Focus Macroeconomia con esercizi, Economia applicata all'ingegneria

6.10.09 - Lezione 1

MICROECONOMIA

Teoria della domanda

Vogliamo modellare il comportamento del consumatore. La prima cosa da fare è costruire un modello del mercato (trascurando gli aspetti irrilevanti); possiamo vedere il mercato come una scatola nera su cui agiscono più forze competitive

Diamo una prima definizione: il mercato è un insieme di beni e servizi che hanno un valore per una particolare classe di agenti (consumatori) e un prezzo. Caratterizziamo questi beni; il mercato ci sarà con dei beni, (1,...,m), disponibili in una certa quantità (q₁,...,qₘ) e con un certo prezzo (p₁,...,pₘ). Il mercato dunque è caratterizzato da un vettore quantità, Q, e un vettore prezzo, P, in relazione tra loro tramite un loro "indice", che sta ad indicare un dato bene.La quantità del bene che viene scambiata tra produttore e consumatore e il suo prezzo dipende dall'interazione delle forze competitive (lettori) sul mercato. Le forze agenti sono:

• consumatori, coloro che sono interessati all'acquisto di un bene. I consumatori non sono tutti uguali; esistono N classi di consumatori, tra cui si fanno delle distinzioni: per esempio in base al reddito; una seconda distinzione si fa in base alla quantità, q, di un bene di cui il consumatore ha bisogno. Uno dei parametri che regolano la scelta di un consumatore è il suo gusto (propensione al consumo).
• produttori, coloro che producono e vendono beni. A seconda del numero di produttori, si distinguono diverse forme di mercato:
  • monopolio: un solo produttore per un certo bene;
  • duopolio: due produttori per un certo bene;
  • oligopolio: molti produttori per un certo bene;
  • mercato concorrenziale: moltissimi produttori (in linea teorica infiniti) per un certo bene. Affinché ci sia un mercato concorrenziale è necessario che:
    1. in ogni momento un produttore conosce le tendenze

6.10.09 - Lezione 1

MICROECONOMIA

Teoria della domanda

Vogliamo modellare il comportamento del consumatore. La prima cosa da fare è costruire un modello del mercato (trascurando gli aspetti irrilevanti); possiamo vedere il mercato come una "scatola nera" su cui agiscono più forze competitive.

Mercato

Diamo una prima definizione: il mercato è un insieme di beni e servizi che hanno un valore per una particolare classe di agenti (consumatori) e un prezzo. Caratterizziamo questi beni: il mercato ci saranno dei beni (x₁,...,x_m) disponibili in una certa quantità (q₁,...,q_m) e con un certo prezzo (p₁,...,p_m).

Il mercato dunque è caratterizzato da un vettore quantità, Q, e un vettore prezzo, P, in relazione tra loro tramite il loro "indice", che sta ad indicare un dato bene.

La quantità del bene che viene scambiata tra produttore e consumatore e il suo prezzo dipende dall’interazione delle forze competitive (attori) sul mercato. Le forze agenti sono:

• consumatori: coloro che sono interessati all’acquisto di un bene. I consumatori non sono tutti uguali, esistono N classi di consumatori tra cui si fanno delle distinzioni ad esempio in base al reddito, una seconda distinzione si fa in base alla quantità _y di un bene di cui il consumatore ha bisogno. Uno dei parametri che regolano la scelta di un consumatore è il suo gusto (propensione al consumo).
• produttori: coloro che producono e vendono beni. A seconda del numero di produttori si distinguono diverse forme di mercato:
  • monopolio: un solo produttore per un certo bene;
  • duopolio: due produttori per un certo bene;
  • oligopolio: molti produttori per un certo bene;
  • mercato concorrenziale: moltissimi produttori (in linea teorica infiniti) per un certo bene.

Affinché ci sia un mercato concorrenziale è necessario che:

1. in ogni momento un produttore conosca le tendenze

del mercato;

2) I produttori e i venditori siano piccoli e indipendenti;

3) L'inserimento di beni sul mercato sia semplice (non è il caso del settore energetico o delle telecomunicazioni);

5) Sia facile spostare capitali da un settore all'altro.

Si parla di mercato perfettamente concorrenziale quando il prezzo del bene dipende unicamente dall'incontro della domanda e dell'offerta.

Abbiamo fatto questa distinzione perché la forma di mercato influisce notevolmente sul prezzo (es. distorsione monopolistica), e dalla forma di

mercato dipende anche la forza produttiva del produttore, forza produti-

va che dipende anche dalla presenza sul mercato di beni sostitutivi;

se ad esempio il bene Z è sostituto del bene Y, e il mercato

del bene Y è monopolistico, un aumento (non necessariamente

eccessivo) del prezzo del bene Y indurrà i consumatori ad acquistare

il bene Z; la forza produttiva del produttore del bene Y è dimin-

uita.

Se c'è un concorrente, la situazione cambia: in un mercato concorrenziale

(soprattutto in presenza di concorrenza perfetta) rimangono sul mercato

le aziende più efficienti, cioè quelle che riescono a tenere basso il

costo di produzione e quindi il prezzo.

• Organi di controllo: organi che in qualche modo agiscono sul prezzo di un
• bene, un esempio ne è lo Stato, inteso come CISCO, che con determi-
• nati strumenti di politica economica regola il prezzo dei beni;

un altro organo di controllo è rappresentato dalle autorità di

garanzia, fondamentalmente degli enti indipendenti: il cui scopo è

controllare che le forze competitive non siano squilibrate. Ad esempio,

quando il numero di produttori non può che rimanere basso,

(è il caso del settore energetico e di quello delle telecomunicazioni)

fanno in modo che il prezzo per il consumatore non diventi troppo

alto.

Il vincolo di bilancio

Il modello economico della microeconomia si basa su un ipotesi fondamentale: il

consumatore non è mai sazio; l'unico vincolo che ha per l'acquisto di un

bene è il suo reddito. Questo vincolo è noto come vincolo di bilancio, vediamo

meglio che c^os_ì.

2

Definiamo un vettore X (paniere dei beni di consumo), in cui ogni elemento x ∈ X definisce la quantità di un bene; definiamo anche un vettore P (vettore dei prezzi), in cui ogni elemento p_i rappresenta il prezzo di un bene; i due vettori sono in relazione tramite il loro “indice”.

Come agisce il vincolo sulla spesa? Il vincolo dice che, se m è il reddito del consumatore, la spesa non può superare il reddito.

= m

Consideriamo ad esempio due beni in modo da poter rappresentare graficamente il problema della scelta del consumatore

X: (x₁, x₂)x_i ≥ 0P: (p₁, p₂)

il vincolo di bilancio in questo caso è:p₁x₁ + p₂x₂ ≤ m

La disequazione individua una regione del semipiano positivo di ℝ². L'equazione

p₁x₁ + p₂x₂ = m

rappresenta la retta di bilancio, cioè l'insieme di beni per cui il costo è esattamente uguale a m. Vediamo come è fatta questa retta: esprimendo ad esempio l'equazione in funzione di x₂:

p₁x₁ = m - p₂x₂ → x₂ = m/p₂ - p₁/p₂ x₁

∂x₂/∂x₁ = - p₁/ p₂

come si vede dal segno della derivata la funzione è decrescente, quindi l'insieme di bilancio si rappresenta in questo modo:

/x₁p₁

Le intersezioni sugli assi valgono m/p₂ per la ascisse (si spende tutto il reddito per 1) e m/p₁ (si spende tutto il reddito per 2).

insieme di bilancio

L'insieme di bilancio comprende tutti i panieri che il consumatore può acquistare, date le sue preferenze.

Il segno negativo della derivata della retta di bilancio indica anche che se si vuole aumentare il consumo di un bene dovrà necessariamente diminuire il consumo dell’altro; la quantità _P1/_P2 ci dice qual'è il saggio (rapporto) di scambio tra i due beni, cioè di quanto il consumatore è disposto da variare la quantità di bene 1 rispetto alla quantità di bene 2, continuando a soddisfare il vincolo di bilancio.

Supponiamo che un consumatore voglia aumentare il suo consumo del bene 1 di ∆_x1, di quanto dovrà variare la quantità consumata del bene 2 (∆_x2) per continuare a soddisfare il vincolo di bilancio? Se il vincolo di bilancio è soddisfatto prima e dopo la variazione deve essere:

p₁(x₁)+p₂x₂=m

p₁(x₁+∆x₁)+p₂(x₂+∆x₂)=m

p₁∆x₁=-p₂∆x₂

Il saggio di scambio viene chiamato anche costo opportunità del bene

Come varia la retta di bilancio

Consideriamo un aumento del reddito.

Da un punto di vista analitico, il vincolo di bilancio diventa:

p₁x₁+p₂x₂ ≤ m

→ p₁x₁+p₂x₂ ≤ m’

m’ > m

Le nuove interccette valgono

^m’⁄_p1 > ^m⁄_p1 e ^m’⁄_p2 > ^m⁄_p2

Ció si traduce in uno spostamento della retta di bilancio, senzaripercussioni sulla sua inclinazione:

Considerazioni analoghe si fanno per la diminuzione del reddito

Consideriamo l’aumento del prezzo di un bene (es. 1)

p₁ → p₁+t

p₁x₁+p₂x₂ ≤ m → (p₁+t)x₁+p₂x₂ ≤ m

L’intercetta orizzontale e’ cambierá:

^m⁄_p1 → ^m⁄_p1+t (si e’ “spostata a sinistra”)cosi, come e’ cambierá l’inclinazione della retta (= aumentata)

→ -^p₁⁄_p2 → -^p₁+t⁄_p2

Il paniere (0,^m⁄_p2) e’ ancora acquistabile,(^m⁄_p1,0) non piú. Quello che si verificae’ quindi una riduzione dei panieriacquistabili.

L'aumento del prezzo di tutti i beni, ha lo stesso effetto di riduzione del reddito sempre di t volte:

p₁x₁ + p₂x₂ = m

p₁tx₁ + p₂tx₂ = tm

p₁x₁ + p₂x₂ = m

p₁x₁ + p₂x₂ = ^m/_t

Lo stato può agire sul vincolo di bilancio con opportuni strumenti di politica economica: tasse, sussidi, razionamenti.

• Tasse sul consumo (o pseudo razionamento)

Supponiamo che si possa consumare il bene 1 ad un prezzo p₁ fino ad una certa quantità x̄₁ e che per consumare quantità superiori si debba pagare una tassa t. Il vincolo di bilancio ha una doppia espressione:

1. p₁x₁ + p₂x₂ ≤ m se x₁ ≤ x̄₁
2. (p₁ + t)(x₁ - x̄₁) + x̄₁p₁ + p₂x₂ ≤ m se x₁ > x̄₁

Abbiamo in pratica due rette di bilancio, la prima con inclinazione -p₁/p₂ e la seconda con inclinazione -(p₁+t)/p₂:

• Razionamento

È possibile consumare il bene 1 solo in quantità limitate:

1. p₁x₁ + p₂x₂ ≤ m se x₁ ≤ x̄₁
2. p₂x₂ ≤ m se x₁ > x̄₁

es

Supponendo:

m = 100 p1 = 5 p2 = 10

1. Rappresentare l'insieme di bilancio del consumatore
2. Dimostrare che una politica di razionamento sul primo bene è efficace solo per quantità acquistate inferiori a 20
3. Rappresentare graficamente e analiticamente la politica di razionamento x1 ≤ 5

1. 5x1 + 10x2 ≤ 100

(0,10) (20,0)

2. L'insieme di bilancio è tale che nessun consumatore può acquistare più di 20 unità del bene 1, quindi una politica di razionamento x1 ≤ 20 è del tutto inefficace

3. 5x1 + 10x2 ≤ 100 se x2 ≤ 5
4. 5x1 ≤ 100 se x2 > 5

(0,5)

Esempi di costruzione del vincolo di bilancio

Data una retta di bilancio, spendendo tutto il reddito, si possono acquistare l'unità del bene x e l'unità del bene y, oppure x e 2 di y.

1. a) Qual è il rapporto tra prezzo di x e prezzo di y?

Quello che deve lasciare chi compra il paniere (4,6) oppure il paniere (x,2). Per passare da x ad x a 2 si deve passare da 2 di y.

dx = x' - x = 8

dy = y' - y = -4

oppure:

(6px + 6py = m

4px + 6py = 12px + 28py

4py = 8px -> py = 2px

• b) Spendendo tutto il reddito nel bene x quanto se ne può comprare?

Xpx + Ypy = m

essendo py = 2px la retta di bilancio si può scrivere come:

Xpx + 2ypx = m

Imponendo il passaggio per uno dei due panieri, ad esempio (x,2), si ha:

4px + 4xpx = m

4xpx = m -> x = m/px

c) Scrivere un'equazione di bilancio corrispondente alla retta data, dove il prezzo di x è uguale a 1

Xpx + Ypx = m

con px = 1, py = 2px = 2, m = 16 eq; px = 16:

X + 2y = 16

• d) Idem con prezzo di x uguale a 3

3x + 6y = 48

Un consumatore acquista 100 unità di x e 50 di y. Il prezzo di x aumenta da 2 a 3. Di quanto dovrebbe aumentare il suo reddito per permettergli di consumare lo stesso paniere?

L'esercizio si può risolvere in due modi:

Il prezzo di x aumenta di 1, se ne devono acquistare 100, il reddito deve aumentare di 100.

Oppure:

100px + 50py = m

px = 2 { 200 + 50py = m

px = 3 { 300 + 50py = m'

(300 + 50py) - (200 + 50py) = m' - m

m' - m = 200

- Esercizio d'esame, 6/2/2009

Si supponga che due beni abbiano entrambi prezzo pari a 10€, e che il reddito del consumatore sia 50€. La scelta ottima del consumatore cade sul paniere (x, y): se viene imposta un tassa del 20% sull'acquisto del primo bene, di quanto dovrebbe aumentare il reddito per permettergli di acquistare lo stesso paniere?

{ 10x + 10y = 50

{ 12 + 10y = m'

8 = m' - 50 → m' = 58 il reddito deve aumentare di 8€.

Un operatore telefonico applica due schemi tariffari per le chiamate nazionali:

• 12 €/mese di canone, chiamate illimitate
• 8 €/mese di canone, 0,05 €/chiamata

Si dispone di un reddito complessivo di 20 €/mese

Rappresentare graficamente le due rette di bilancio corrispondenti agli schemi illustrati e ricavare il punto di break even (punto di indifferenza tra i due schemi).

9

1.

p1 x1 = 8

x1: numero di chiamate

x2: tutto il resto (insieme complemento): togliendo x1 e per il canone ne rimangono 8.

2.

0,05 x1 + p2 x2 = 12

Punti di break even (indifferenza)

p1 x1 = 8

0,05 x1 + p2 x2 = 12

p1 x1 = 8

0,05 x1 = 4

Domande - Varian - p. 30 (il vincolo di bilancio)

1) Inizialmente il consumatore si trova di fronte a una retta di bilancio x1 + p2>x2 = m. In seguito il prezzo del bene 1 raddoppia, il prezzo del bene 2 diventa 8 volte più elevato e il reddito 4 volte maggiore. Si scriva l'equazione della nuova retta di bilancio nei termini dei prezzi e del reddito di partenza.

1. p1x1 + p2x2 = m
   • p1 → 2p1
   • p2 → 8p2
   • m → 4m

→ 2p1x1 + 8p1x2 = 4m

→ ₁/²(2p1x1 + 8p2x2) = m

2)

Che cosa accade alla retta di bilancio se il prezzo del bene 2 aumenta ma il prezzo del bene 1 e il reddito rimangano invariati?

Si verifica uno spostamento verso sinistra (pari) rispetto all'asse x con conseguente riduzione dell'ampiezza della retta di bilancio.

p1x1 + p2x2 = m → p1x1 + (p2 + t)x2 = m

(p2 + t)x2 = m - p1x1

x2 = _m/^{p2 + t} - _p1/^{p2 + t} x1

La pendenza della retta di bilancio è diminuita, l'insieme di bilancio si è ristretto.

3) Se il prezzo del bene 1 raddoppia e il prezzo del bene 2 triplica, la retta di bilancio diventerà più piatta oppure più ripida?

p₁x₁+p₂x₂=m → 2p₁x₁+3p₂x₂=m

x₂= _m/^3p₂ - _2p₁/^3p₂ x → ∂x₂= - ₂/³ p₁/p₂

La retta di bilancio diventa più ripida.

4. Qual’è la definizione di numerario?

Il numerario è un “prezzo campione” in base al quale si misura l’altro prezzo e il reddito. Le rette di bilancio

p₁x₁+p₂x₂=m

_p₂/^p₁ x₁+x₂= _m/^p₂

_p₁/^m + _p₂/^m = 1

Sono tra loro equivalenti. Se poniamo a 1 uno dei prezzi o il reddito e modifichiamo l’altro prezzo e il reddito in modo appropriato, l’insieme di bilancio non subirà alcuna variazione; di conseguenza, ponendo a uno dei prezzi come a un numerario, non sarà necessario prendere in considerazione l’altro prezzo.

5) Supponiamo che venga stabilita una tassa sulla benzina di 15 centesimi al gallone, e che in seguito venga deciso un sussidio sulla benzina di 7 centesimi al gallone. A quale tassa netta equivale questa combinazione?

1. galloni di benzina
2. tutti gli altri beni (bene composito)

p₁x₁+p₂x₂=m

( p₁+ ₁₅/¹⁰⁰) x₁+p₂x₂=m

( p₁+ ₁₅/¹⁰⁰ - ₇/¹⁰⁰ ) x₁+p₂x₂=m

_t=8/¹⁰⁰