Fondamenti di Automatica - domande

Un esempio di feedback negativo è il mantenimento della temperatura corporea costante. Quando il corpo

si surriscalda, iniziala sudorazione. Più aumenta la sudorazione più si abbassa la temperatura corporea

portando a sua volta la sudorazione a diminuire. Quando la temperatura torna a livelli normali il circolo

vizioso si interrompe e la sudorazione cessa.

9) Spiegare come funziona il regolatore di Watt e perché è importante nella teoria del controllo

automatico.

Il regolatore centrifugo di Watt, risalente al 1788, è un dispositivo meccanico in grado di regolare la velocità

di rotazione di un motore a vapore. All’aumentare della velocità le sfere si sollevano e, tramite il

meccanismo a parallelogramma, viene chiusa progressivamente la valvola a farfalla che limita il flusso di

vapore e l’energia erogata dal motore.

Questo strumento è importante perché costituisce il primo controllore mai realizzato, se pur basato su un

principio di regolazione già in uso nei mulini a vento dal diciassettesimo secolo, e sarà oggetto di studi

matematici da parte di Maxwell nella metà del 1800.

Lezione 2

Domanda 1: Spiegare anche con un esempio la differenza tra modelli algebrici e modelli differenziali

(funzioni di stato e di comportamento)

Dall’analisi dei sistemi si possono definire due diverse tipologie di relazione ingresso-uscita: modello

algebrico con equazioni algebriche e modello differenziale con equazioni differenziali. Una relazione di tipo

algebrico evidenzia una relazione ingesso-uscita che non dipende dalla storia del sistema ma solo dal valore

attuale dell’ingresso. (es. resistenza). Si ipotizza che il comportamento di un sistema sia descritto da una

funzione di comportamento g, che è una funzione di funzione (y(t) = g(u(t)) e trasforma l’ingresso u(t)

nell’uscita y(t). Nel caso in cui il sistema non reagisca istantaneamente all’ingresso e l’uscita dipenda anche

dal tempo in cui si è verificato l’ingresso si passa allora al modello differenziale. Si deve quindi costruire la

funzione f ovvero costruire un modello matematico per la dinamica di x(t) che corrisponde alle equazioni di

transizione x(t) = f(u(t), dove x(t) è la variabile dipendente dal tempo. In particolare, si parla di modello alle

differenze se l’evoluzione del sistema avviene a tempo discreto, mentre si parla di modello differenziale se

a tempo continuo (es. cruise control, induttanza, capacità).

Esempio evoluzione di una popolazione di farfalle.

Domanda 2: Spiegare anche con un esempio i concetti di causalità e tempo-invarianza dei sistemi

dinamici.

Un sistema si dice causale quando per ogni istante t l’uscita y(t) dipende da istanti temporali precedenti a t

ovvero gli effetti non devono precedere le cause. Per ogni y(t)=g(u(t’)) t deve essere maggiore o uguale a t’.

Tutte le volte che la dipendenza dal tempo è irrilevante il sistema si dice: tempo-invariante.

L’integrale è un sistema causale, la derivata è non casuale.

Le formule fisiche sono sistemi tempo-invariante, perché possono essere sempre applicate a prescindere

dal tempo considerato in cui vengono misurate.

Domanda 3: Spiegare anche con un esempio cos’è lo spazio degli stati di un sistema dinamico.

Un modo di rappresentare i sistemi dinamici, anche non lineari è quello di utilizzare una descrizione nello

spazio degli stati (RSS), sui cui assi sono posizionate le variabili di stato del sistema. Si tratta quindi di una

rappresentazione grafica degli stessi sistemi dinamici, in particolare dell’evoluzione delle variabili di stato

caratteristiche.

Per descrivere il sistema dinamico si utilizza un numero di variabili (tipicamente variabili interne) pari alla

dimensione dinamica del sistema. L’insieme di queste variabili definisce lo stato del sistema. Il sistema deve

prima essere riscritto sottoforma di k equazioni del primo ordine.

La rappresentazione di sistema dinamico a tempo continuo nell’RSS corrisponde a una successione di punti,

caratterizzanti una spirale convergente. Sull’asse x troviamo la variabile di stato x(t) e sull’asse y la sua

derivata x’(t). Mentre la rappresentazione di un sistema dinamico a tempo discreto corrisponde a una

successione di punti tendenzialmente lineare. Sull’asse x troviamo la variabile di stato x(t) e sull’asse y

troviamo la sua traslazione nel tempo x(t + dt).

Domanda 4: Illustrare anche con un esempio la relazione tra un’equazione differenziale ordinaria di

ordine n e la corrispondente rappresentazione nello spazio degli stati (1 di ordine n -> sistema di n

equazioni di ordine 1)

Supponendo che la dinamica di un sistema dinamico sai data da un’equazione differenziale ordinaria di

−1 −2

() () ()

((), ())

= , , … ,

ordine k: , dove compaiono le derivate della funzione fino

−1 −2

all’ordine k, con un semplice cambio di variabili si può trasformare l’equazione in un sistema di k equazioni

del primo ordine e quindi in una rappresentazione nello spazio degli stati. Si introducono k-1 variabili

intermedie x1, …, xk-1 tali che ognuna è la derivata prima della precedente.

Esempio: x’’ = Ax’ + 3cos(x) + 10u

Introduco e applico quindi il cambiamento di variabile x1(t) = x1’(t) e x’(t) = x’’(t), il sistema diventa:

x1’ = Ax1 + 3cos(x) + 10u

x’ = x1

 grafico nella domanda precedente.

Domanda 5: Mostrare anche con un esempio come una rappresentazione nello spazio degli stati a tempo

continuo possa essere approssimata mediante una rappresentazione a tempo discreto, spiegando le

ragioni per cui potrebbe essere utile compiere questa operazione. (La soluzione analitica non è sempre

possibile)

È possibile trasformare un problema continuo in uno discreto. Considerando una equazione del primo

ordine ordinaria x’(t) = f(…) si sostituisce la derivata con il rapporto incrementale ottenendo: x(t +dt) = x(t) +

f(…)dt. Con questa è possibile calcolare la soluzione a partire da un valore iniziale:

t -> x(t)

t0 -> x(t0)

t0 + dt -> x(t0+dt) = x0(t) + f(…)dt

t0 + 2dt -> x(t0+2dt) = x0(t0+dt) + f(…)dt

dove f(…)dt corrisponde alla somma iterativa di aree.

È utile compiere questa operazione per poter raggiungere una soluzione almeno numericamente, nel caso

in cui analiticamente non fosse possibile. Non è sempre possibile integrare esattamente e quindi ci si deve

accontentare di una integrazione approssimata (numerica). L’integrazione numerica non consente di

ottenere una soluzione in forma chiusa ma solo una successione di valori della funzione soluzione, è però

applicabile a qualsiasi RSS.

Domanda 6: Spiegare cosa si intende per equilibrio di un sistema dinamico e come lo si identifica. Indicare

anche alcune tipologie di stabilità.

Un sistema dinamico è in equilibrio quando l’uscita del sistema stesso è costante. Un punto di equilibrio è

caratterizzato dal fatto che tutte le variabili di stato e quindi anche la variabile di uscita del sistema

rimangano costanti nel tempo. Considerando una generica equazione di stato se esiste un valore x(t)=Xm,

tale che la derivata di x(t) è nulla, allora Xm caratterizza il punto di equilibrio. Non è detto che il punto di

equilibrio esiste né che in caso contrario sai unico.

Il concetto di equilibrio è diverso da quelli di stabilità, poiché l’equilibrio può essere sia stabile che instabile.

Dato un sistema lineare all’equilibrio, sia applichi un impulso/perturbazione all’ingresso del sistema. Si

possono presentare tre diverse tipologie di comportamenti per l’andamento temporale dell’uscita y(t):

l’uscita converge al valore iniziale nullo (asintoticamente stabile), l’uscita non converge al valore iniziale ma

non diverge (semplicemente stabile o stabile ma non asintoticamente) oppure l’uscita diverge (instabile).

Per i sistemi non lineari la stabilità è una proprietà legata al particolare punto di equilibrio, mentre per i

sistemi lineari è indipendente dal particolare punto in cui si trova, poiché la stabilità è una proprietà del

sistema stesso.

Domanda 7: Dare definizioni di sistema controllabile e quella di sistema osservabile.

Dato il sistema:

x(n+1) = Ax(n) + Bu(n)

y(n) = Cx(n) + x(n )

Un sistema si dice completamente controllabile se per ∀ n ∈ Z e per ∀ stato iniziale =

0 0

u(n)con x(N)

x ∀ stato finale xf, ∃ N > n e una funzione di controllo n < n < N tale che = xf.

0, 0 0

(il sistema è controllabile se si si riesce a portarlo da un punto iniziale ad un punto finale prefissato in un

numero finito N di passi)

Un sistema si dice completamente osservabile se per n ≥ 0, ∃ N >

0

u(n)e y(n)per x(n )

n tale che la conoscenza di n ≤ n ≤ N è sufficiente per detrminare = x

0 0 0 0

Lezione 3

1. Spiegare il concetto di controllore on-off, metterne in evidenza pregi e limiti e proporre un

esempio di sistema di controllo basato su un controllore di questo tipo.

Il controllore ON-OFF è un sistema a due stati che si attiva quando il valore dell’errore è positivo

generando, attivando un attuatore, un’azione contrastante lo stato iniziale, mentre, in caso di errore nullo

o negativo, si disattiva. Questo tipo di controllo è il più semplice tipo di controllo da implementare ma

anche il meno robusto. Se non si conoscono alla perfezione i disturbi presenti è complicato definire con

precisione l’azione contrastante da attuare. È possibile superare questo limite introducendo sistemi dotati

di un maggior livello di analisi se pur più complessi, quali il controllore a tre stati, il controllore ON-OFF con

isteresi, il controllore proporzionale e il controllore PID.

Un esempio è il controllo della giacenza di un generico magazzino, dipendente dalle operazioni di carico e

scarico.

Si stabilisce un set point Ksp come punto di riordino in modo che si attivi un ordine di carico quando la

giacenza scende sotto Ksp, e la quantità ordinata è fissa, kQ. La variabile carico(t) non è più solo un ingresso

ma ha assunto un ruolo di controllore on-off

Nel momento in cui viene applicato in ingresso un impulso, ovvero una movimentazione netta rispetto allo

stato iniziale, il controllore continua ad aggiungere un tot di unità fino a tornare alla giacenza obiettivo. Il

controllore in questione si attiva quindi solo nel momento in cui si rileva l’impulso, che varia drasticamente

la giacenza.

2. Spiegare il concetto di controllore proporzionale