Fondamenti di Elettrotecnica

Introduzione fondamenti di elettrotecnica

L'elettrotecnica studia la tecnica dell'elettromagnetismo, più semplicemente si occupa delle applicazioni pratiche dell'elettricità. Tale tecnica viene esplicitata mediante la produzione, il trasporto e l'utilizzo di energia, o per inviare delle informazioni tramite segnali (WiFi, TV ecc...).

Sistemi elettrici

Esistono due tipi di sistemi elettrici: per energia, o per informazione. I sistemi elettrici sono basati essenzialmente sull'elettricità, ovvero quei fenomeni macroscopici che coinvolgono le cariche elettriche e le loro interazioni. Un sistema elettrico è soggetto a forze di tipo elettromagnetico.

Teoria dei circuiti

Nel caso dei circuiti elettrici viene esplicitata la teoria dei circuiti, ovvero la teoria che consiste nel creare dei modelli matematici di notevole semplicità, anziché risolvere delle equazioni differenziali. I vantaggi della teoria dei circuiti sono:

• Si passa da grandezze vettoriali a grandezze scalari (tensione intensità di corrente).
• Si passa dalle equazioni di Maxwell alle leggi di Kirchhoff.
• Sistemi elettrici sono modellati con elementi circuitali concentrati: cioè in una parte localizzata è solo presente un fenomeno elettromagnetico.

Le condizioni necessarie per far sì che si possa utilizzare la teoria dei circuiti sono che i campi variano lentamente nel tempo rispetto alla propagazione. [Condizioni quasi stazionarie] Ovviamente, le condizioni stazionarie danno origine all'elettrostatica e alla magnetostatica.

Corrente continua e alternata

La corrente continua (DC) è caratterizzata da un flusso di corrente di direzione ed intensità costante nel tempo. Nella corrente continua gli elettroni fluiscono sempre nello stesso verso.

Le condizioni quasi stazionarie si verificano quando le dimensioni del sistema geometrico in esame sono tali che il tempo impiegato dalle onde elettromagnetiche per attraversarlo risulta molto inferiore rispetto al tempo di variazione delle sorgenti.

Propagazione ondosa

In condizioni non stazionarie viene utilizzata la teoria della propagazione ondosa. Le definizioni circuitali iniziano con il circuito elettrico, che è un'interconnessione di elementi circuitali. La carica è una proprietà delle particelle che costituiscono la materia e può essere positiva (+) o negativa (-), e si misura in Coulomb. La carica non si crea né si distrugge ma si trasferisce.

Definizioni circuitali

Un bipolo è un elemento a due terminali. La corrente elettrica è definita come il flusso di carica che attraversa una superficie nell'unità di tempo e si misura in Ampere. Nella corrente continua (DC) l'intensità di corrente è costante nel tempo, mentre nella corrente alternata (AC) l'intensità di corrente varia sinusoidalmente.

La tensione, o differenza di potenziale, è definita come l'energia (capacità di eseguire lavoro) necessaria per trasferire la carica unitaria attraverso un elemento, l'unità di misura è il Volt. Quando ai due capi di un elemento è presente una differenza di potenziale, si parla di trasferimento di energia. Se il verso della tensione è concorde a quello della corrente si parla di generatore, se discorde si parla di utilizzatore.

Potenza e teorema di Tellegen

La potenza è definita come la rapidità di assorbimento o di emissione di energia rispetto al tempo, si misura in Watt. Si parla di potenza erogata (generatore) e di potenza assorbita (utilizzatore). Il teorema di Tellegen afferma che la somma delle potenze in un circuito è identicamente nulla. Se, però, consideriamo due circuiti con la stessa tipologia, ovvero stesso numero di elementi, interconnessi tramite stesso numero di nodi, si ha l'espressione nota come teorema di Tellegen.

Topologia dei circuiti

• Grafo: scheletro del circuito senza elementi circuitali.
• Ramo o lato: singolo elemento circuitale.
• Nodo: punto di interconnessione di più lati.
• Maglia: percorso chiuso in un circuito.
• Anello: maglia non costituita da elementi al suo interno.

Il principio di conservazione dell'energia in un circuito chiuso: in un circuito chiuso la somma algebrica delle potenze è uguale a zero.

Elementi attivi e passivi

• Elementi passivi: utilizzano potenza, ma non possono erogarla.
• Elementi attivi: utilizzano e generano potenza a seconda delle circostanze.

Leggi di Kirchhoff

• Legge delle correnti: in regime stazionario, o quasi, la somma delle correnti prese col segno più o meno rispetto alla normale alla superficie considerata è identicamente uguale a zero.
• Regola delle correnti: una corrente che attraversa una superficie chiusa è uguale alla somma algebrica delle correnti, prese col segno più o meno rispetto alla corrente presa in considerazione, che attraversano tale superficie.
• Legge delle tensioni: la somma algebrica delle tensioni lungo una sequenza chiusa di nodi è pari a zero.

La legge delle tensioni esprime il carattere conservativo del campo elettrico, rappresentando la variazione di energia che la carica subisce. Il verso di percorrenza per stabilire le tensioni è arbitrario.

Bipoli resistivi

Resistore

Il resistore è un bipolo caratterizzato da una relazione di proporzionalità tra tensione e intensità di corrente: V = IR.

L'equazione scritta sopra è nota come legge di Ohm. La costante R prende il nome di resistenza, e la sua unità di misura è l'Ohm. Rappresentata graficamente sul piano essa è una retta passante per l'origine di pendenza R. Una relazione di tale tipo è definita lineare.

Legge di Ohm

La legge di Ohm è anche una legge istantanea, in quanto tensione e intensità di corrente dipendono dallo stesso istante di tempo: V(t) = I(t)R.

Può esser calcolata anche l'intensità di corrente dalla legge di Ohm: I(t) = V(t)/R.

Dove, imponendo: G = 1/R, si ha: I(t) = GV(t).

Dove G è detta conduttanza e la sua unità di misura è il Siemens [S] oppure il mho [Ω].

Relazione di Ohm per resistenza cilindrica

Per una resistenza che ha una struttura cilindrica di lunghezza l e ampiezza A, la legge di Ohm diventa: R = ρ(l/A).

In tale relazione ρ è definita resistività. A parità di lunghezza e ampiezza la resistenza aumenta con l'aumentare della resistività.

Potenza assorbita

La potenza assorbita può essere riscritta come P(t) = V(t)I(t) = RI(t)² = V(t)²/R.

La resistenza è definita come elemento passivo essa può solo assorbire potenza non può erogarla. La potenza assorbita dal resistore viene tutta, o in parte, trasformata in calore (effetto Joule) un aumento di temperatura provoca un aumento di resistività.

Corto circuito e circuito aperto

Al resistore lineare possiamo definire due elementi ideali. Quando la tensione è identicamente nulla, per cui la resistenza è nulla, l'intensità di corrente può assumere qualsiasi valore: V = RI = 0.

In tal caso il resistore di resistenza nulla è detto corto circuito.

Diversamente se la conduttanza è nulla implica l'intensità di corrente nulla, ma la tensione può avere qualsiasi valore. In tal caso la resistenza prende il nome di circuito aperto.

Il corto circuito può essere assimilato ad un interruttore chiuso dove la resistenza ha valori trascurabili, mentre il circuito aperto può essere assimilato ad un interruttore aperto dove la resistenza ha valori elevati.

Generatori indipendenti

Una coppia di elementi ideali è costituita dal generatore indipendente di tensione e il generatore indipendente di corrente.

In un generatore di tensione, la tensione fornita dal generatore non dipende dall'intensità di corrente, dunque può essere approssimato ad un corto circuito; diversamente, in un generatore di corrente, la corrente fornita non dipende dalla tensione, dunque può essere approssimato ad un circuito aperto.

Bipoli in serie – Partitore di tensione

Due bipoli si dicono in serie se attraversati dalla stessa intensità di corrente. Per un circuito in cui resistori e generatori sono messi in serie è molto semplice calcolare l'intensità di corrente che attraversa tale circuito; per far ciò, infatti, bisogna usare la legge di Kirchhoff delle tensioni e utilizzare per i resistori la legge di Ohm. V₁ + V₂ + V₃ - V_R = 0.

Dalla quale si può stabilire una formula generale: ΣV = ΣIR.

Un caso particolare mostrato di bipoli in serie è il partitore di tensione, dove la tensione di ciascuna resistenza è proporzionale al valore della resistenza stessa.

Esempio: Ponte di Wheatstone

È detto ponte di Wheatstone un circuito costituito da:

• Un generatore di tensione
• Due resistenze di precisione
• Una resistenza variabile
• Una resistenza da calcolare
• Un galvanometro

Il galvanometro è uno strumento utilizzato per misurare l'intensità di corrente, la sua resistenza può essere considerata trascurabile. Il ponte è bilanciato quando tra gli estremi del ponte non vi è tensione e all'interno del galvanometro non scorre corrente. Quindi le quattro resistenze ai lati del quadrato rispettano la relazione: R₁/R₃ = R₂/R₄.

Bipoli in parallelo – Partitore di corrente

Due bipoli si dicono in parallelo se soggetti alla stessa tensione. Tale tensione può essere calcolata tramite la legge di Kirchhoff per le correnti e la legge di Ohm. Si ha quindi: V₁/R₁ + V₂/R₂ = 0.

Quindi: I - I₁ - I₂ = 0.

Tale legge può essere estesa come: ΣI = ΣV/R.

Un caso particolare è rappresentato dal partitore di corrente in cui la corrente che passa attraverso un resistore è proporzionale alla conduttanza.

Combinazioni di resistori

Un bipolo può essere sostituito ad un altro all'interno del circuito, purché abbia la stessa relazione caratteristica, ovvero: V = f(I).

Per mostrare questo fenomeno, basta considerare un circuito con tre resistori in serie, applicando la KLT, si ha: V - IR₁ - IR₂ - IR₃ = 0.

Dunque per la legge di Ohm: V = IR₁ + IR₂ + IR₃ = I(R₁ + R₂ + R₃).

Le tre resistenze sono eguali ad un'unica resistenza pari alla somma delle tre resistenze. Un altro fenomeno simile può essere notato per tre resistori messi in parallelo; tramite la KLC, si ha: I = I₁ + I₂ + I₃.

Per la legge di Ohm: V/R = I₁ + I₂ + I₃, 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + 1/R₃.

Tre resistori in parallelo possono essere approssimati da un unico resistore di conduttanza pari alla somma delle conduttanze.

Resistenza equivalente

Si parla di resistenza equivalente se la relazione che lega tensione e corrente è uguale alla legge di Ohm: V = IR.

Combinazione di generatori indipendenti

Anche i generatori possono essere messi in serie o in parallelo; considerando due generatori di tensione in serie, la tensione totale è data dalla somma algebrica delle tensioni, per cui tali generatori sono approssimabili ad un unico generatore di tensione.

Diversamente, se collegati in parallelo per la KLT si deve avere che i due generatori hanno tensione identica.

Per quanto riguarda i generatori di corrente in parallelo, essi possono essere approssimati ad un unico generatore di corrente di intensità pari alla somma algebrica della corrente generata dai tanti in parallelo. Diversamente, se collegati in serie per la KLC, si deve avere che i generatori eroghino la stessa corrente.

Trasformazione dei generatori indipendenti

Un bipolo collegato ad un secondo bipolo, costituito da un generatore di tensione in serie ad un resistore, è equivalente a un generatore di corrente in parallelo allo stesso resistore.

Applicando la LKT al primo circuito si ha: V = IR + V.

Applicando al secondo la LKC si ha: I = V/R + I.

Quindi i due bipoli coincidono solo se: V = IR.

Generatori reali

I generatori ideali sono impossibili da realizzare, infatti essi possono erogare una potenza illimitata, mentre i generatori reali no. Per approssimare lo stato di un generatore reale, esso si pensa come un generatore ideale collegato in serie ad una resistenza.

Per la LKT: V = E - IR.

Dove E è la tensione ai capi del circuito aperto ed R è detta resistenza interna del generatore. Se viene sostituito con un resistore, essa sarà uguale a: R = R + R_L, e V = E - IR.

Massimo trasferimento di potenza

La potenza fornita da un generatore reale di tensione con resistenza interna è pari a: P = I²R.

Per calcolare la massima potenza fornita basta porre uguale a zero la derivata della potenza rispetto alla resistenza di carico e calcolare la potenza nel valore trovato.

Dunque: La potenza massima fornita da un generatore reale di tensione con resistenza interna ad un carico di resistenza si ha per: R_L = R_i.

Principio di sostituzione

Il principio di sostituzione afferma che un bipolo può essere sostituito da un generatore di tensione, con tensione pari a V, senza alterare le proprietà del circuito. Diversamente, un bipolo può essere sostituito da un generatore di corrente, con corrente pari a I, senza alterare le proprietà del circuito.

Multipoli resistivi

Tripoli resistivi

Un tripolo è un elemento resistivo caratterizzato dall'essere attraversato da due correnti e da avere ai suoi capi due tensioni. Un tripolo fondamentale è il tripolo a stella; esso è formato da tre resistenze a forma di Y.

Per calcolare le relazioni costitutive di un tripolo a stella si usano la LKT e la legge di Ohm. Considerando le correnti ai capi come I₁ e I₂ e le due tensioni V₁ e V₂:

I₁ = G₁V₁ + (G₁ + G₂ + G₃)V₂

I₂ = G₂V₂ + (G₁ + G₂ + G₃)V₁

Le due formule possono essere anche scritte in forma vettoriale come I = GV.

Tripolo a triangolo

Un secondo tripolo fondamentale è il tripolo a triangolo, per calcolare le due relazioni costitutive bisogna considerare la legge di Kirchhoff delle correnti e la legge di Ohm.

I₁ = G₁(V₁ - V₂)

I₂ = G₂(V₂ - V₁)

Trasformazioni stella-triangolo e triangolo-stella

Ai tripoli stella e triangolo può essere applicato il concetto di equivalenza, infatti è possibile passare da una struttura ad un'altra mediante semplici formule che si ricavano dall'uguaglianza delle matrici di resistenza. Ad esempio: R₁ = R_AB(R_BC + R_CA)/ΣR.

Un caso particolare si ha quando le resistenze sono uguali. In tal caso si ha: R_Δ = 3R_Y. Le resistenze a stella devono valere un terzo di quelle a triangolo.

Generatori controllati

Diversamente dai generatori indipendenti, i generatori controllati, di tensione o corrente controllati in tensione o corrente, sono caratterizzati dal non essere conosciuti a priori i loro valori, ma essi dipendono da altre variabili presenti nel circuito, che tramite il metodo di analisi vanno calcolate.

Doppi bipoli resistivi

Un multipolo caratterizzato da quattro correnti e quattro tensioni è detto quadripolo. Un caso particolare di quadripolo si ha quando i terminali a due a due sono percorsi dalla stessa corrente.