Fisica Tecnica - trasmissione del calore

CONDIZIONE

Definizione: Corpi solidi - particelle contigue - moti virtuali senza spostamento di materia.Gradienti termici non nulli: flusso in direz. ⊥ alle superfici isoterma. Linee di flusso regine stazionario (da cost.)

Superfici isoterme e linee di flusso = CAMPO TERMICOStud. calore permuta di capire in quale direz si trasmette il calore

Considero un corpo solido omogeno attraversato dal flusso termico

dQ = λ ΔS ΔT

Quantità infinitesime:

dQ = - λ dS dr \[\frac{dT}{dn}\]

\( \frac{dT}{dn} \) GRADIENTE TERMICO

Segno: la trasmissione del calore avviene verso temperat. minori (al contrario della convenzione)

Eq. generale della conduzione

dQ = λ dy dz \(\frac{dT}{dx}\)

dQx+dx = - λ dy dz \(\frac{∂T}{∂x} + \frac{∂²T}{∂x²} dx\)

Sostituendo dQ = c dVdT = λ dV dT \(\frac{∂²T}{∂x²}\)

OPERATORE DI LAPLACE

equazione differenziale di secondo ordine

\(\frac{∂T}{∂t} = \frac{λ}{c cp} ∇² T\) diffusività termica

In g.s. la temperatura non varia nel tempo ^∂T/_∂t = 0

CONDUZIONE

Definizione: Corpi solidi: particelle contigue; moti vibratorii senza spostamento di materia. Gradienti termici, non radianti. Sede in aria, l. allie superfici isoterna. LINEE DI FLUSSO. Regime stazionario (da cost).

POSTULATO DI FOURIER:

Superfici isoterme e linee di flusso = CAMPO TERMICO. Studirci con il C.T. permuta di capire in quale direzione si trasmette il calore.

Considera un corpo solido omogeno attraversato da un flusso termico:

Quantità infinitesime:

dQ = λ dS dr _dT/^dn

Segno: = La trasmissione del calore avviene verso temperatura minori (al contrario della convenzione).

EQUAZIONE DI FOURIER:

Eq. generale della conduzione

1. dQ_x = λ dy dz dT/dx
2. dQ_y = ...
3. dQ_z = ...
4. ... _x+x = λ dy dz_dx (3T/3x² dx)
5. ... _y+dy = ....
6. ... _z+dz = .....

Somma dei contributi delle 3 facce: dQ_x + dQ_x+dx + dQ_y + dQ_y+dy + dQ_z + dQ_z+dz = dQ

dQ = λ dv dt (3² T² x/x²)

Equazione differenziale di secondo ordine e derivate parziali:

• Le fondamentali della calometria: Q = c MdT
• Equilgando i calori: cρ dV ∂T/∂t dv = λ dv dV (3² T₂ ²)

OPERATORE DI LAPLACE: _∂T/∂t = _1/cρ ∇²T

Diffusività termica [m²/s] (N.B: la temperatura non varia nel tempo ∂T/∂t = 0 = EQULAZIONE DI LAPLACE )

Applicazione: Parete piana in R.S.

Hp. R.S.

T₁ > T₂

materiale omogeneo

∇²T = 0

→ ∂²T/∂x² + ∂²T/∂y² + ∂²T/∂z² = 0

(y,z // ai piani isostatici)

integro 3 volte ∂T/∂x = κ₄

T = κ₁ x + κ₂

• condizioni ai limiti T = T₁ x = 0
• T = T₂ x = S → T₂ = κ₄S + κ₂

→ κ₄ = T₂ - T₁ / S

→ sostituisco T = T₁ - T₁ - T₂ / S

→ quantità di calore trasmessa nell'unità di tempo che attraversa un'area A

δQ = λ ∙ dA dt dT/ds

Q = λ A T₁ - T₂ / S

q = Q/τ = λ A T₁ - T₂ / S

Conduttanza della parete: 1 / S [W/m²K]

Resistenza termica: R = S / λ

q = ΔT/ℓ

Parete multistrato

Hp: R.S.

T₁ > T₂ > T₃

flussI trasmessi

q₁ = λ₁ / S₁ (T₁ - T₂)

q₂ = λ₂ / S₂ (T₂ - T₃)

Per le ipotesi (E.S.) q₁ = q₂ = q allora

q S₁ / λ₁ + (T₁ - T₂)

q S₂ / λ₂ = (T₂ - T₃)

q (S₁ / λ₁ + S₂ / λ₂) = (T₁ - T₃)

q = T₁ - T₃

q = S₁ / λ₁ + S₂ / λ₂ (resistenza termica)

q = T₁ - T₃ / Σ S_i / λ_i

Tubo cilindrico in R.S.

Hp: cilindro cavo. Superfici isoterme, materiale isotropo e omogeneoR.S.T_A > T_B

Eq. di Fourier coordinare cilindriche∇²T = ∂²T/∂z² + 1/r ∂T/∂r + 1/r² ∂²T/∂θ²

Condizione soddisfatta se∂T/∂z = k₄/r∫dT = ∫(k₄/r) dr ⇒ T = k₀ln r + k₂