Fondamenti di Automatica - Controllo

Il controllo a controreazione

Controlli, indici di prestazione e disturbi

Le variabili indipendenti possono essere chiamate come variabili di controllo, se il loro andamento può essere scelto liberamente, oppure come variabili di disturbo, nel caso contrario u = controlli d = disturbi. In un modello possono essere presenti sia controlli che disturbi.

Si definiscono delle variabili aggregate con il nome di indici di prestazione y(k) che rappresentano delle grandezze il cui andamento è interessante nella gestione del fenomeno. Assumiamo che gli indici di prestazione siano delle combinazioni lineari delle variabili di stato e di controllo quindi:

q^∗n q^∗ p q è il numero di indici di prestazione e p_y Du(k , C e D∈R(k )=Cx(k )+ ) ∈R è il numero di controlli considerati dal modello.

Funzione di trasferimento

La variabile di controllo è utilizzata per modificare l'andamento degli indici di prestazione, infatti i controlli e gli indici di prestazione sono messi in relazione nell'espressione che definisce l'andamento dello stato e dalla relazione che definisce l'indice di prestazione:

k − 1∑k k− h−1y k Du(k x CA Bu( h)+ Du( k(k )=Cx( )+ )=CA + )0 h=0

Si nota che l'indice di prestazione dipende sia dall'evoluzione libera sia dalla risposta forzata e quindi sia dallo stato iniziale sia dall'andamento del controllo u(k).

Quindi è possibile decomporre l'andamento dell'indice di prestazione in due parti: una che dipende solo dalle condizioni iniziali e l'altra che dipende dall'andamento del controllo.

La prima viene detta evoluzione libera dell'indice di prestazione, l'altra viene detta risposta forzata dell'indice di prestazione.

In corrispondenza di una coppia di equilibrio, il corrispondente indice di prestazione sarà:

[ e ey Du ] = Cx +e e e

Anche per gli indici di prestazione possiamo definire un valore normalizzato:

y_k y_e.δ_(k) = ( )−y_e

Nella maggior parte dei casi, il sistema che si vuole controllare partirà da una situazione di equilibrio quindi la relazione tra il controllo e l'indice di prestazione sarà definita solo dalla risposta forzata:

k−1∑ k −h−1y k Du( k CA Bu( h)+ Du(k( )=Cx (k )+ )= )f f h =0

Questa espressione è esprimibile nel dominio della variabile z:

Y(z)=CX(z) + DU(z) = W(z)U(z)

dove W(z) è la funzione di trasferimento del sistema, che è una matrice di dimensioni q x p i cui elementi sono funzioni razionali proprie della variabile z.

La funzione di trasferimento può essere anche rappresentata come la trasformata z della risposta forzata dell'indice di prestazione a un particolare controllo u(k) e cioè a quello per cui U(z)=1. Tale controllo prende il nome di impulso discreto:

{ 1 per k =0 u (k )= 0 per k 0>

e la corrispondente risposta forzata dell'indice di prestazione si chiama risposta impulsiva:

w(k) : { D per k =0 Ww da cui (z )=Z [w(z )](k )= k −1CA B per k 0>

La funzione di trasferimento permette inoltre di caratterizzare molto semplicemente il legame controllo/prestazione quando più sistemi sono collegati tra loro.

Connessione in serie o connessione a cascata

• u(k) = u_(k) y_(k) = u_(k)1
• y_(k)2
• W_(z)1 W_(z)2
• W(z) = W_(z)1 W_(z)2
• Y(z) = W(z)U(z) = W₂(z) W₁(z) U(z)

Analogamente ai controlli è possibile introdurre i disturbi e definire la funzione di trasferimento tra questi e l'indice di prestazione.

(y_k) = W_f(z) U(z) + W_d(z) D(z)

con W_f(z) = C (zI − A) B + D e W_d(z) = C(zI − A) + D_d è la funzione di trasferimento tra disturbo e prestazione.

Raggiungibilità e osservabilità

Per semplicità studiamo il caso di un sistema con un solo controllo e un solo indice di prestazione.

La funzione di trasferimento è il rapporto di due polinomi:

W(z) = w_n(z) / w_d(z)

Le radici del polinomio al denominatore si chiamano poli, mentre quelle del polinomio a numeratore si chiamano zeri della funzione di trasferimento.

Assumendo che ci siano solo autovalori reali e distinti la risposta impulsiva sarà:

{ D per k =0

w(k) = n^k−1 i, k−1∑CA B= c Cv per k 0λ>

dove i coefficienti sono relativi al vettore B e quindi:

c∑_i=1,B = c v_i i

La funzione di trasferimento quindi è:

W(z) =∑_i=1ⁿ c_i C v_i / (z - λ_i)

Si nota che i poli della funzione di trasferimento sono necessariamente anche autovalori della matrice A (non vale il viceversa).

Se allora l'autovalore non è un polo della funzione di trasferimento dato:

c_i = 0 e Cv_i = 0

Il primo caso corrisponde al fatto che il vettore B non ha componenti lungo l'autovettore v e di conseguenza la risposta forzata non avrà componenti.

∑_h=0^k−1 x =∑_h=0^k−1 A Bu(h)