Fondamenti di Elettrotecnica

7. CIRCUITI DEL PRIMO ORDINE

I circuiti del primo ordine sono circuiti dinamici, ovvero la loro soluzione è approssimata da una equazione

differenziale del primo ordine.

7.1 Circuiti RC ed RL in evoluzione libera

Consideriamo i due circuiti di primo ordine in figura. Le proprietà di tali sono esattamente duali.

Il primo circuito è costituito da un condensatore in serie ad un resistore, conoscendo la tensione ai capi del

condensatore per la LKT si ha: () + () = 0

()

Essendo la tensione ai capi del resistore.

Ricordando la relazione caratteristica del condensatore:

()

() =

E sostituendola nella LKT trovata si ha: ()

+ () = 0

Dunque dividendo tutto per il prodotto RC si è dinanzi, proprio, ad un’equazione differenziale del primo

ordine: () 1

+ () = 0

=

Dove è detta costante di tempo del circuito.

Considerando il secondo circuito costituito da un induttore in serie ad una resistore, conoscendo la

= 0,

corrente all’istante per la LKC si ha:

0 () + () = 0

Ricordando la relazione caratteristica dell’induttore:

() =

E sostituendola nella LKC trovata si ha: () + () = 0

Dividendo tutti i membri dell’equazione per il rapporto , si ha:

() 1

+ () = 0

=

Dove in tal caso .

Le equazioni considerate hanno entrambe la stessa forma:

() 1

+ () = 0

E la soluzione di quest’equazione differenziale lineare omogenea del primo ordine è:

() =

Sostituendo nell’equazione differenziale la soluzione si ha:

+ = 0

1

( + ) = 0

Dato che l’esponenziale non può essere eguagliata a zero e la costante K non è mai nulla altrimenti si

() = 0 ∀ ∈ ℝ,

avrebbe si ha: 1

=−

Quindi:

−

() =

Dato che stiamo considerando il caso t=0, il valore iniziale è uguale alla costante, dunque:

−

() = (0)

In ogni intervallo pari ad una costante di tempo il valore della x(t) si riduce del fattore 1/e.

Dopo circa cinque intervalli pari alla costante di tempo il valore finale è circa pari all’1% del valore iniziale,

dunque, trascurabile.

7.2 Circuiti RC e RL con un generatore costante

Applicando ai due circuiti precedenti un generatore di tensione costante al primo ed un generatore di

corrente costante al secondo si hanno le due equazioni differenziali simili a:

() 1

+ () =

Dove l’equazione è una differenziale, lineare e non omogenea.

La soluzione dell’equazione è:

−

() = +

Dove A è una costante.

() = ,

Sostituendo si ha:

0+ =

Dunque: =

All’istante t=0: (0) = + = (0) −

La soluzione dell’equazione è:

−

() = − +

[(0) ]

→ ∞ () →

Per si ha che , quindi:

−

[(0)

() = − (∞)] + (∞)

Dove: (0):

1. valore iniziale

(∞):

2. valore finale

:

3. costante del tempo.

7.3 Circuiti del primo ordine autonomi

Le proprietà applicate ai circuiti appena studiati possono essere estese ai circuiti detti autonomi, i quali

sono circuiti costituiti da un condensatore o un induttore che sono collegati ad un bipolo resistivo. Tale

bipolo può essere trasformato, nel caso del condensatore, in un bipolo di Thevenin calcolando la tensione a

vuoto e la resistenza equivalente, mentre nell’induttore si può trasformare in un bipolo Norton.

=

Se si conosce la tensione iniziale sul condensatore, la costante di tempo sarà e la soluzione finale

sarà:

−

[ ]

() (0)

= − +

→ ∞, () →

Dove per , dunque:

−

[

() (0) (∞)]

= − + (∞)

Forma analoga si ha per il calcolo della corrente nell’induttore.

Valore finale

Al tendere del tempo all’infinito, si raggiungono dei valori circa costanti per la tensione sul condensatore e

la corrente sull’induttore.

→ ∞:

Dunque per

1. Il condensatore può essere sostituito da un circuito aperto

2. L’induttore può essere sostituito da un corto circuito

Valore iniziale

Spesso è un dato del problema. Se il problema non da questo dato ed è presente un interruttore,

considerando l’instante t=0 quando l’interruttore viene aperto o chiuso, per la proprietà di continuità si ha:

+ −

(0 ) = (0 ) = (0)

+ −

(0 ) = (0 ) = (0)

Metodo sistematico

Il metodo per ricavare una grandezza x(t) per t>0 è:

−

(0) (0 )

1. Se non è nota ricavare sostituendo il condensatore ad un circuito aperto.

+

(0 ) > 0

2. Per calcolare all’istante sostituire il condensatore con un generatore di tensione del

(0)

valore di

(∞)

3. Calcolare sostituendo il condensatore con un circuito aperto

4. Ricavare

Il metodo è analogo per l’induttore.

Sostituire tutto nella relazione: + −/

[(0 )

() = − (∞)] + (∞)

7.4 Sovrapposizione nei circuiti del primo ordine

I circuiti con condensatori ed induttori sono detti circuiti lineari dinamici; per qualsiasi circuito lineare può

essere applicato il principio di sovrapposizione.

Per applicare il principio di sovrapposizione nei circuiti dinamici lineari bisogna:

1. Spegnere tutti i generatori e indicare, come primo contributo, la tensione iniziale del condensatore

o la corrente iniziale sull’induttore; inoltre, calcolare la resistenza e, dunque, la costante di tempo

→ ∞,

2. Accendere un generatore alla volta calcolando la tensione o la corrente cercata per

considerando la tensione o la corrente iniziale nulla

3. Sommare i valori trovati nei casi precedenti.

7.5 Stabilità, risposta transitoria e risposta permanente

> 0

I circuiti dinamici lineari del primo ordine con sono detti stabili e hanno equazioni lineari del primo

ordine che possono essere viste sotto forma di due equazioni:

−

[(0)

() = − (∞)] + (∞)

Dove la prima parte dell’equazione:

−

[(0) − (∞)]

È detta risposta transitoria, mentre la seconda parte:

(∞)

→ ∞ ().

È detta risposta permanente, in quanto per è il valore a cui tende

È molto semplice calcolare la risposta permanente, anzi è la cosa più semplice da calcolare, in quanto

bisogna studiare solamente i circuiti equivalenti in regime.

Circuiti instabili < 0

I circuiti dinamici del primo ordine che presentano sono detti circuiti instabili, la tensione o la

corrente misurata, rispettivamente su condensatore o induttore non tendono ad alcun valore asintotico per

→ ∞, il loro grafico diverge.

Dunque, per i circuiti instabili l’equazione finale non può essere scomposta in due equazioni.

7.6 Circuiti del primo ordine con ingressi costanti a tratti

Si può essere nel caso che la tensione erogata da un generatore non sia costante, per cui è introdotta la

funzione a gradino unitario: 0 <0

() = {

1 >0

Dove basta soltanto calcolare nei due casi differenti la tensione del condensatore o la corrente

dell’induttore.

Dunque, l’espressione della tensione del condensatore sarà uguale a:

− 0

−

()

= − ( − )

[1 ]

0

9. ANALISI IN REGIME SINUSOIDALE

Un circuito si dice in regime sinusoidale quando la risposta transitoria del circuito si esaurisce e tutte le

variabili diventano sinusoidali con la medesima frequenza.

La maggior parte dell’energia elettrica che utilizziamo viene prodotta per mezzo di macchine rotanti, le cui

grandezze hanno un andamento sinusoidale.

I segnali elettrici, però, sono ben più complessi di una semplice sinusoide. Tuttavia mediante opportuni

strumenti matematici è possibile scomporre i segnali nella somma di numerose sinusoidi di frequenze

differenti. Utilizzando il principio di sovrapposizione, la risposta dei circuiti lineari a tali segnali può essere

ottenuta sommando le risposte delle singole componenti.

9.1 Numeri complessi

Le soluzioni dell’equazione: 2

+ 2 + = 0

0

Sono: 02

2

√

= − ± −

1,2

<

Dove se la radice mostra un numero negativo all’interno, essa può essere risolta mediante l’unità

0

=

immaginaria dunque l’equazione avrà le soluzioni:

√−1, 02 2

= − ± √ −

1,2

Le soluzioni dell’equazione costituiscono due numeri complessi, dove la loro forma standard può essere

riscritta: = +

[] = [] =

Dove è detta parte reale di e è detta parte immaginaria del numero complesso. È

importante capire che e sono entrambi due numeri reali.

Due numeri complessi sono uguali se sono costituiti dalla stessa parte reale e dalla stessa parte

immaginaria.

Un numero complesso può essere rappresentato sul piano dei complessi, dove l’ascissa è detta ascissa dei

reali e l’ordinata è detta ordinata degli immaginari, tramite un vettore di modulo (lunghezza del vettore)

.

e angolo (angolo tra il vettore e l’ascissa reale) detto anche argomento di

&