}\; =\; \backslash omega\; A\; \backslash cos\; \backslash varphi$

Moto nel piano

$x\; =\; r\; \backslash cos\; \backslash theta$ , $y\; =\; r\; \backslash sin\; \backslash theta$

$r\; =\; \backslash sqrt\{x^\{2\}\; +\; y^\{2\}\}$ , $\backslash tan\; \backslash theta\; =\; \backslash frac\{y\}\{x\}$

$r(t)\; =\; (0)\; -\; x(t)\; +\; y(t)$
$v^\{\backslash rightharpoonup\}\; =\; \backslash frac\{d\backslash mathbf\{r\}\}\{dt\}\; (\backslash text\{derivata\; del\; raggio\; vettore\; rispetto\; al\; tempo\}),\; \backslash text\{ma\}\; \backslash frac\{d\backslash mathbf\{r\}\}\{dt\}\; =\; ds$

$v\_\{t\}^\{\backslash rightharpoonup\}\; =\; \backslash frac\{ds\}\{dt\}\; =\; v^\{\backslash rightharpoonup\}$

Componenti cartesiane

$v^\{\backslash rightharpoonup\}\; =\; \backslash frac\{d\backslash mathbf\{r\}\}\{dt\}\; =\; \backslash frac\{dx\}\{dt\}\; +\; \backslash frac\{dy\}\{dt\}$ , $v\_\{t\}\; =\; v\_\{x\}\; +\; v\_\{y\}$

Componenti polari

$v^\{\backslash rightharpoonup\}\; =\; \backslash frac\{d\backslash mathbf\{r\}\}\{dt\}\; =\; \backslash frac\{dr\}\{dt\}\; +\; r\; \backslash frac\{d\backslash nu\}\{dt\}\; \backslash nu$

$a^\{\backslash rightharpoonup\}\; =\; \backslash frac\{dv\}\{dt\}\; =\; \backslash frac\{dv\}\{dt\}\; +\; \backslash frac\{v^\{2\}\}\{R\}\; =\; a\; =\; \backslash sqrt\{a\_\{t\}^\{2\}\; +\; a^\{2\}\}$

Moto rettilineo vario

$\backslash Delta\; w\; =\; 0$

Moto curvilineo uniforme

$a\_\{T\}\; =\; 0$

Componenti cartesiane

$a\; =\; a\_\{x\}\; u\_\{x\}\; +\; a\_\{y\}\; u\_\{y\}$

Where $a\_\{x\}\; =\; \backslash frac\{dv\}\{dt\}\; \backslash cos\; \backslash phi\; -\; \backslash frac\{v^\{2\}\}\{R\}\; \backslash sin\; \backslash phi$

$a\_\{y\}\; =\; \backslash frac\{dv\}\{dt\}\; \backslash sin\; \backslash phi\; +\; \backslash frac\{v^\{2\}\}\{R\}\; \backslash cos\; \backslash phi$

Moto circolare uniforme

$\backslash omega\; =\; \backslash frac\{ds\}\{dt\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{R\}\; \backslash frac\{ds\}\{dt\}\; =\; \backslash frac\{v\}\{R\}\; (\backslash text\{velocità\; angolare\})\; [\backslash text\{rad\}/s]$

Moto circolare uniforme

$S(t)\; =\; S\_\{0\}\; +\; V\; t$
$\backslash theta(t)\; =\; \backslash theta\_\{0\}\; +\; \backslash omega\; t$
In moto accelerato con a costante: $a\_\{n\}\; =\; \backslash frac\{v^\{2\}\}\{R\}\; =\; \backslash omega^\{2\}\; R$

Moto periodico con $T\; =\; \backslash frac\{2\backslash pi\; R\}\{v\}\; =\; \backslash frac\{2\backslash pi\}\{\backslash omega\}\; (T\; =\; \backslash text\{periodo\})$

$x\; =\; R\; \backslash cos\; \backslash theta\; =\; R\; \backslash cos\; (\backslash omega\; t\; +\; \backslash theta\_\{0\})$
$y\; =\; R\; \backslash sin\; \backslash theta\; =\; R\; \backslash sin\; (\backslash omega\; t\; +\; \backslash theta\_\{0\})$

Moto circolare non uniforme

$a\_\{t\}\; =\; \backslash frac\{dv\}\{dt\}$
$\backslash alpha\; =\; \backslash text\{acc.\; angolare\}\; =\; \backslash frac\{d\backslash omega\}\{dt\}\; =\; \backslash frac\{d^\{2\}\backslash theta\}\{dt^\{2\}\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{R\}\; \backslash frac\{dv\}\{dt\}\; =\; \backslash frac\{a\_\{t\}\}\{R\}$

Moto circolare uniformemente accelerato

$a\_\{n\}\; =\; \backslash omega^\{2\}R\; +\; (\backslash omega\_\{0\}\; +\; \backslash alpha\; t)^\{2\}R$

Moto parabolico

$x\; =\; V\_\{0\}\; \backslash cos\; \backslash alpha\; \backslash cdot\; t$
$y\; =\; V\_\{0\}\; \backslash sin\; \backslash alpha\; \backslash cdot\; t\; -\; \backslash frac\{gt^\{2\}\}\{2\}$

Traiettoria: $y(x)\; =\; x\; \backslash tan\; \backslash alpha\; -\; \backslash frac\{g\}\{2V\_\{0\}^\{2\}\; \backslash cos^\{2\}\; \backslash alpha\}\; x^\{2\}$

Gittata: $X\_\{G\}\; =\; \backslash frac\{2V\_\{0\}^\{2\}\; \backslash cos\; \backslash alpha\; \backslash sin\; \backslash alpha\}\{g\}\; =\; 2x\_\{M\}$

$X\_\{M\}\; =\; \backslash frac\{V\_\{0\}^\{2\}\; \backslash cos^\{2\}\; \backslash alpha\}\{g\}\; \backslash rightarrow\; \backslash text\{ascissa\; pt.\; di\; massima\; altezza\}$

$y(X\_\{M\})\; =\; y\_\{M\}\; =\; \backslash frac\{V\_\{0\}^\{2\}\; \backslash sin^\{2\}\; \backslash alpha\}\{g\}$

Formulario di dinamica del punto

3 principi della dinamica

1. In assenza di forza su un corpo, v=0 oppure v=costante
2. F = m·a
3. F_2,1 = -F_1,2

Risultante vettoriale delle forze applicate al punto.
$R\; =\; F\_\{1\}\; +\; F\_\{2\}\; +\; \backslash ldots\; +\; F\_\{m\}\; =\; \backslash Sigma\_\{i\}\; F\_\{i\}$

$R\; =\; m\; \backslash cdot\; a$
Le condizioni di quiete di un corpo sono date da $R+N=0$ (con R: risultante, N: reazione vincolare)

Forza peso

Accelerazione di gravità $g\; =\; 9,8\; \backslash \; \backslash text\{m/s\}^\{2\}$

$P\; =\; m\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{a\}\; =\; m\; \backslash cdot\; g$

Piano inclinato

$\backslash Sigma\; m\_\{y\}\; =\; N\; -\; P\_\{y\}\; =\; N\; -\; P\backslash cos\backslash alpha$
$\backslash Sigma\; m\_\{x\}\; =\; P\_\{x\}\; -\; P\backslash sin\backslash alpha\; =\; N\; -\; P\backslash cos\backslash alpha$
Lungo y: no accelerazione, corpo fermo lungo y

$m\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{a\}\_\{x\}\; =\; P\_\{x\}$
$N\; =\; m\; \backslash cdot\; g\; \backslash cdot\; \backslash cos\backslash alpha$
$\backslash mathbf\{a\}\_\{x\}\; =\; m\; \backslash cdot\; g\; \backslash cdot\; \backslash sin\backslash alpha\; =\; g\; \backslash cdot\; \backslash sin\backslash alpha$

Piano scabro, caso statico

• Forza di attrito statico F_as: F_as ≤ μ_s·N
• Forza di attrito dinamico F_ad: F_ad = μ_d·N

$0\; =\; N\; -\; P\backslash cos\backslash alpha$
$N\; =\; P\backslash cos\backslash alpha$

$0\; =\; P\_\{emx\}\; -\; f\_\{d\}\; -\; F\_\{n\}\; =\; P\_\{emx\}$

$P\_\{em\backslash alpha\}\; \le \; \backslash mu\_\{s\}\; P$ il lavoro resistente = 0