Fondamenti di matematica

Numeri

Una qualsiasi quantità definita in unità di misura è un rapporto sulla retta reale

• Origine

Esercizio

Cifre 0-9 base 10

• E.g. 1.35 0,135 1,0 = 1.3
• • 2/5
  • 2,5 = 10 : 5
  • 2,3
  • 1 : 10 = 1
  • 1/3
  • 1 : 10 = 0
  • 0,1

Decisioni (base 3)

Problema che si pone con i numeri naturali:

Alcune equazioni non ammettono soluzioni

• E.g. x + 1 = 4 ma x non ha soluzioni nei numeri naturali (positivi)
• x + 2 = -4 la soluzione esiste ma nei numeri negativi
• x = -2

Frazione:

- x - 2 = 0 → ammette la soluzione in base a ciò che ho imparato nei numeri N

Esistono in algebra numeri f_n (frazionali con p/q → p intero, q = denominatore)

Numeri Razionali

Dove sta 5/3? Divido 5 e 3 per portarlo da 1 e faccio la parabola

x = 5/3

• x y

9x - p = 0

x = p/9

I razionali contengono gli interi

Prodotto

^p₁/_q1 * ^p₂/_q2 = ^{p₁ * p₂}/_{q1 * q2}

Somma

^p₁/_q1 + ^p₂/_q2 = ^{p₁ (q₂) + p₂ (q₁)}/_{(q1 * q2)}

^p₁/_q1 < ^p₂/_q2 => q₁ * p₂ < q₂ * p₁

m < n => q_m < q_n ? Vero? => Tra i N sì, tra gli interi no.

Interi: Relazione falsa, vale la relazione inversa: -3 < -2

Qui numero razionale ha un certo numero che si ripete dopo la virgola.

5/3 = 1.6

21/9 = 2.2428571

7/6 = 2.83333

x - n = 0 => con il termine "n" in N, ammette soluzioni.

x + n = 0 => con il termine "n" in N, non ammette soluzioni.

Entrano in gioco i numeri relativi (Z): ...-3, -2, -1, 0, 1, 2...

Numeri Naturali: 0, 1, 2, 3... (N)

Numeri Relativi: ...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3... (Z)

Razionali: ...-1/3, 1/4, 3/5... (Q)

Numeri Razionali:

m => un intero relativo

n => sempre positivo

Equivalenza di scrittura:

È la moltiplicazione di "m" e "n" per lo stesso termine, esempio:

1/3 * m/n

NUMERI CON LA VIRGOLA DA BASE 10 A BASE 2:

137 in base 10, sarebbe:

• 1 · 10² + 3 · 10¹ + 7 · 10⁰

• 137 : 10 = 13 R = 7
• 13 : 10 = 1 R = 3
• 1 : 10 = 0 R = 1

Ma se ho un numero con la virgola e lo voglio in base 2:

ESEMPIO in BASE 10:

0,375 = 0,375 · 10 = 3,75

3,75 - 3 = 0,75

• 0,75 · 10 = 7,5
• 7,5 - 7 = 0,5
• 0,5 · 10 = 5

0,375

ESEMPIO in BASE 2:

0,375 = 0,375 · 2 = 0,75

0,75 - 0 = 0,75

• 0,75 · 2 = 1,5
• 1,5 - 1 = 0,5
• 0,5 · 2 = 1

0,011

0,1 in base 2 è un periodico: 0,0001

E se ho un numero tipo 7,6875?

Basta considerarli singolarmente:

7 + 0,6875

111 + 0,1011 = 111,1011