Fondamenti di Elettromagnetismo, Prof. Leonardo Zappelli, Tutti gli argomenti del corso

GRANDEZZA FISICA: CARATTERIZZATA DA UNA QUANTITÀ (POSITIVA O NEGATIVA)

GRANDEZZA VETTORIALE: CARATTERIZZATA DA MODULO, DIREZIONE E VERSO

CAMPO: REGIONE DELLO SPAZIO IN CUI È DEFINITA UNA GRANDEZZA FISICA SCALARE O VETTORIALE VARIABILE IN FUNZIONE DEI PUNTI DELLA REGIONE.

2 CARATTERISTICHE FONDAMENTALI:

1. ESERCITA UN'AZIONE SENZA BISOGNO DI CONTATTO
2. HA BISOGNO DI UN CORPO DI PROVA PERCHÉ SI POSSA MANIFESTARE

MEZZI OMOGENEI: LE CARATTERISTICHE COSTITUTIVE DI TALI MEZZI NON VARIANO CON LA POSIZIONE (DISOMOGENEI = CONTRARIO)

MEZZI ISOTROPI: LE CARATTERISTICHE COSTITUTIVE DI TALI MEZZI NON VARIANO CON LA DIREZIONE (ANISOTROPI = CONTRARIO)

MEZZI LINEARI: LE RELAZIONI FRA LE GRANDEZZE DI TALI MEZZI NON DIPENDONO DAL VALORE DELLE GRANDEZZE (NON LINEARE = CONTRARIO)

Elettrizzazione:

Fenomeno fisico che conduce ad una sovrabbondanza di cariche di uno stesso segno nel corpo precedentemente neutro.

3 Modi di elettrizzazione:

1. per strofinio
2. per contatto
3. per induzione

Proprietà della carica elettrica:

1. Legge di conservazione della carica elettrica: "La carica elettrica netta non si può creare né distruggere"
2. Principio di sovrapposizione degli effetti: "Il vettore campo elettrico complessivo in un punto dello spazio dovuto a un sistema di cariche puntuali è uguale alla somma vettoriale dei campi elettrici in quel punto dovuti alle singole cariche"

Legge di Coulomb:

1. Una carica isolata q induce un campo elettrico E in ogni punto dello spazio e in un dato punto P: E = R ^ q/(4πε₀ |R|³) [V/m]

2. In presenza di un campo elettrico E in un dato punto dello spazio, la forza che agisce su una carica di prova q' quando è posta in quel punto è: F = q'E [N]

• Per molteplici cariche: E = 1/(4πε₀) Σ_i q_i(R-R_i)/|R-R_i|³
• Per distribuzioni di carica: E = 1/(4πε₀) ∫ dq R/|R|³

CAMPO ELETTRICO GENERATO SULL'ASSE DI UN ANELLO CIRCOLARE CON DENSITÀ DI CARICA LINEARE:

E = \(\frac{Q}{4\pi \varepsilon |R|^2}\) ^R

dE = \(\frac{dQ}{4\pi \varepsilon |R|^2}\) ^R

dE = \(\frac{p L B d\varphi}{4\pi \varepsilon}\) \(\frac{-B\hat{i} + z\hat{z}}{(B^2 + z^2)^{3/2}}\)

LA COMPONENTE LUNGO B SCOMPARE PERCHÉ SI POSSONO TROVARE SEMPRE ELEMENTI DI CARICA SIMMETRICI CHE ANNULLANO TALE COMPONENTE

E = \(\int_0^{2\pi} \frac{pLB d\varphi}{4\pi \varepsilon}\) \(\frac{z}{(B^2 + z^2)^{3/2}}\) ^z

= \(\frac{p L B z}{4\pi \varepsilon (B^2 + z^2)^{3/2}}\) \(\int_0^{2\pi} d\varphi\) ^z = \(\frac{p L B z}{2\varepsilon (B^2 + z^2)^{3/2}}\) ^z

DIFFERENZA DI POTENZIALE:

Si definisce differenza di potenziale (d.d.p.) il lavoro per unità di carica svolto da un "agente esterno" per spostare una carica da un punto A ad un punto B contro la forza elettrostatica F

_{LpA->pB = ∫PA^PB(-F)⋅dl = ∫PA^PB(-q0E)⋅dl [J]}

V_2A = V₂ - V_A = ^L_R->P2 / _q0 = -∫_PA^P₂E⋅dl [V]

DEFINIZIONI DI GRADIENTE, DIVERGENZA E ROTORE:

GRADIENTE:

Quando applicato ad una grandezza scalare, è un vettore il cui modulo è uguale alla velocità di massima variazione della funzione scalare per unità di lunghezza e la cui direzione è rivolta lungo la direzione di massimo incremento

∇ = ^∂/_∂x ⁱ + ^∂/_∂y ^j + ^∂/_∂z ^k

DIVERGENZA:

Si definisce divergenza di un vettore di campo ^A in un punto il flusso netto uscente dalla superficie ^A per unità di volume, quando il volume tende a zero:

div A̅ = ∇⋅A̅ = lim _ΔV->0 ∬_SA̅⋅dS / ΔV

ROTORE:

Si definisce rotore di un vettore ^A un vettore la cui ampiezza è la massima circuitazione di ^A per unità di area quando questa tende a zero e la cui direzione è normale alla direzione dell'area orientata che rende massima la circuitazione

rot A̅ = ∇xA̅ = lim _S->0 ∮_CA̅⋅dl / S

1° LEGGE DI KIRCHHOFF (AI NODI):

LA SOMMA DELLE CORRENTI ENTRANTI IN UN NODO È UGUALE ALLA SOMMA DELLE CORRENTI USCENTI.

_k=1^NΣ I_{K, ENTRANTI} = _j=1^NΣ I_{J, USCENTI}

2° LEGGE DI KIRCHHOFF (ALLE MAGLIE):

IN UNA MAGLIA CHIUSA, LA SOMMA DELLE CADUTE DI TENSIONE SULLE RESISTENZE È UGUALE ALLA TENSIONE EROGATA DAI GENERATORI.

V_g = _i=1^NΣ R_i I_i

RESISTENZE IN SERIE:

2 O PIÙ RESISTENZE SI DICONO IN SERIE SE SONO ATTRAVERSATE DALLA STESSA CORRENTE (RESISTENZE IN SERIE FORMANO UN PARTITORE DI TENSIONE)

R_e = _i=1^NΣ R_i

RESISTENZE IN PARALLELO:

2 O PIÙ RESISTENZE SI DICONO IN PARALLELO SE SONO SOTTOPOSTE ALLA STESSA DIFFERENZA DI POTENZIALE (RESISTENZE IN PARALLELO FORMANO UN PARTITORE DI CORRENTE)

¹/_Re = _i=1^NΣ ¹/_Ri

LEGGE DI AMPERE: DUE CONDUTTORI CONCENTRICI

∮_C H · dl = ∫₀^2π (−Hp ϕ̂) · v dϕ ϕ̂ = ∫_S Jz ds

−2πr Hp = ∫_S Jz ds

Hp = ^I/_2πr (a < r < b)

Hp = 0 (r < a)

Hp = 0 (r > b)

LEGGE DI AMPERE: CAMPO MAGNETICO IN UN CONDUTTORE REALE

∮_C H · dl = ∫₀^2π Hϕ r dϕ = Hϕ r ∫₀^2π dϕ = 2πr Hϕ

= ∫_S Jz ds = Jz π v²

Hϕ = ^Jz/₂ r = ^I/_2πa² r (0 < r < a)

Hϕ = ^I/_2πr (r ≥ a)

CAMPO ELETTROMAGNETICO IN UN CAVO COASSIALE:

E_r = V ¹/_{ln (b/a)} cos[ω(t - 2√L₀C₀)] [V/m]

H_φ = I/_2πr cos[ω(t - 2√L₀C₀)] = V/Z₀ 2πr cos[ω(t - 2√L₀C₀)] =

.......... V/_2πr cos[ω(t - 2√L₀C₀)] [A/m] con Z₀ = √L₀/C₀

E_r = L/ε 2π C_ε ln (b/a) = √μ/ε [Ω]

η = impedanza intrinseca d'onda

H_φ = √μ/ε [Ω]

E⃗ = +√μ/ε H⃗ × k̂

H⃗ = -√ε/μ E⃗ × k̂

CIRCUITO RL:

R i(t) + L di(t)/dt = V_s = V₀ cos(ωt)

di(t)/dt + R/L i(t) = V₀/L cos(ωt)

La soluzione si ottiene dalla somma della soluzione generale dell'omogenea associata con la soluzione particolare:

di(t)/dt + R/L i_g(t) = 0 i_g(t) = A e^-t/τ τ = L/R

i_p(t) = e^-t/τ ∫ (V₀/L) cos(ωt) e^t/τ dt == V₀ cos(ωt)

...... ........................... cosφ₂ sinφ₂

................................. R/√R²+(ωL)² ωL/√R²+(ωL)²

φ₂ = arctg (ωL/R) => i_p(t) = V₀ cos(ωt - φ₂) / √R²+(ωL)²

i(t) = i_g(t) + i_p(t) = A e^-t/τ + V₀ cos(ωt - φ₂)/√R²+(ωL)² => A = i₀ - V₀/√R²+(ωL)² cos φ₂

i(t) = (i₀ - V₀ cos φ₂/√R²+(ωL)²) e^-t/τ + V₀ cos(ωt - φ₂) / √R²+(ωL)²

SOLUZIONE TRANSITORIA SOLUZIONE DI REGIME