Fondamenti di Automatica - Controllo

CA

O := ...

n−1

CA

è pari a n, cioè alla dimensione dello spazio di stato.

Nel caso in cui sia presente un solo indice di prestazione, la condizione di osservabilità del

det O≠0

sistema diventa . Se un sistema è osservabile allora non esistono modi naturali

non osservabili.

Il controllo a controreazione

• Il problema alla determinazione dell'andamento delle variabili di controllo per ottenere un

determinato andamento degli indici di prestazione si chiama problema di controllo.

Due approcci per risolvere tale problema:

controllo ad azione diretta: determina l'intera sequenza u(k) che sia in grado di

◦ risolvere il problema di controllo, ma nella pratica non risulta efficace.

controllo a controreazione (o a ciclo chiuso):tiene conto dei valori degli indici di

◦ prestazione e permette di scegliere in ogni istante il valore del controllo u(k) sulla base

dello scostamento che gli indici di prestazione hanno rispetto agli obbiettivi. Il nome

infatti fa capire che l'azione avviene come reazione allo scostamento delle prestazioni

dagli obiettivi, quindi avviene una scelta del valore corrente del controllo sulla base

dell'effetto ottenuto dalle decisioni precedenti.

(Il controllo a controreazione è largamente utilizzato nella pratica perciò tratteremo solo

questo tipo di controllo.)

La controreazione permette di progettare sistemi di controllo robusti cioè basati su modelli

del fenomeno molto semplificati e insensibili a disturbi di varia natura.

La qualità di una legge di controllo viene valutata su come il sistema risponde all'utilizzo

del controllo e viene chiamata fedeltà di risposta:

“Capacità di un controllo di fare in modo che gli indici di prestazione del sistema a ciclo

chiuso tendano a seguire un obiettivo prefissato.”

Tale proprietà viene caratterizzata su due caratteristiche dell'errore: l'errore sul lungo

periodo (misura lo scostamento sul lungo periodo tra l'indice di prestazione e l'obiettivo

desiderato); l'errore transitorio (indica la modalità con cui l'indice di prestazione tende

all'obiettivo).

Schema di controllo a controreazione tipico:

P(z) è la funzione di trasferimento del sistema da controllare.

u(k) e y(k) sono, rispettivamente, la variabile di controllo e l'indice di prestazione del

sistema da controllare.

G(z) è la funzione di trasferimento del controllore da progettare.

y*(z) è l'andamento dell'obiettivo per l'indice di prestazione y(k).

e(k) è lo scostamento tra l'obiettivo e l'indice di prestazione.

e(k)=y*(k)-y(k) d(k)

y*(k ) e(k) u(k) + y(k)

+ P(z)

G(z)

- +

F(z) è la funzione di trasferimento della connessione serie del controllore e del sistema da

controllare

F z z z

( )=P ( )G ( )

tale funzione di trasferimento viene detta funzione di trasferimento del ramo diretto o a

ciclo aperto.

W(z) è invece la funzione di trasferimento del sistema complessivo o a ciclo chiuso, ossia la

funzione di trasferimento tra l'obiettivo y*(k) e l'indice y(k) che si vuole controllare.

Y z)=P z

( (z )U ( )

U z)=G(z E

( ) (z )

E z z z)

( )=Y ∗( )−Y (

sostituendo la seconda e la terza nella prima:

Y z)=P( z) G( z) z)−Y

( [Y ∗( (z )]

da cui Y z) P z F z)

( (z )G ( ) (

W (z )= = =

Y∗(z 1+ P z z) 1+ F z

) ( )G( ( )

Cancellazione fra poli e zeri

• Non tutti gli autovalori di un sistema sono poli della funzione di trasferimento, solo gli

autovalori corrispondenti a modi naturali raggiungibili e osservabili sono poli della

funzione di trasferimento.

n z n z

( ) ( )

P G

F z z z

( )=P ( )G ( )= d d z)

(z ) (

P P

quindi i poli e gli zeri della funzione di trasferimento complessiva sono l'unione dei poli

e degli zeri delle funzioni di trasferimento componenti G(z) e P(z).

Questo non accade se e solo se alcuni zeri di una delle due funzioni di trasferimento

sono uguali ad alcuni poli dell'altra, in questo caso avviene una cancellazione fra poli e

zeri e i poli che si cancellano non compariranno nella funzione di trasferimento F(z).

La connessione in controreazione no può dar luogo a eventuale perdita di

raggiungibilità o osservabilità infatti la funzione di trasferimento W(z) è:

n z

( )

F (z ) F

W (z )= =

1+ F z d z)+ n z

( ) ( ( )

F F

e pertanto la cancellazione sarebbe già presente in F(z).

Quindi il numero di poli della funzione di trasferimento W(z) del sistema complessivo

coincide con il numero degli autovalori corrispondenti a modi raggiungibili e

osservabili del sistema del ramo diretto.

Se non avvengono cancellazioni allora i poli della funzione W(z) coincidono don gli

autovalori del sistema a ciclo chiuso.

Se questi sono tutti interni al cerchio unitario, il sistema a ciclo chiuso è

asintoticamente stabile ed esiste quindi un andamento di lungo periodo con obbiettivo

un andamento a gradino unitario, sia per quanto riguarda lo stato x(k) sia per quanto

riguarda l'indice di prestazione y(k).

Sarà quindi fondamentale evitare che la funzione di trasferimento G(z) ad essa

associata cancelli poli e zeri della funzione di trasferimento P(z) del sistema da

controllare non interni al cerchio di raggio unitario, dato che renderebbero non

asintoticamente stabile il sistema a ciclo chiuso provocando nella pratica un

comportamento divergente e non controllabile per l'indice di prestazione y(k).

Fedeltà di risposta

• La fedeltà di risposta è la precisione con cui il sistema di controllo è in grado di far seguire

all'indice y(k) l'andamento obiettivo y*(k).

Viene caratterizzata in base all'errore sul lungo periodo (misura quanto l'indice si discosta

dall'obiettivo sul lungo periodo) e alla velocità di convergenza a zero dell'errore transitorio

(misura la modalità con cui l'indice del sistema tende all'obiettivo voluto).

Errore sul lungo periodo per particolari andamenti degli obiettivi

➢ La fedeltà di risposta viene valutata in base all'errore che il sistema produce quando

l'obiettivo y*(k) abbia un andamento polinomiale in k di ordine 0,1 e 2 ossia:

un gradino unitario (ordine 0):

▪ z

{ 0 per k 0

<

y∗(k Y z

)= ∗( )= z−1

1 per k ≥0

si ha un obiettivo costante pari a 1.

una rampa unitaria (ordine 1):

▪ z

{ 0 per k 0

<

y∗(k Y∗(z

)= )= 2

k per k ≥0 z−1)

(

si vuole un obiettivo che abbia un incremento costante pari a 1 ad ogni passo, quindi

che varia con velocità costante.

una parabola unitaria (ordine 2):

▪ { 0 per k< 0 z

y∗(k Y z)=

)= ∗(

k (k −1) 3

per k ≥0 (z−1)

2

si vuole un obiettivo con un andamento con accelerazione costante e pari a 1.

Un sistema si dice di ordine h se l'errore sul lungo periodo in corrispondenza a un

andamento polinomiale di ordine h per la variabile obiettivo è uguale a una costante

diversa da zero.

Gli errori saranno:

Tipo di sistema Obiettivo a gradino Obiettivo a rampa Obiettivo a parabola

1

0 ∞ ∞

1+ K p 1

1 ∞

0 K v 1

2 0 0 K a

3,4,... 0 0 0

1 1 1

e e e

= = =

o 1 2

1+ K K K

p v a 2

K K F z)( z−1) K F z−1)

=F (1) =lim ( =lim (z )(

p v a

z 1 z

⇒ ⇒1

Possiamo quindi tabellare anche le costanti:

K K K

Tipo sistema p v a

0 finita 0 0

∞

1 finita 0

∞ ∞

2 finita

∞ ∞ ∞

3,4,... Si ha quindi che un sistema a ciclo chiuso di tipo h commette errore sul lungo periodo

a ogni obiettivo polinomiale di ordine minore di h, un errore costante e diverso da zero

per un obiettivo polinomiale di ordine h e una sequenza di errore divergente per ogni

obiettivo polinomiale di ordine maggiore di h.

Se il sistema a ciclo chiuso è asintoticamente stabile, l'errore sul lungo periodo per

obiettivi costanti esiste ed è nullo.

Errore transitorio per obiettivi costanti

➢ La capacità di un sistema a ciclo chiuso asintoticamente stabile di convergere più o

meno rapidamente all'obiettivo viene valutata analizzando il comportamento del sistema

quando l'obiettivo è un gradino unitario. e

L'errore e(k) può essere visto come la somma dell'errore di lungo periodo e di

0

e k

quello transitorio :

( )

t

e e e

dove solo se il sistema è di tipo 0.

(k )=e + (k ) ≠0

0 t 0

Trasformando avremo:

z

E E z) da cui:

(z )=e + (

0 t

z−1

μ R R z+ R

ν

∑ ∑

i h1 h2

E z)= sin

( + σ (θ )

t h h 2 2

z p

− z cos z+

−2 σ (θ ) σ

i=1 i h=1 h h h

che antitrasformando:

μ ν

k k k−1

∑ ∑

e k R p R sin(θ k R sin(

( )= + [ σ )+ σ θ (k −1))]

t i i h1 h h h2 h h

i h

=1 =1 p

dove la prima sommatoria tiene conto di tutti i poli reali e la seconda del coppie di

i

j

± θ

poli complessi coniugati .

p e

=σ h

h h

Per imporre una prefissata velocità di convergenza a zero dell'errore transitorio si deve

imporre che i poli della funzione di trasferimento del sistema a ciclo chiuso siano interni

al cerchio di raggio r<1.

Per verificare quindi che la velocità di convergenza dell'errore sia inferiore a un valore

desiderato r bisogna verificare se il cerchio di raggio r contiene tutti i poli della

funzione di trasferimento W(z) del sistema a ciclo chiuso, questo può essere fatto

applicando il procedimento di Schur-Cohn.

La massima velocità di convergenza a zero dell'errore sia avrà scegliendo z=0 cioè

imponendo che tutti i poli della funzione di trasferimento del sistema siano nell'origine:

n z)

(

w dove il numeratore è un polinomio di grado n.

W (z )= n

z

Andando a sostituire e antitrasformando si otterrà:

e k

( )=0 ∀k ≥n

t

che mostra come l'errore transitorio converge a zero in un tempo finito e in n passi.

Quando avviene ciò si dice che il sistema ha un tempo di risposta finito.

TEOREMA (Tempo finito di risposta) Un sistema con funzione di trasferimento W(z) ha

tempo di risposta finito se e solo se la sua funzione di trasferimento ha tutti i poli

coincidenti in z=0.

Robustezza

• Si dice che il sistema di controllo è robusto se l'andamento dell'indice di prestazione è poco

s