Fondamenti di macchine - Appunti

C A C A

Infatti si può anche scrivere: dove A è la stessa tra ingresso e uscita.

a 1 a 2

2

1

Per rappresentare le velocità sulla girante: α

c

1 – Disegnare inclinata con un angolo .

1 1

2 – Disegnare u, velocità di rotazione della girante.

w c

3 – Disegnare , somma vettoriale di e u.

1 1 α

α

w α 2 C C

4 – Disegnare inclinata di un angolo

2 2 β

1 a1 a2

w =ψw

5 – Disegnare u, velocità di rotazione della girante. 1

C =φC C 2 1

c w

6 – Disegnare , differenza algebrica di e u. w

1 1is 2

2 2 u

1

C C

7 – Le componenti tangenziali e rappresentano

u 1 u 2 u

l’energia cinetica persa. C C

8 – Le componenti assiali e rappresentano

a

1 a 2

lo smaltimento di portata. C C

u1 u2

w w c

Nel caso isentropico = e =

1 2 1

c .

1

is α α

=

Triangoli simmetrici .

1 2

C w

è simmetrica rispetto a .

1 2

C

In pratica si prende e la si ruota in

1 α α α

modo tale da formare in angolo pari a

2 1 2

α con l’asse orizzontale. α

1 2

α u

1

u

w w

In caso di isentropia e sarebbero

1 2

uguali in modulo.

Inoltre i triangoli sarebbero simili perché α α

aventi due lati e l’angolo uguali 1 2

u u

β α

=

Palettatura simmetrica .

1 2

w w

Si ha che è simmetrica rispetto a .

1 2

w

In pratica si prende e la si ruota in β α

1 α 1 2

modo tale da formare in angolo pari a

2

β con l’asse orizzontale.

1 w w

In caso di isentropia e sarebbero

1 2

uguali anche in modulo. c

= u

u 1

Palettatura simmetrica con 2

=

c 0

Si ha che .

u 2

Dunque il lavoro è massimo: β α

1 2

u

( )

2 2

α

C C cos

= − = = =

u

L u ( c c ) uC 1 1

1

i u u u

1 2 1 2 2

Si ha per il lavoro massimo un corrispondente rendimento detto rendimento ottimale:

α 2

( c cos )

η 1 1

θi L ( )

2 2

η α

= = =

i cos

opt 1

2

L C

η i lim 1

is

θiopt 2 α

u cos 1

Quando il rapporto raggiunge il valore si

c 2

u/c 1

1 è in corrispondenza del valore di rendimento

(cosα )/2 (cosα ) termofluidodinamico ottimale.

1 1 L

η = i

RENDIMENTO TERMOFLUIDODINAMICO ϑ i L

i lim

o o

−

i i

η = o 2

Total to total => o2

i C /2

ϑ o o

i −

i i

o 2 is 1is2

o L = C /2

lim

1=2is s

o o

−

i i

η = o 2

Total to static => ϑ o

i −

i i

o 2 is o2

i C /2 o L

lim

2is2

C /2 1=2is s

TURBINA A REAZIONE

i p o

o2 o

C /2 12 L

C /2 i p 1

1is 1 12 22

w /2- w /2

22 p

C /2 2

2is’ 2is 2 s

2 2

C C

∆ = −

i o 1

Equilibrio sul diffusore => 2 2 2 2 2 2 2 2

w w u u w w

∆ = − + − ≅ −

i 1 2 1 2 1 2

Equilibrio sulla girante (sistema rotante) => perché in genere u = cost

2 2 2 2 2 2

2 2

C C

= − ∆ + −

L i 1 2

Equilibrio sulla girante (sistema inerziale) => i 2 2  

2 2 2 2

C C C C

  o o

= − ∆ + − = + − + = −

o 2 o 2

L i i i i i

Equilibrio complessivo (sistema inerziale) =>  

i o 2 o 2

2 2 2 2

 

2 2 2 2 2 2

C C w w u u

= + − + − − +

L 1 2 1 2 2 1

Si può ricavare una nuova relazione per il lavoro: i 2 2 2 2 2 2

PARZIALIZZAZIONE

Consiste nel ricoprire di palette solo una porzione di circonferenza della girante. Ciò è possibile se la turbina è a

reazione.

π ξ ε ρ

= ⋅ − ⋅ ⋅

m ( dl ) (

1 ) c

 a 1

1

ε

−

(

1 )

dove è il fattore legato alla parzializzazione.La parzializzazione mi permette di avere meno palette ma più

alte. Il min di altezza deve essere 10 mm

η altrimenti rischio di disperdere portata.

θi RENDIMENTO TURBINA A PIU’ STADI

η θiopt Il rendimento della turbina ad azione è minore

di quello della turbina a reazione.

( ) 2

α

u/c 2 cos

η = 1

1 ( )

opt 2

α

+

1 cos

(cosα )/2 (cosα ) 2(cosα ) 1

1 1 1

w w

dipende da quanto espando nella girante. Se la pongo uguale a si nota dal grafico che non ricavo espansione

2 1

nella girante.

Il progettista ha una serie di variabili a disposizione:

α

- l’angolo 1 w

- l’entità dell’espansione (modulo di )

2

w

- inclinazione di 2 α α

= =

c w

Per limitare le variabili si assumono in genere i triangoli simmetrici e :

1 2 1 2

α α

1 2

u u α

= = =

c 0 u c c cos

A questo punto, per avere , devo porre :

u u 1 1

2 1

α α

1 2

c =w

2 1

u u

Nella turbina a reazione si ha che:

ψ

=

C C

1 1

is

ϕ

=

w w

2 2 is =

w w

si noti che è un caso particolare della turbina ad azione!!!

2 1

CONDIZIONI OTTIMALI DI TURBINE AD AZIONE E A REAZIONE α α

β α 1 2

1 2 c =w

2 1

u u

u ( )

α

=

β α

= u c cos / 2

Imposto => 1 1

1 2 Imposto =>

COMPRESSORE CENTRIFUGO

NB: Nei compressore la girante si trova prima del diffusore!!! W’’ C’’

2 β’’

u’’

2’’ T C’=W’

1 (u’ circa nulla

p 1 sull’asse) C T

L L ∆

−

ψ ξ

= = τ

i =

L L p 1

c w

' '

w η = χ = f

c w

ϕ = 2 2 2

u ' ' u ' '

r u ' '

y L

c L

u ' ' c c

2 2 2

β Curva limite = cost

= cost m RT

 1

⋅ 2

p d

1

1 – ingresso alla girante p

2’’ – uscita dalla girante 2

2

2 – Uscita dal compressore

Tra 1 e 2’’ avviene la compressione (c’è

una variazione di en cinetica perché il 2is

fluido accelera) L

Tra 2’’ e 2 ho il tratto nel diffusore che

c

fa disperdere energia cinetica L 2’’ p

cis 1

1

Applicazione del primo principio al compressore centrifugo tra 1 e 2: −

k 1

−

m 1

T η

⋅

k

β β

= ∆ = − = − = − = −

L i c (

T T ) c T ( 1

) c T ( 1

) c T ( 1

)

2 m y c

c p 2 1 p 1 p 1 p 1

T

1

Applicazione del primo principio alla girante (sistema inerziale) tra 1 e 2’’:

2

2

C ' ' C

( )

= ∆ + ∆ = − + −

L i E c T ' ' T 1

c c p 1 2 2

Nell’equilibrio a cavallo del diffusore non vedo lavoro perche` non ho parti mobili.

ζ π ρ

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

m d ' ' l ' ' w ' ' ' '



Equazione di portata r L

η c

= is

Rendimento per macchine operatrici: c L

c

Andamento di ψ in funzione di φ al variare dell’angolo di inclinazione β:

ψ β < 90°

β = 90°

2 β > 90° φ

C’’

W’’ W’’ C’’ W’’ C’’

Andamento di ξ in funzione di φ:

+ ξ = ξ +ξ

L L

L c d

ξ ξ ξ

= = = +

w w

w d c c d

2 2

u ' ' u ' ' ξ

2 2 ξ

1

ξ dovuto a perdite distribuite c

d

ξ dovuto a perdite concentrate ξ

c d φ

η

Andamento di in funzione di φ:

y

ψ ξ

− −

L L

η = =

c w ξ

ψ

y L

c ψ

2

1 η

0,5 y φ

χ

Andamento di in funzione di φ:

∆ ϕ ψ

i 2

χ = = − −

f 1 ψ

L 4 β > 90°

c 2 β = 90°

β < 90° φ

REGOLAZIONE COMPRESSORE CENTRIFUGO

Regolazione di velocità

β P’ P

= cost = cost m T

 1

p

1

Laminazione alla mandata

β P’ η=cost

P /p

2 a 0.6

0.7

0.8

P /p

s a P = cost

m T

 m T



m a a

p p

a a

β aum => L aum (anche se η aum)

=

P m

L



La => inizialmente scende (perché L aum poco dato che η aum)

c yc c yc

a c in seguito sale (perché L aum tanto dato che η dim)

c yc

Laminazione all’aspirazione

β P’ η=cost

p /p

s 1 0.6

0.7

0.8

p /p

s a P = cost

m T m T

 

a a a

p p

1 a

Le portate ottenute laminando all’aspirazione e alla mandata non sono uguali:

m m

 

m T m T

  =

a m < <

=

a a m a p p m m

 

=> ; poiché =>

1 a a m

p p

p p 1 a

1 a ρ =

TURBOPOMPE cost

Applichiamo il I principio nel VC:

∫

= ⋅ + ∆ +

L v dp E L =>

p c , w , gr w

m

2 2

c c

= − + − + − +

L v ( p p ) g ( z z ) L

2 1

p 2 1 2 1 w

2 2 m

2 2

−

( p p ) c c

= + − + − +

2 1 2 1

L g ( z z ) L

ρ

p 2 1 w

2 2 m c .p

2 2

 

2 2

−

( p p ) c c ΔH

− = + − + −

2 1 2 1

L L g ( z z )

 

=> z

ρ

p w 2 1

g 2 g 2 g

m   2

P VC

 

 

2 2

p c p c

 

− = + + − + + =

L L g z z

 

2 2 1 2

 

ρ ρ

p w 2 1

g 2 g g 2 g

 

m  

  c ,p

1 1

( )

= − = ∆

g H H g H

2 1 z

g∆

H 1

η =

− = ∆

L L g H

quindi si ha => => y

p w L

m p

Si definisce inoltre la potenza indicata:<