Fondamenti di fisica - meccanica

Funzione x(t)

La funzione x(t) è la variabile dipendente chiamata legge oraria, che spiega il movimento del corpo. Per capire come un corpo si muove è fondamentale una grandezza: la velocità (v). Approssimativamente essa è direttamente proporzionale alla variazione di spazio e inversamente proporzionale alla variazione di tempo. Per cui v ≈ Δx/Δt. Vogliamo essere più precisi utilizzando il limite.

Velocità e accelerazione

La velocità viene quindi definita come Δx/Δt (del rapporto incrementale quindi). In fisica v = dx/dt = ẋ (ẋ indica la derivata 1^o). Detto questo, recuperando l'esperimento possiamo osservare che:

• Δx = y₂ - x₀ > 0
• Δt = t₂ - t₀ > 0
• Δx = x₃ - x₀ < 0
• Δt = t₂ - t₀ > 0

Oltre ai segni, anche le dimensioni sono importanti. Per cui se calcoliamo la velocità, il risultato finale deve essere in m/s. Un'altra grandezza fondamentale per lo studio del moto è l'accelerazione che è uguale al rapporto tra Δv/Δt. Anche qui possiamo capire come essa non è altro che la derivata ẍ, cioè l'accelerazione è quindi a = d²x/dt².

• x(t)
• v(t) = dx/dt = ẋ
• a(t) = dẋ/dt = d²x/dt²

Cause

Dalla tabella della cinemetica osserviamo come utilizzando le derivate possiamo scendere un tono fino a giungere alle cause (chi si ferma solo all’accelerazione). Ovviamente tramite l’utilizzo dell’integrale si può andare a ritroso fino ad ottenere la legge oraria. Continuando lo studio degli effetti, è fondamentale sapere che tutti i corpi che si trovano sulla Terra sono sottoposti ad un’accelerazione detta di gravità (g) che vale 9,8 m/s². Quindi ritorniamo all’esempio della palla che cade quando la lasciamo, noi non possiamo le cause, ma possiamo che subisce l’accelerazione di gravità. Proviamo a risolvere alla legge oraria:

a(t) = dv/dt

∫^t_t₀a(t)dt = ∫^t_t₀dv/dt* la c è una costante e può fuori dall’integrale.∫a(t)dt = ∫(dv/dt)a(t_o) = v(t) - v(t_o) ⇒ v(t) = v_o + at

Calcolo della velocità e spazio

In questo modo abbiamo la velocità, ma non basta, dobbiamo salire al I^o livello.

v(t) = \(\frac{dx}{dt}\)

\(\int_{t_{o}}^{t} v(t) = \int_{t_{o}}^{t} \frac{dx}{dt} dt\)

\(\int_{t_{o}}^{t} [v_{o} + at] dt = x(t) - x_{o}\)

\(\int_{t_{o}}^{t} [v_{o}] dt + \int_{t_{o}}^{t} [at] dt = x(t) - x_{o}\)

v_ot + \(\frac{at^{2}}{2}\) = x(t) - x_o → x(t) = x_o + V_ot + \(\frac{1}{2}at^{2}\)

I parametri x_o e V_o contengono informazioni importanti, infatti sono rispettivamente lo spazio e la velocità iniziale. Per cui se immaginiamo di riprendere la pallina e ci posizionare l'occhio (l'origine) nel punto iniziale x_o che va possiamo reguida a 0.

a = costante

v ± in aumento

Parabola

Esercizi pratici

Grazie alle leggi possiamo risolvere alcuni facili esercizi:

1. Abbiamo una pallina a distanza h dal suolo, dobbiamo calcolare il tempo che la pallina impiega per giungere a terra e la sua velocità finale.

Mettiamo l'origine nel punto iniziale (x_o = V_o = 0)

x(t) = x_o + V_ot + \(\frac{1}{2} at^{2}\)

x(t) = \(\frac{1}{2} g.t^{2}\)

a = 9.8 \(\frac{m}{s^{2}}\)

t → h = \(\frac{1}{2} g.t^{2}\)

t = \(\sqrt{\frac{2h}{g}}\)

Verifichiamo l'esercizio controllando le dimensioni:

• t_{{f_1}}: \(\sqrt{\frac{2g}{g}}\)
• t_{{f_2}}: \(\sqrt{\frac{2mt^{2} - 1}{m/s^{2}}}\)
• t_{{f_3}}: \(\sqrt{2}s\)

Calcolo della velocità finale

Adesso calcoliamo la velocità finale.

v(t) = g(t)

v: = v(t) : \(\sqrt{\frac{2g}{g}} g\) \(\sqrt{\frac{2g}{g}}\) = \(\sqrt{\frac{2g^{2}}{g^{2}}}\) : \(\sqrt{2p_{g}}\)

x(t) : x_{0,seno}(wt) w ∈ R

v(t) = dx(t) : v_{g.d} : w.(cos(wt))

w = 1

v(t) : m_{1-s} : \(\frac{m}{s}\)

Moto uniformemente accelerato

L'equazione che abbiamo visto, ossia x(t) = x₀ + v₀t + 1/2 at², è quella del moto uniformemente accelerato dove a = costante. Questa legge vale solo per un corpo che si muove con traiettoria rettilinea e con un'accelerazione costante. Partendo da questa è facile ricavare l'equazione del moto rettilineo uniforme, in cui la velocità è costante e l'accelerazione è ^dv_x/_dt = 0. L'equazione di tale moto è x(t) = x₀ + V₀t.

Cinematica 3D

A questo punto spostiamoci nel mondo reale.