Flessione, taglio, torsione

M-

verifica quando lavoriamo allo stato limite, per lo SLU ai fini del controllo dell’instabilità, per lo SLE ai fini del

controllo della deformabilità. Lavorare sia allo SLU che allo SLE di esercizio con questo

diagramma è piuttosto complicato, è un legame altamente non lineare.

Si utilizzano generalmente delle semplificazioni. Ricordandoci che oltre al

punto dello stato ultimo ci sono anche i punti rappresentativi dello snervamento

e della fessurazione.

La prima possibilità che si usa allo SLU è quella di adottare una rappresentazione con la forma di una

spezzata.

TRILATERA, sezioni duttili, a debole armatura; 

Se abbiamo molta armatura, è difficile che se snervi, avremo quindi sezione fragile BILATERA

BILATERA, sezioni fragili a forte armatura;

Come cambia il legame, viene raggiunta direttamente la condizione ultima senza passare dallo snervamento.

Questa schematizzazione (BILTERA, TRILATERA) è accettabile allo

SLU perché il grosso dell’errore che si commette sta a cavallo

tra la fessurazione e lo snervamento, però è accettabile perché

noi siamo interessati a quello che succede nell’intorno

del punto dello stato ultimo.

Ai fini del controllo dell’instabilità quindi la normativa consente in alternativa al legame altamente non lineare

di utilizzare dei legami semplificati che non evidenziano bene quello che succede in ESERCIZIO.

SLE

Se andiamo ad effettuare l’altro controllo in esercizio, qui i problemi nascono, perché siamo in presenza di

livelli di carico intermedi tra fessurazione e snervamento, in questo caso ricadiamo nella zona di fessurazione.

Bisogna trovare una schematizzazione alternativa. Per trovarla dobbiamo partire da una considerazione

preliminare che è questa qui: Ingrandiamo il concio

Se M > M questo tratto si fessurerà, ma come si fessura? Le fessure legate al momento sono delle fessure

d f

verticali discrete, con un certo passo. ( )

FESSURE EQUISPAZIATE

Se ci mettiamo in corrispondenza di una sezione su una fessura:

c

LEGAME M- SEZIONE FESSURATA : momento d’inerzia sezione interamente reagente, non ancora

I 1 parzializzata.

Se mi muovo in una sezione intermedia, sarò sulla prima parte del legame, avrò Xc . Significa che nello STATO LIMITE DI

1

il discorso è ancora più complicato, avrò una linea curva che unisce gli assi neutri lungo la trave.

FESSURAZIONE I

Però è un pasticcio, perché ci sono le sezioni non fessurate dove il momento di inerzia vale , e le sezioni

1

fessurate dove il momento d’inerzia vale I . A rigore dovremmo andare sezione per sezione e vedere quale

2

è fessurata e quale non. In realtà si usa un momento d’inerzia medio che è compreso fra i due valori.

I I c c c

< <I < <

2 m 1 1 m 2

LEGAME SEZIONE NON FESSURATA Ci vuole un legame medio che tenga conto della presenza di sezioni

fessurate e non. Può essere costruito in tanti modi.

La prima possibilità e di assumere, visto che qua partiamo dalla fessurazione e ad un certo punto ci sarà lo snervamento, è di

assumere un legame modificato che congiunge direttamente la fessurazione allo stato ultimo, questo è in realtà quello che facevamo

sopra, e che non conviene. La seconda possibilità e considerare un legame che prevede un salto orizzontale quando si raggiunge il

momento di fessurazione e poi prevede un andamento parallelo al secondo tratto ma che non lo raggiunge mai.

Se noi scegliamo un certo valore del

momento troveremo che utilizzando

c

il primo legame viene fuori una curvatura 1

che utilizzando il secondo legame viene fuori

c

una curvatura , utilizzando il legame a spezzate viene fuori la

2 c

curvatura m

La normativa invece usa una rappresentazione con legge iperbolica.

A partire da M noi abbiamo una legge che gradualmente si

f

avvicina sempre di più alla retta rappresentativa dello stato fessurato.

E in particolare la legge che la normativa ci da è:

SLU TAGLIO [NTC 08]

(TRALICCIO AD INCLINAZIONE VARIABILI DELLE BIELLE COMPRESSE)

Traliccio di Ritter- M rsh

Ö q

La biella di CLS non è più inclinata di 45°, ma di un angolo che varia tra 21,8° e 45°, equivale ad avere

la cotg(q) che varia tra 1 e 2,5. Dobbiamo aggiungere anche altra armatura, quella trasversale, inclinata di

che corrispondono alle bielle tese. L’angolo

a, a

un angolo varierà tra 45° (ferri piegati) e 90°(staffe).

Le staffe non si mettono mai inclinate e devono essere sempre

almeno al 50% dell’armatura trasversale mentre

presenti

i ferri piegati non è detto che debbano essere presenti, ma in genere un minimo

lo metteremo sempre soprattutto in vicinanza degli appoggi

dove il taglio è massimo.

Dz,

Consideriamo un tratto che corrisponde, visto nella direzione della biella di cls, ad uno spessore di questa

zona pari a S .

c

La trattazione di questo problema è molto semplice, xk si parte cosi come facevamo con la trattazione a 45°

dove da una parte c è lo sforzo sollecitante, e dall’altre gli

delle bielle di CLS con un poligono di equilibrio,

sforzi resistenti.

In pratica cosa succede, succede che quando c’è un meccanismo di rottura a taglio il CLS collabora di fatto

q

alla resistenza ma in questo tipo di meccanismo noi non lo vediamo direttamente, perché fissare questo

che le fessure sono inclinate secondo l’andamento delle isostatiche di compressione,

significa in pratica dire

e appunto la variabilità dell’inclinazione delle isostatiche mette automaticamente in conto il contributo del

CLS.

Ricaviamo queste formule per e .

TAGLIO COMPRESSIONE TAGLIO TRAZIONE

Taglio compressione

Innanzitutto, noi abbiamo uno sforzo di compressione ultimo: b : w sta per webb, anima.

w

La verifica è soddisfatta quando:

Se imponiamo l’uguaglianza e isoliamo V , calcoliamo il taglio resistente del CLS.

d

La normativa ce la dà però in termini di cotg:

a=90°(staffe)

Vediamo il caso di La curva di sotto va solo nel caso

di sole staffe. Se ripetessimo il ragionamento per i ferri

piegati, ci ritroveremmo la curva soprastante, a sinistra si avrà

un raddoppio della resistenza e a destra

un aumento del 40% rispetto alle staffe.

Quindi noi abbiamo trovato un legame non lineare per il taglio resistente del CLS compresso, che è un

legame funzione del tipo di armatura trasversale che abbiamo scelto, l’armatura più vantaggiosa sono i ferri

piegati, hanno lo scopo di ricucire le fessure. Le staffe ci servono cmq per altri scopi, come quello di realizzare

un buon confinamento del CLS.

Taglio trazione

Calcoliamoci lo sforzo ultimo che può assorbire la nostra armatura trasversale:

Per la verifica:

a=90°

SOLO STAFFE Abbiamo in questo caso un andamento lineare,

c’è comportamento esattamente opposto di quello

delle bielle per quanto riguarda il taglio

associato all’angolo.

max resistente

Se prendiamo dei ferri piegati

il taglio resistente è maggiore.

Riepiloghiamo le formule principali a taglio compressione e taglio trazione per il caso semplificato con sole

staffe: q

Queste due quantità ai fini del progetto e della verifica conviene riportarle nel piano V-cotg

In condizioni di rottura critica si assumeva il contemporaneo cedimento del calcestruzzo compresso e dell’acciaio teso, si sceglieva

questa rottura per motivi di economia facendo lavorare entrambi i materiali. L’ipotesi che in genere si cerca di ottenere in fase di

progetto e che si vuole verificare in fase di verifica, è crisi contemporanea di cls compresso della biella + armatura trasversale.

resistente per il Cls e per l’armatura:

Quanto vale questa massima armatura traversale, pongo uguale le espressioni del taglio

Noi non possiamo mettere più di questa armatura altrimenti andremmo a prendere una retta ancora più

q

inclinata che intersecherebbe la curva del CLS in un campo di valori di cotg da noi non accettabile.

c’è da rispettare questa

Quindi ai fini di garantire una buona duttilità del CLS per quanto riguarda il taglio,

limitazione.

Impostiamo i nostri calcoli di verifica e progetto.

Verifica a taglio allo SLU

Noi avremo un certo taglio di calcolo che dovrà essere minore di una certa resistenza, e dobbiamo scegliere

più piccolo tra quello del calcestruzzo e quello dell’armatura trasversale.

come valore di resistenza il

1. CONTROLLIAMO LA DUTTILITÀ

Soddisfatta questa verifica, procediamo al punto 2, altrimenti non è soddisfatta la verifica.

IMPONIAMO L’UGUAGLIANZA

2. DELLE ESPRESSIONI DEL TAGLIO RESISTENTE A COMPRESSIONE E DEL TAGLIO

RESISTENTE A TRAZIONE.

L’ unica incognita in questa equazione è la cotg qq

Abbiamo tre possibili situazioni ora:

è quella in cui l’angolo q

A. che ci siamo calcolati risulta essere compreso tra 21,8° e 45°.

3. Quindi in questo primo caso il nostro V è

Rd

semplicemente uguale a V che è a sua

(cotgq*)

Rcd

volta uguale a V , ottenuto con

(cotgq*)

Rsd

l’intersezione tra la curva e la retta.

B.

Significa che pensando la curva che prosegue a destra, l’intersezione tra la retta e la curva avverrà in un

di fuori dell’intervallo in cui noi possiamo operare.

punto che corrisponde ad una che va al

cotgq* Devo prendere il taglio resistente più piccolo tra i due.

Il taglio resistente potrà essere valutato non oltre

una pari a 2,5, più in là non possiamo spingerci.

cotgq

C.

Significa che considerando l’intersezione tra la retta e la curva io cado in un punto che è all’esterno a sinistra

del limite inferiore, quindi a questo punto c’è un che è più grande, stavolta è l’armatura ad essere più

cotgq*

grande del CLS, stavolta il taglio resistente sarà quello del calcestruzzo calcolato per uguale a 1.

cotgq

Il problema si complica un po’ nel caso di presenza di a a

staffe ( =90°) + ferri piegati ( =45°)

C’è un limite normativo: il taglio che viene assorbito dalle staffe deve essere almeno il 50% del taglio

complessivo.

Adesso il discorso di crisi contemporanea è un po’ più complicato, perché intervengono entrambe le

armature.

Se li vogliamo rappresentare sovrapposte: Possono quindi esserci due tipi di crisi:

Taglio resistente ferri piegati:

Taglio resistente staffe:

PROGETTO TAGLIO ALLO SLU

Facciamolo per il caso più usuale, che è solo staffe a 90°.

Dati: Incognite: Andiamo nuo