Fondamenti di macchine - Appunti

RESISTENZE VISCOSE NEI FLUIDI

z v dv Per liquidi newtoniani

τ µ

= x

dz 



d F

d F t



dA d

F 

x n d s

σ τ τ

 

x xy xz

 

π τ σ τ

=

Nasce un tensore degli sforzi:  

yx y yz

 

τ τ σ

 

zx zy z

+ ∆

t t  



 ∫ π

= ⋅ ⋅

dL d A d s

π =>

= ⋅

d

F d

A fs t ε γ γ

 

  

x xy xz

 

γ ε γ

∆ =   

Nasce anche un tensore delle deformazioni:  

yx y yz

 

γ γ ε

  

 

zx zy z

∂ ∂

∂

v v

v

ε ε

= =

ε = y

x z

 

; ;



x z

y ∂

∂ ∂

y

x z ∂ ∂ ∂

 

∂  

∂

v

  1 v v

v

∂ 1 v

1 v γ = +

γ  

γ = +

y

 

y

= +  

x z

z 

x 

 ; ;

 

  yz xz

xy ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ 2 z y

2 y x  

2 z x

   

PROPRIETA’ DEI TENSORI τ τ

=

- Le matrici sono simmetriche pertanto ij ji

- Esiste sempre una terna di riferimento per cui il tensore risulta diagonale, sulla diagonale

saranno allora presenti le tensioni principali tali per cui si ha:

ε ε ε

σ σ σ

+ + + +

  

x y z x y z

p p

p p

ε

σ = =

p p

; 

m m

3 3

ε



- Ad esempio mi da un idea di quanto velocemente si allontanano le facce su piani xy. E

z p ε

ε ε



 

così anche per e . Complessivamente mi da un’idea della variazione di volume

y

x p m

p

totale, che non risente della terna di assi presi come riferimento, pertanto la somma delle tre

σ

tensioni principali è un invariante. Grazie a questa sua proprietà noi assumiamo come

m

valore della pressione sul fluido, proprio perché non dipende dall’orientamento. Un caso più

σ σ σ σ

= = =

estremo è quando (sfera).

x y z p

p p

- I tensori possono essere scissi in due parti, la prima riguarda la variazione di volume (non

tiene conto della forma), la seconda invece riguarda le velocità di deformazione lungo assi e

angoli (tiene conto della forma):

 

ε ε ε γ γ

−

 

0 0

    

m x m xy xz

 

 

ε γ ε ε γ

∆ = + − = ∆ + ∆

0 0

    

 

 

m yx y m yz iso forma

 

 

ε γ γ ε ε

−

0 0     

   

m zx zy z m

 

σ σ σ τ τ

−

 

0 0

m x m xy xz

 

 

π σ τ σ σ τ π π

= + − = +

0 0  

 

m yx y m yz iso forma

 

 

σ τ τ σ σ

−

0 0

   

m zx zy z m π µ

- Esiste una relazione che lega i tensori: =>

=

− ∆

2

forma forma

π π µ

= − ∆

2

iso forma

- A seconda delle velocità abbiamo tre categorie possibili:

dv

τ µ

= ≅

< < 0

x

m/s => velocità molto basse, => cioè non ci sono

0 v 20

o dz σ = p

azioni tangenziali e tutte le tensioni principali sono uguali e valgono . È un

m

sistema adatto a tutte le macchine alternative dove abbiamo volumi di controllo. Nei

motori alternativi le velocità sono sui 15 m/s (nella F1 si arriva a 40 m/s), il fluido ha

in genere una velocità prossima a quella dello stantuffo.

< < ÷ m/s => le azioni tangenziali sono ancora piccole ma trascurarle

20 v 60 80

o potrebbe provocare un’approssimazione eccessiva. Dipende dall’esperienza.

> ÷ m/s => In questo caso le azioni tangenziali non sono trascurabili. È il

v 60 80

o caso di impianti con turbine a vapore dove seguo una massa nello spazio.

Generalmente l’espansione non riesce quasi mai isentropica proprio a causa della

azioni tangenziali, si sceglie allora un esponente m (o un rendimento) in base

all’esperienza. f

∫ p

+ = ∆ + ⋅

*

Q L U p dv

Nel primo principio io utilizzo , in questa formula il termine si riferisce

w m i π σ

= L

p

alla sola variazione di volume (senza considerare la forma ) . Mentre nel termine w

iso m m

π

io vado invece a inglobare tutti i termini dovuti alle azioni tangenziali (tengo della forma ).

forma

∫ = +

Tds Q L

Nel secondo principio ho: pertanto nel diagramma T-s l’area sottesa dalla curva

w m

+

Q L L

rappresenta . Se è adiabatica rappresenta solo pertanto l’adiabatica si distingue

w w

m m

L

dall’isentropica proprio a causa del termine :

w m

1

T T

m 2 Se adiabatica

2is Se adiabatica

s s

I PRINCIPIO IN FORMA SOSTANZIALE (Lagrangiano)

Individuo una massa e ne seguo l’evoluzione nello spazio. Il sistema di riferimento è sulla massa.

Adatto a macchine di tipo volumetrico.

= + +

*

dq dl du de

fs c , w , gr

= +

*

du du du

t ch 2 2

v u

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

= + + = + + = + +

e e e e E dm E dm E dm dm dm gzdm

rel

c , w , gr c w gr c w gr 2 2

= −

( dl ) ( dl )

fs rs fs re

riferito alla massa (divido per dm): = + +

*

dQ dL dU dE

fs c , w , gr

∆

forma non differenziale in un intervallo :

t = +

∆ +

∆

*

Q L U E

fs c , w , gr

dm •

= m

in forma di potenza (moltiplico per la portata ): • • • •

= +

∆ +

∆

*

Q L U m E m

fs c , w , gr

dt f

∫

+ = ∆ + ⋅

*

Q L U p dv

vale inoltre la relazione (che non è stata dimostrata): w m i

f

∫

che, assieme al primo principio mi da: = − ⋅ − ∆ −

L p dv E L

fs c , w , gr w m

i

I PRINCIPIO IN FORMA LOCALE (Euleriano)

Individuo un volume (di controllo) e guardo cosa vi succede nel tempo. Il sistema di riferimento è

sul volume di controllo.

Adatto a macchine di tipo compressori o turbine.

= + +

*

dq dl di e

i c , w , gr

riferito alla massa (divido per m): = + +

*

dQ dL di dE

i c , w , gr

∆

forma non differenziale in un intervallo :

t dm •

= m

in forma di potenza (moltiplico per la portata ): • • • •

= +

∆ +

∆

*

Q L i m E m

i c , w , gr

dt

n m

• • • •

∑ ∑

= + + − +

*

Q L m (

i E ) m (

i E )

in generale per più bocche: i i u

j j

c , w , gr u c , w , gr i

j j

= =

j 1 j 1 f

∫

+ = ∆ + ⋅

*

Q L i v dp

vale inoltre la relazione (che non è stata dimostrata): w m i

f

∫

che, assieme al primo principio mi da: = − ⋅ − ∆ −

L v dp E L

i c , w , gr w m

i

M M

1 2

dm dm Dimostrazione primo

1 1 principio in forma locale:

dm dm

2 2

dm dm

Nel mio volume di controllo entra una massa ed esce una massa .

1 2

= =

dm dm M M

Se il moto fosse stazionario avrei anche che

1 2 1 2

+ = +

M dm M dm

In un caso generale la massa nel volume di controllo è .

1 1 2 2

= + ∆ + ∆

*

q l u e

Scrivo il primo principio in forma sostanziale: fs c , w , gr

Per ricavare il lavoro consideriamo tutte le superfici in movimento sulle quali fare lavoro:



= + +

dl l dt dl dl

fs i a a

u i

dove = = =

dl F dx p A dx p v dm

a 1 1 1 1 1 1 1 1

1 = = =

dl F dx p A dx p v dm

a 2 2 2 2 2 2 2 2

2

sono i lavori delle due masse infinitesime

 =

è lavoro meccanico che so che c’è

l dt

i

quindi si ottiene:



= + +

dl l dt p v dm p v dm

fs i 1 1 1 2 2 2

Per ricavare il calore si riutilizza la medesima espressione:

=

dq q dt



Per ricavare l’entalpia lo stesso processo:

= +

u M u dm u

t 1 1 1 1

1 = +

u M u dm u

t 2 2 2 2

2 

= + + + + + +

Complessivamente si ottiene: q

dt l dt p v dm p v dm M u dm u M u dm u

 i 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2



= + ∆ + ∆ ⋅

q dt l dt ( pv ) dm u dm

 i = +

i ( pv ) u

sapendo che l’entalpia si definisce come si ottiene:



= + ∆ ⋅

q

dt l dt i dm

 i



= + ∆ ⋅

q dt l dt i dm

 i



q l

 = + ∆

= + ∆ q l i

=>

i

i i

m m

 

ENTALPIA E ENERGIA INTERNA

∆ = − ∆ = −

U c (

T T ) i c (

T T )

v f i p f i

Relazioni utili: T

∫

λ λ = =

= + − =

* *

R p

Q dv c dT c c R = *

pv R T

v v p v

v v c

T =

p

∫ λ

λ = − = − k

*

= + R v =

m

Q dv c dT cost

pv

p

p p p c

v

−

k 1

 

p k c c

 

f (il “k=1,4” si usa solo per ricavare e , per il resto uso “m” se non è isentropica)

=

T T   p v

f i p

 

1 =

L 0

(Si suppongono le trasformazioni isentropiche Δs = 0 ; e termini di energia nulli ΔE )

c,w,gr

w

Trasformazione Calore L

L

Forma locale Forma sostanziale fs

i

∫ ∫

∫

λ

Isocora = ⋅ = − = ⋅ =

= + =

Q dv c dT L v dp v ( p p ) L p dv 0

v v i f i fs

∫

= = −

c dT c (

T T )

v v f i ∫ ∫

∫

Isobara λ = ⋅ = = ⋅ = −

= + =

Q dv c dT L v dp 0 L p dv p ( v v )

p p i fs f i

∫

= = −

c dT c (

T T )

p p f i = =

Isoterma ∫ ∫ Q L

Q L

λ

= = ⋅ =

Q dv p dv fs

i

v v

*

R T

∫

= = f

*

dv R T ln

v v

i

= = ∆ = −

Q 0

Adiabatica − L U c (

T T )

k 1 fs v f i

β

= ∆ = − = −

L i c (

T T ) c T ( 1

)

k

i p f i p i

−

k 1

k

∫ β

= ⋅ = −

L v dp RT ( 1

)

k

i i

−

k 1

Si ha (da usare quando ho calore non nullo):  −

m 1

1 1 f

f  

  −

− −  

f f f 1

m 1 m 1

   

p p  

m m m p

− m

1 m 1 

m m

∫ ∫ ∫  

   

⋅ = = = ⋅ = ⋅ =

i i

v dp v dp v dp v p p v p p p v p

 

 

m m

 

     

m m 

i i i i i i i i i

− − −

 

p p m 1 m 1 m 1 p

 

     

     i

i i i 

i i

 

−

m 1

 

p

m m m

   

− −

m

  m 1 m 1

( ) ( )

β β

 

f

= − = − = −

v p 1 v p 1 RT 1

  m m

   

 

i i i i i

− − −

   

m 1 p m 1 m 1

 

 

i

  [ ]

m m f

f f f f

     

v v 1 1 f

∫ ∫ ∫ ∫ −

m m m 1

− − −

⋅ = = = = ⋅ = ⋅ =

m 1 m 1 m

   

i i

p dv p dv p dv p v v dv p v v v p v v

 

i i i i i i i i i

− − i

v v 1 m 1 m

i

i i i i  

−

m 1

f

   

− −

1 m 1 m

     

v p

1 v 1 1 1  

−

m m 1

  ( )

β

     

   

f f

= = − = − = −

v p v p 1 v p 1 v p 1

      m

 

 

i i i i i i i i

− − − −  

1 m v 1 m v 1 m p 1 m

   

     

   

i i i

 

 

i  

−

m 1

   

p T

m m m m

 

− m

m 1  

( )

β  

− = − = − = −

f f

v p 1 RT 1 RT 1 R (

T T )

 

 

m

   

i i i i f i

− − − −

 

m 1 m 1 p m 1 T m 1

   

i i

 

 

LAVORI DI COMPRESSIONE\ESPANSIONE

T

p p

2

p 2 p

2 T 1

2 2 '

2 2

T is 2 '

2 is

1

p is

m

1 k

L T

c pol L

1 c

1

v s

c = =

p

= k

isentropic a ( L 0 ) : pv cos t

k −

k 1 w

=

c R c

=>

v p ≠ =

k m

politropic a ( L 0 ) : pv cos t

= −

R c c w

p v

= − + ∆ + ∆

Q L i E =>

c c , w , gr −

k 1

   

− −

m 1 k 1 1

( ) β β

= ∆ = − = − = −

L i c T T c T 1 RT 1

   

η

m k y

c p 2 1 p 1 c 1 c

   

c

k −

k 1  

−

( ) k 1

β

= − = −

L c T T RT 1

  è il lav. isentropico.

k

c p 2 1 1 c

is

is  

k

2 m  

−

2 m 1

∫ β

= + = − + = +

∫ L