Fondamenti di fisica - meccanica

Meccanica

Cinematica 1D

Studiare meccanica significa studiare gli effetti e le cause di un movimento. Ordinariamente ciò che si muove è un corpo.

Per studiare il moto di un corpo e per rendere tale studio più semplice assumiamo il corpo come una punto materiale.

Chiaramente non sempre è lecito fare questa approssimazione.

Come la geometria studia il movimento vero e cioè studiare "perché" e come i corpi si muovono.

Insieme di studiare gli effetti e la cinematica, che appunto è la scienza che se ne occupa.

Gli effetti, come anche le cause, si studiano "collegando" con la natura tramite il linguaggio matematico.

Immaginiamo di avere in mano una palla, se la lasciamo essa cade in testa.

Per studiare gli effetti di un movimento dobbiamo fissare il punto di osservazione, cioè fissare l'origine di un sistema di riferimento.

Fissata l'origine dobbiamo fissare anche l'orientazione dello sguardo (si indica con ).

Adesso dobbiamo introdurre il strumenti di misura, tra cui metro e secondo.

Immaginamo che che la pallina dopo un tempo t₁ si trovi alla distanza x₁ dell'origine. Poi ad un tempo t₂ si trovi alla distanza x₂. Poi a t₃ in x₃ ed a t₄ in x₄.

• x₁
• x₂
• x₃
• x₄

• t₁
• t₂
• t₃
• t₄

Utilizzando questa simbologia tuttavia il moto della particella non risulta che chieso. Per cui è utile utilizzare un sistema ortogonale in due dimensioni (infitti il modo di una pallina su di un tavolo è in una dimensione --> cinematica 1D cioè 1 dimensionale).

Supponiamo di scattare il cronometro ad intervalli regolari, tali che:

ΔT = t₂-t₁ = t₃-t₂ = t₄-t₃

Ad ogni tempo riportiamo la distanza rispettiva. Chiaramente, essendo il tempo una misura continua, si possono anche fare misure più dettagliate trovando nuovi punti dello spazio ( x ) della cui unione si genera una curva, una

funzione x(t) [ x = è la variabile dipendente ]

Questa funzione prende il nome di legge oraria, ed è quella che spiega il movimento del corpo. Per capire come un corpo si muove è fondamentale una grandezza, la velocità (v). Approssimativamente essa è direttamente proporzionale alla variazione di spazio ed inversamente proporzionale alla variazione di tempo. Per cui v = Δx / Δt.

Vogliamo spiegare questi limiti utilizzando il limite.

La velocità può essere quindi scritta come Δx / Δt (del rapporto incrementale quindi).

Ricordiamo che quando calcoliamo la velocità, noi calcoliamo la derivata. In fisica: v = dx / dt (x indica la derivata di x°).

Detto questo, recuperando l'esperimento possiamo osservare che:

• Δx = x₂ - x₁ > 0
• Δt = t₂ - t₁ > 0
• Per cui i segni sono fondamentali
• Δx = x₂ - x₁ < 0
• Δt = t₂ - t₁ > 0

Oltre ai segni, anche le dimensioni sono importanti. Per cui se scegliamo la velocità il risultato finale dove essere in m/s. Un'altra grandezza fondamentale per lo studio di un moto è l'accelerazione che è uguale al rapporto tra Δv / Δt. Anche qui possiamo capire come essa non è nulla che la derivata ed l'accelerazione è quindi a = dv / dt

Dalla tabella della cinematica osserviamo come utilizzando la derivata possiamo scendere un tempo fino a giungere all'origine (che si trova noto l'accelerazione).

Ovviamente tramite l'utilizzo dell'integrale si può andare a ritroso fino ad ottenere la legge oraria.

Continuando lo studio degli effetti, è fondamentale sapere che tutti i corpi che si trovano sulla Terra sono sottoposti ad un'accelerazione detta di gravità (g) che vale 9,8 m/s².

Quindi ritornando all'esempio della palla che cade quando la tiriamo, noi non spieghiamo le cause, ma sappiamo che subirà l'accelerazione di gravità. Proviamo a risolvere della legge oraria.

∫(a(t - t₀)) dt = ∫_t0^t (dv / dt) dt

∫ a dt = ∫ ( dv ) a(t - t₀) = v(t) - v(t₀) -> v(t) = v₀ + at

Un altro tipo di controllo è quello con i coi: Ermit.

Una volta calcolato il tempo finale possiamo calcolare la gittata, quanto spazio percorrere la palla. Cadi spazio è uguale al valore di x al tempo finale.

y(t)_m = _{V0 g}sen(2α)

Attualmente lo spazio è massimo quando y_m è massimo. cioè quando α è uguale a 45°. Quando α = π/4

La gittata può essere calcolata utilizzando anche la traiettoria: x tg^2 9 ^{Y x0}

x = 2V₀²cos2α = 2V₀sen(2α)

Adesso possiamo ad analizzare il moto di due punti viceste che si muovono contemporaneamente. Supponiamo che una cacciatore si trovi nell'ogine e vuole catturare una scimmia che si trovi su un albero nel punto Q. Oltre ad Q, conosciamo anche la distanza a cui trovi la scimmia (d).

O andiamo contemporaneamente alla stesso istante in cui parte il proiettile si lascia cadere dalla scomia.

Il cacciatore colpirà la scimmia?

La scimmia lasciandosi cadere si muove di moto uniformemente accelerato.

Il proiettile si muove in 2 dimensioni. Orizzontalmente di moto rettilineo uniforme. Verticalmente di un moto uguale alla soomma. Se non si fosse la gravietà la scimmia rimarrebbe in agia il proiettile la colpirebbe (vedi video).

Ovviamente in tale esperimento dobbiamo anche conidissee l'effetto della scimmia con Elias che vediamo in seguito.

Verifichiamo l'esperimento con i numeri.

• schimmia

X _s = d

Y _s(t) = R - v _s (t) t

proiettile x_p(t) = V_{pcos α t}

proiettile y_p(t) = V _p(t)^(1-gt2)

Y_s(t) = R - _2gt

Due corpi devono arrivare nello stesso punto allo stesso tempo. Il proiettile deve successivamente ad arrivare alla distanza d, dopo quanto tempo?

X(t))d => d = V_{pcos α t}

t _{α x} V_pcosα

X _{α x} V_pcosα =

Adesso calcoliamo a che altezza si viene a trovare a tempo X.

y(t)_{t ^{2(d 2}}

^x2_{tan^{(d )/2}}