Fondamenti di matematica

NUMERI

VISUALIZZARE I NUMERI

definisco un'unitá di misura e le riposto sulla retta

BASE 10 → BASE 3

e.g. 1256₍₁₀₎ → 1; 0; 2; 1₍₃₎

1. 3 : 125 = 10 → 125
2. 3 : 42 → 42
3. 3 : 20 → 14
4. 3 : 4 → 4
5. 3 : 10 → 0

Problema che si pone con i NUMERI NATURALI: alcune equazioni non ammettono soluzioni

e.g. x + 2 = 4 → non ha soluzioni nei numeri naturali POSITIVI

1. 0
2. 1
3. 2
4. 3
5. 4

x + 2 = 4 → la soluzione esiste solo nei numeri negativix = -2

Estensione:x - x = 0 → ogni soluzione in base a cio che ho importato nei numeri N

Scrittiamo in grigio i numeri N | (razionali) p/q + p: intero, q = 1/unicitànotazione 1/3 (div)

NUMERI RAZIONALI

Dove sta 5? Tamara 5 e 3 poi partendo 4 è rapporto tra le parallelix _yx = ⁵/₃

9x - p = 0x =^p/₉

Numeri

Unicità dei numeri

(Ciascun numero è unico e si rapporta sulla retta ai)

Base 10 -> Base j

8: 1236 -> 1: 1358: 10 = 123

8: 3: 10 = 12

8: 2: 10 = 1

8: 1: 10 = 0

0,1

Problemi che si pone con i numeri naturali: alcune equazioni non ammettono soluzioni

Eg. x + 2 = 4 non ha soluzioni nei numeri naturali (positivi)

La soluzione esiste solo nei numeri negativi

x = -2

Fissazione:

* x = 0 è unica soluzione -> base a ciò che ha imparato nei numeri N

Entrano in gioco i numeri R (razionali) p/q p: intero, q: è il medesimo naturale ≠ 0

Numeri razionali

Dove sta 5/3? Unisce 5 e 3 poi porto da 1 e faccio parallelo

x = 5/3

9x - p = 0

x = p/9

I razionali contengono gli interi

Prodotto

_p1/_{q1 p2}/_{q2 p1∙p2}/_q1∙q2

Somma

_p1/_q1 + _p2/_q2 = _{p1(q2) + p2(q1)}/_(q1∙q2)

_p1/_q1 ? _{p1∙q2 che: q1 ∙p2}

m ≤ m

Integers: ∈ ^{2 3}

(₋₃) ∊ (₋₂) ³

x ∊ ₋₃

5/3 ∊

∜⁶⁴

^1/2 _4/2⁸

x + n = 0

Numeri Razionali:

Equivalenza di scritture:

Se n è pari, il valore che assume la funzione nel punto x e nel punto -x è lo stesso.

Dal punto di vista grafico, c'è una simmetria rispetto all'asse delle y.

Funzione Pari:

f(x) = xⁿ se n è pari, f(-x) = f(x)

Quindi una funzione è pari se f(-x) = f(x)

Funzione Dispari:

f(x) = xⁿ se n è dispari, f(-x) = -f(x)

Quindi una funzione è dispari se f(-x) = -f(x)

Per concludere:

Una funzione f tale che f(-x) = f(x) si chiama funzione pari, e il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse verticale.

Una funzione f tale che f(-x) = -f(x) si chiama funzione dispari, e il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine.

I numeri razionali hanno una caratteristica che i numeri interi non hanno: tra il 4 e il 5 loro ci sono altri numeri interi, fra 5 e ¼ (per esempio) c'è un quantitativo di altri numeri perché sono vicini. Basta mettere all'interno comune.

• ⅜ è più grande di ⅓ (rispetto ai numeri teorici, ma si nota come)
• q è più piccolo di 24
• 4 12

Per conclusione, in mezzo ai 2 numeri RAZIONALI, ne posso SEMPRE trovare un altro.

Relazione d'ordine, per sapere quale razionale è più grande:

m _q => m => p => q → 5 q - 3 < 4 ³/₄ 3 ¹/₂ => quindi 2 q - 3 < 4

Periodicità:

27 14

9 = 7, 9 28 51 4 235714

Antiperiodo:

• ¹⁰/₉ 2 85 7 14
• Parte intera
• Periodo

I numeri razionali si possono scrivere in questo modo. Vale anche il viceversa. Sapendo di avere solo il numero 1, 9 235714 c'è un modo per scrivere sotto frazione:

Si prosegue tutta la sequence escludendo la virgola, si toglie la parte interna del periodo (in questo caso 19) e si divide per tanti 9 quanto è lungo il periodio (e tanto 0 quanto è lungo e antiperiodo).

1923814 - 19 999990 27 14

I numeri razionali sono tutti periodici, tranne 0,9 periodico = 1:

È PIÙ GRANDE 0,3 o 0,3 ?0,3 = 0,30,4 o 0,4 ?0,40,9 o 0,9 ?0,91 o 0,9 ?

0,9 = 9 · 0,1 = 9 · 1/9 = 1

Se prendo nove (9) fa scattare immediatamente alla cifra "successiva".0,9 = 1.

L'unico numero non razionale, è quello di Liouville0,10100100010000100000...

nx - m = φu ═ intero ≠ φ la soluzione è x = u/n, ma se l'equazione diventa di 2° ?u ═ intero

X² = 2 → (u/n)² = 2 quindi: u² = 2n²Un numero intero può scomporsi in fattori primin = 2²·3·5·...·pⁿ e lo stesso vale per nQuindi:

u² = 2 · n→ Soluzione razionale.x² = 2 → u & n indivisibile con numeri razionali. Ciò significa che quest'ultimo non bastaUn numero razionale si scrive comeq₁, q₂, q_n p₁p₂p₃ ma esistono punti sulla retta che non corrispondono ai razionali: serve quindi il piano cartesiano.

Numeri Reali

Si definisce NUMERO REALE un qualsiasi ALLINEAMENTO DECIMALE del tipoq₁, q₂, q_n, a₁(all'infinito) con q relativo e a_i interi naturali ∈ ℕ .x² - ρ = φ → Cosi è indivisibile.Peròx² + 2 = φ ma la soluzione dell'insieme dei reali, entrano in gioco i numeri complessi: Scoperti da Evariste Galois:

a ∈ ℝ + a ± b con a, b ∈ ℝ → i² + 1 = 0