Fondamenti di Automatica, Controllo

Controllo

Di un fenomeno distinguiamo le variabili di stato e quelle indipendenti. Controllare il fenomeno equivale a gestire le variabili indipendenti a nostro piacere, se queste sono accessibili:

_es

^{ẋ(t) = -a_ox(t) + u(t)}

Se vogliamo ottenere x_des influenziamo la variabile indipendente:

• → controlliamo il fenomeno!

Dobbiamo fare questi controlli devono essere automatici/autonomi:

• senso-atti, controlli meccanici
• controllori elettronici (a tempo discreto!)

Quindi cercheremo di controllare modelli linearizzati: in intorni di equilibrio desiderati:

δx(k+1) = A δx(k) + B δu(k)

im (x_e, u_e) → δx(k) = x(k) - x_e

↓

δu(k) = u(k) - u_e

New

useremo x(k) per gli δx(k) e u(k) per gli δu(k)

Come detto prima, cercherò di regolare le variabili indipendenti, che possono essere modulate:

• variabili di controllo, u(k) ← lavoro su queste
• variabili di disturbo, d(k) ← costanti, non andando il modello

Quindi avrò:

δx(k+1) = Aδx(k) + B_uδu(k) + B_dδd(k)

δx(k) = x(k) - x_e

im [ x_e, _ue

                     δu(k) = u(k) - u_e

                     δd(k) = d(k) - d_e

New: introduciamo l'INDICE DI PRESTAZIONE, ossia sono le variabili che mi interessano del fenomeno

y(k) = f(x(k), u(k), d(k))

nel caso in cui y(k) è solo una variabile

  → y(k) = C'x(k) + D'u(k) + D'_dd(k)

dove C, D_u e D_d sono i vettori che mi indicano

come y(k) è legata alle altre variabili. Se conosco qual è la mia y(k) obiettivo e

conosco x(k) e d(k), posso lavorare su u(k) per

raggiungere y(k), implementando x(k).

Dunque:

vettori {

• x(k) = variabili di stato
• u(k) = variabili di controllo
• d(k) = variabili di disturbo
• y(k) = indice di prestazione

x(k+1) = f (x(k), u(k), d(k))

y(k) = h (x(k), u(k), d(k))

La funzione di trasferimento W(z) la posso vedere come la trasformata zeta della risposta impulsiva w(k):

W(z) = Z[w(k)] dove w(k) =

• 1 D, k=0
• C A^k-1 B, k > 0

dunque

Y(z) = W(z) U(z)

Esempio: (Comunicazione intercontinentale) amplificatore ideale:

V_out(t) = A V_in(t)

mentre l'amplificatore reale ha

A ∈ (A₀ - ΔA; A₀ + ΔA)

per ridurre il ΔA hanno ideato l'amplificatore retroazionato

V_out = A(V_in - β V_out) => V_out =

A / (1 + Aβ) V_in

B = c₁j₁ + c₂j₂

c₁=0

considerando x(0) = 0:

x(1) = Bu(0) ∈ J₂ ∀u(0)

x(2) = ABu(0) + Bu(1) ∈ J₂ ...

Qualsiasi sequenza di controllo u(k) che posso

scegliere non riesco a fare qualsiasi cosa, ma

non posso muovermi usando j₁

Teorema

Tramite questo teorema sappiamo se ci sono

autovaluti non osservabili o non raggiungibile:

• matrice di raggiungibilità R:

R_n×n := (B | AB | A²B ... Aⁿ⁻¹B)

se rk(R) = n => tutti moti sono raggiungibili.

• matrice di osservabilità

O_n×n :=

[ C

CA

:

CAⁿ⁻¹ ]

se rk(O) = n => tutti moti osservabili.

Se rk(A) = rk(O) = n , allora il numero dei λ_i

è uguale a quello dei poli p_i

I fenomeni sono:

x(k+1) = A x(k) + B u(k) + B_d d(k)

y(k) = C x(k) + D u(k) + D_d d(k)

allora

Y(z) = P(z) U(z) + P_d(z) D(z)

dove

P_d(z) = (P_d1(z), P_d2(z), ...)

e i disturbi sono tipicamente:

• disturbo di misura, facciamo un errore di calcolo sistematico o di altra natura:
  • B_d = 0 e D_d = 1
• disturbo di attuazione:
  • B_d = B e D_d = 0
• disturbo interno:
  • B_d ≠ B e B_d ≠ 0
  • P_d(z) ≠ P(z) e P_d(z) ≠ 1

Se y_des(k)=1 => lim_k→+∞ y(k)=1

e e_t(z) tenderà a zero con velocità:

d_w(z) = z + z - 1 = 2z - 1 => z = ¹/₂

l'errore si dimezzerà ad ogni passo

d_w(z) = 1 + z - 1 = z => e_t(t)=0 dopo un passo

Es:

• esiste un controllore tale che |e₀| < 0.1 e il sistema vada a regime a tempo finito?

TEMPO FINITO → d_w(z) polo in 0

d_w(z) = z - 0.9 + C_p → C_p = 0.9

con C_p = 0.9 si ha:

|e₀| =

dunque abbiamo:

• esiste un controllore tale che |e₀| < 0.05 e almeno con riduzione del transitorio del 70% a ogni passo?

e_T = 0.7 → d_w(z) con polo p, |p| < 0.3

d_w(z) = z - 0.9 + C_p = > 1 - C_p + 0.9 | < 0.3

|e₀| < 0.05 = → ¹⁄_|1+ < 0.05

dunque abbiamo:

0.6 < C_p < 1.2

1.9 < C_p < -2.1

e_T → d_w(z) polo t.c. |p| < 0.1

|e₀ = ¹⁄_1+… < 0.1

Ossia:

_dw(_z) = (_z-0.2)(_z-λ₁) + (_Cp+_CI)_z-_Cp

= _z² + ϵ(_Cp+_CI-λ₁) + (0.2-_Cp)

Usando S.C. per _z = _ž: 0.7

0.49_ž² + 0.7 ϵ (_Cp+_CI-λ₁) + (0.2-_Cp)

Tutte le coppie nel triangolo sono quelle cercate. Il control con un transitorio che si annulla dopo due passi ha _Cp e _CI tc:

_dw(_z) = _ž²

Ossia:

es

P(z) = ¹/_z+2

tutti i controllori (P e PI) per cui il sistema a ciclo chiuso è asint. stabile (|p_i|<1):

a(z) = c_p :

e_∞ ≠ 0

e_r(k) _k→∞→ 0

e(k) _k→∞→ e_∞

d_w(z) = z + 2 + c_p ⇒ ha polo z = -2-c_p

cerchiamo i c_p t.c. |p_i| < 1:

• |-2-c_p| < 1 ⇒ -3 < c_p < -1

e_∞ = 0

e_r(k) = e(k) _k→∞→ 0

d_w(z) = (c_i + c_p)z - c_p + (z + 2)(z - 1)

= z² + z(c_i + c_p + 1) - 2 - c_p

Usiamo Schwarz-Chan semplificato:

d_w(1) = 1 + c_i + c_p + 1 - 2 - c_p = c_i > 0

d_w(-1) = 1 - c_i - c_p - 1 - 2 - c_p > 0

• ⇒ 2c_p + c_i + 2 < 0
• 1 > -2-c_p ⇒ c_p > 3

Nota che il controllore PI per cui ho un e_∞ = 0 in passi finiti: z è quello con:

• c_i + c_p + 1 = 0
• c_p + 2 = 0

• c_i = -1
• c_p = -2