Flussi turbolenti

U

differenti tra una prova e l’altra come si può osservare in figura:

Figura 1.1.1: Valori della velocità a seconda della prova

Tale ragionamento porta ad affermare che la caratterizzazione di un flusso

turbolento richiede un approccio statistico. In generale ci si chiede come

possano delle equazioni deterministiche come quelle che descrivono il moto

dei fluidi generare delle soluzioni random. Questo è possibile per l’inevitabile

perturbazione delle condizioni iniziali alle quali i flussi turbolenti sono molto

sensibili. In particolare è proprio il numero di Reynolds che li rende tali. 9

Luca Verzeroli - Flussi turbolenti - Corso di termofluidodinamica

1.2. L’APPROCCIO STATISTICO

1.2 L’approccio statistico

Riprendiamo ora alcuni concetti statistici. Essendo U una variabile random,

il suo valore non può essere predetto con certezza. Ciò che possiamo fare è

−1

definire la probabilità di un evento, ad esempio ≡ {U 10 } in un

A < ms

certo punto del flusso. U può essere completamente caratterizzata attraver-

so la funzione di probabilità. Prima di dare la definizione di quest’ultima

osserviamo le seguenti proprietà:

• V: essa verrà chiamata variabile indipendente che esprime un valore di

U. Esempio: ≡ {U } oppure ≡ {V } ;

B < V C < U < V

b a b

• P(B): è la probabilità dell’evento B dove (B) = {U } ;

P P < V b

• La probabilità può essere scritta anche attraverso una funzione F tale

che (V ) = {U }

F P < V

ossia (B) = {U } = (V ) . F è chiamata

P P < V F cumulative distribu-

b b

(CDF).

tion function

Definiamo ora la funzione di probabilità F come una funzione di una

variabile random U che assegna ad ogni valore di V la probabilità dell’evento

elementare U. Da questo ne deriva che la

Funzione di densità di

probabilità (PDF) è la funzione

di probabilità di una variabile

casuale nel caso in cui la

variabile U sia continua, cioè

l’insieme dei possibili valori ha la

potenza del continuo

La PDF è definita come la derivata della CDF:

(V )

dF

(V ) ≡ (1.2.1)

f dV

Essa è legata alla probabilità di U in questo modo:

b

Z

(a ≤ ≤ = (V ) (1.2.2)

P U b) f dV

a

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1.2. L’APPROCCIO STATISTICO

Graficamente rappresenta l’area sottesa al grafico:

Figura 1.2.1: Definizione di probabilità

Ricordiamo inoltre che: +∞

Z (V )dV = 1

f

−∞

In generale la PDF non è nota e nemmeno si può ricollegare ad una gaussiana

(lo si può fare solo se il numero di ripetizioni di un medesimo flusso nelle stesse

condizioni nominali è infinito).

Supponendo di conoscere la PDF:=f (V ) si definisce media:

+∞

Z (1.2.3)

:= (V )dV

U V f

−∞

mentre la varianza è: +∞

Z 2

var(U ) := (V − ) (V )dV (1.2.4)

U f

−∞

Essa fornisce una misura della variabilità dei valori assunti dalla variabile

random. Più precisamente, indica di quanto i valori si discostino quadrati-

camente dalla media aritmetica.

Introduciamo ora il concetto di fluttuazione:

0 = − (1.2.5)

u U U

In questo modo abbiamo che: 2

0

var(U ) = (1.2.6)

u 11

Luca Verzeroli - Flussi turbolenti - Corso di termofluidodinamica

1.3. ALCUNE DEFINIZIONI PER VARIABILI CASUALI VETTORIALI

Se abbiamo N equiprobabili valori discreti di U:

N

1 X (n)

=

U U

N N n=1

N

1 2

X (n) 2 2 −

var(U ) = (U − ) = U

U U N

N N

N n=1

1.3 Alcune definizioni per variabili casuali vet-

toriali

Le variabili casuali possono essere anche vettoriali ad esempio = (U ).

U , U

1 2

La PDF sarà definita come una funzione = (V ) dove e sono

f , V V V

12 1 2 1 2

possibili valori di e . La probabilità che e abbiano valori compresi

U U U U

1 2 1 2

all’interno di certi intervalli si può esprimere come:

V V

Z Z

1b 2b

= {V } = (V )

P < U < V , V < U < V f , V dV dV

1a 1 1b 2a 2 2b 12 1 2 1 2

V V

1a 2a

In questo caso si definisce covarianza di e :

U U

1 2

0

0

cov(U ) = u

, U u

1 2 2

1

A complicare la situazione si aggiunge l’instazionarietà del fenomeno. Ciò

significa che i parametri in gioco sono funzioni del tempo (U=U(t)).

Figura 1.3.1: Andamento fluttuazioni di velocità

12 Luca Verzeroli - Flussi turbolenti - Corso di termofluidodinamica

1.3. ALCUNE DEFINIZIONI PER VARIABILI CASUALI VETTORIALI

Per caratterizzare l’intero processo dovrei considerare tutti gli istanti di

∂F (V,t) e

tempo, cioè la PDF multivariata (V ; ) dove (V, ≡

f , t ...; V , t f t)

1 1 n n ∂V

(V, ≡ {U (t) } . Ad ogni istante è associata una diversa variabile

F t) P < V t

casuale U. Questo in generale non risulta fattibile.

Si può osservare che la maggior parte dei flussi possono essere definiti statisti-

ossia dopo un transitorio iniziare la statistica è invariante

camente stazionari

rispetto al tempo. Ciò significa che è identica se a (x ) sostituisco

f , t

n n

(x + ∆t)

, t

n n Figura 1.3.2: Tratto di transitorio prima della stazionarietà 2

0

Per l’ipotesi di flusso statisticamente stazionario si ha che e non

U u

dipendono dal tempo.

Parlando di velocità, si può affermare che essa non dipende solo dal tempo

ma anche dalla posizione ossia U = U(x, Per caratterizzare il campo di

t).

velocità allora dovrei considerare tutte le posizioni e tutti gli istanti di tem-

po conoscendo la funzione multivariata (V x ; x ). Ad ogni

f , , t ...; V , , t

1 1 1 n n n

istante e posizione x è associata una diversa variabile casuale U. Studiare

t

il fenomeno in questo modo risulta impossibile. Si può introdurre allora il

concetto di Se il campo di velocità è statisticamente omogeneo

omogeneità.

allora (V x ) = (V x + ∆x, ) .

f , , t f , t

n n n n n n

Per concludere, i concetti fondamentali da ricordare sono:

• Visto che le PDF associate alle variabili casuali di flussi turbolenti non

13

Luca Verzeroli - Flussi turbolenti - Corso di termofluidodinamica

1.3. ALCUNE DEFINIZIONI PER VARIABILI CASUALI VETTORIALI

sono note a priori allora consideriamo delle medie aritmetiche:

N

1 X (n)

U (x, (1.3.1)

U = t)

N N n=1

• Per fenomeni statisticamente stazionari le medie aritmetiche per N

ripetizioni dell’esperimento risultano indipendenti dal tempo.

N

1 X (n)

U = U (x, + ∆t) (1.3.2)

t

N N n=1

14 Luca Verzeroli - Flussi turbolenti - Corso di termofluidodinamica

Capitolo 2

Le equazioni di conservazione

2.1 Conservazione della massa

Si può definire l’incomprimibilità come quel fenomeno per cui la densità di

ρ

una particella di fluido non è influenzata da variazioni di pressione. In questo

caso possiamo parlare di flussi incomprimibili anche di fluidi comprimibili

(Ma 0.3).

<

Consideriamo ora un sistema chiuso per cui:

Z

d

dM = 0

= ρdV

dt dt V

Per un sistema aperto invece:

Z Z

dM ∂ρ

= + · ndS = 0 (2.1.1)

dV ρU

dt ∂t

V S

dove il primo addendo costituisce la variazione di massa nel volume di con-

trollo (CV) considerato mentre il secondo il flusso di massa attraverso la

superficie del CV. 1

Applicando il teorema della divergenza :

Z Z

∂ρ + ∇ · (ρU) = 0

dV dV

∂t V

V

che in forma differenziale: ∂ρ + ∇ · (ρU) = 0 (2.1.2)

∂t

1 R R

Teorema della divergenza: ∇ · = ·

F dV F ndS

V S 15

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2.2. CONSERVAZIONE DELLA QUANTITÀ DI MOTO

∂ρ + U · ∇ρ + · U = 0

ρ∇

∂t

I primi due termini costituiscono la cosı̀ definita:

derivata materiale

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

D ≡ + = + + + = + U ·∇ (2.1.3)

U v w

i

Dt ∂t ∂x ∂t ∂x ∂y ∂z ∂t

i

Considerando costante per un la derivata materiale

ρ flusso incomprimibile

risulta nulla: 0

Dρ

7

+ · U = 0

ρ∇

Dt

Otteniamo quindi la legge della continuità:

∇· U =0 (2.1.4)

2.2 Conservazione della quantità di moto

Si ricordi la seconda legge di Newton

~ =

F m~a

e quella dell’impulso ~ ~

∆~p = ∆(m ) =

U F

Sia la massa della particella per cui possiamo scrivere:

m d~p d(mU) ~

= = F

dt dt

con Z Z

~ = + · ndS

F ρf dV τ

V S

dove f indica l’entità delle forze di volume per unità di massa e

= 2µS − (2.2.1)

τ pI

è il tensore degli sforzi agenti sulla superficie, la pressione, I la matrice

τ p

identità e S

16 Luca Verzeroli - Flussi turbolenti - Corso di termofluidodinamica

2.2. CONSERVAZIONE DELLA QUANTITÀ DI MOTO

T

∇U + ∇U

S = (2.2.2)

2

è il gradiente simmetrico o anche detto tensore di velocità di deformazione.

Otteniamo quindi Z

Z

d~p + · ndS

= ρf dV τ

dt V S 2

Applichiamo ora il teorema del trasporto di Reynolds al primo termine

dell’equazione di conservazione:

Z Z

d~p ∂ · n)dS

= (ρU)dV + ρU(U

dt ∂t

V S

ottenendo cosı̀ senza considerare gli effetti delle forze di volume:

0 Z

Z

Z Z

∂ >

· ndS

+

· n)dS =

(ρU)dV + τ

ρf dV

ρU(U

∂t S

V

V S

Applichiamo nuovamente il teorema della divergenza e portiamo l’equazione

in forma differenziale:

Z Z

Z

∂ ∇ ·

∇ · (ρUU)dV =

(ρU)dV + τ dV

∂t

V V

V

∂ (ρU) + ∇ · (ρUU) = ∇ · (2.2.3)

τ

∂t

Ricaviamo ora l’espressione per un flusso incomprimibile ma prima osservia-

mo l’espressione nel caso generale:

∂U ∂ρ

+ U + · (UU) + U(U · ∇ρ) = ∇ ·

ρ ρ∇ τ

∂t

∂t ∂U

∂ρ 3

U + U · ∇ρ + + · (UU) = ∇ ·

ρ ρ∇ τ

∂t ∂t

2 Teorema del trasporto: Z Z

dB d

= + ·

β&rh