Fisica tecnica - trasmissione del calore

E G

N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

T

RR

AA

SS

M

I

S

S I

O N

E D

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LL CC

AA

LL

O RR

EE

T M

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S I

O N

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R A S

M

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S I

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E L C A L

O R E

L

L

A C O N V E

Z I O N E

A C O N V E

Z I O N E

C

a p i

t o l

o 3 .

G

e n

e r a l

i

t

à (

3 . 1 )

G

e n

e r a l

i

t

à (

3 . 1 )

Sullo scambio termico tra un solido e un fluido che lo lambisce si fa valere la legge di Newton, per la

= −

quale: . Il coefficiente convettivo però non è costante. Esso dipende dalla forma, nonché

dQ ' h (

t t ) dS

P F

dalla temperatura del corpo, dalla natura e dallo stato fisico del fluido, dalle caratteristiche cinematiche del

moto del fluido. È conveniente fare una prima distinzione tra la convezione forzata e la convezione naturale.

Nella convezione forzata il fluido è dotato di un suo moto, che lo porta a lambire la superficie del solido; tale

moto è impresso da cause indipendenti dalla trasmissione del calore, e inoltre il fenomeno convettivo ha un

effetto trascurabile sul moto. Al contrario, nella convezione naturale, il fluido non è agitato da cause esterne.

Esso, a contatto con la parete a temperatura diversa, scambiando calore, viene ad assumere una temperatura

differente dalle altre porzioni di fluido, e quindi una diversa densità di massa. Dunque, se è presente un

campo gravitazionale, le parti più fredde del fluido tendono a scendere in basso, e quelle più calde a risalire

per prenderne il posto. Prima di affrontare il paragrafo successivo, è consigliabile ripassare le nozioni di moto

stazionario, linee di corrente, tubo di flusso.

M o t

o l

a m i

n

a r e e m o t

o t

u

r b

o l

e n

t

o (

3 . 2 )

M o t

o l

a m i

n

a r e e m o t

o t

u

r b

o l

e n

t

o (

3 . 2 )

Una caratteristica delle correnti fluide è la duplice modalità secondo cui può presentarsi il moto: laminare o

turbolento. Nelle correnti che si sviluppano in uno spazio ristretto, o a velocità molto bassa, ovvero quando

nel fluido, per la grande viscosità di questo, possono manifestarsi grandi sforzi tangenziali, la configurazione

del moto risulta dallo scorrimento dei vari strati del fluido l’uno sull’altro: il moto è Se si aumenta

laminare.

la velocità di scorrimento, si vede che ad un certo punto la configurazione stabile precedentemente descritta

cessa dando luogo ad una distribuzione di velocità che, anche quando macroscopicamente è stazionaria, è

caratterizzata da notevoli fluttuazioni a scala microscopica nel tempo e nello spazio. Tale moto dicesi

Il campo di velocità turbolento in ogni suo punto risulta dalla somma di un vettore v

turbolento. ω

indipendente dal tempo, indicato come e di un vettore , la cui media del modulo,

velocità della corrente,

calcolata su un intervallo di tempo lungo rispetto al problema di studio, è sempre nulla (per cui influisce

principalmente sulla direzione). Le forze di resistenza opposte al moto laminare, sono quelle da viscosità, e

pertanto sono proporzionali alla velocità. Nel caso del moto turbolento, le resistenze derivano dalla

dissipazione di energia cinetica che si trasforma in energia interna a causa delle fluttuazioni della velocità, e

pertanto sono approssimativamente proporzionali al quadrato della velocità della corrente. Il verificarsi

dell’una o dell’altra forma di moto dipende dalle caratteristiche del fluido (densità , viscosità μ), dalla

ρ

velocità v, e dalle dimensioni dei corpi interessati; più precisamente dipende dal gruppo adimensionale:

ρ vl vl

= =

Re µ υ

υ µ ρ

=

che è detto Il simbolo denota la del fluido. Invece è una

/

numero di Reynolds. viscosità cinematica l

lunghezza caratteristica del caso in esame (ad esempio, in tubo a sezione circolare, è il diametro).

l

Generalmente il moto è laminare se Re è molto basso, turbolento se elevato. Consideriamo ora il moto di un

fluido reale che lambisce una lastra piana semi-infinita. Lo strato di fluido che lambisce la parete viene

frenato, e a sua volta esercita uno sforzo tangenziale di frenamento sullo strato a esso adiacente, che si trova

un po’ più discosto dalla parete ed è dotato di velocità un po’ maggiore, e così via. Le azioni tangenziali si

fanno sentire in modo significativo solo nella regione di fluido prossima alla parete. Questa zona è stata

denominata e il suo spessore δ(x) dipende dalla coordinata x, che misura la distanza dal

strato limite, bordo

cioè dall’inizio della lastra. La corrente all’interno dello strato limite è laminare sino ad una certa

d’attacco, v

δ ∝

distanza x dal bordo d’attacco, con spessore crescente e vale: , dove Re è il numero di

x

( )

1 x

Re x

Reynolds basato sulla distanza x dal bordo e v velocità istante per istante. A questo punto si ha la transizione

al tipo turbolento, che inizia nella parte esterna dello strato limite e in breve si propaga verso l’interno,

occupandolo quasi interamente. Tuttavia vi rimarrà sempre un sottile strato (il più vicino alla parete) dove la

corrente si mantiene laminare. Nel caso di una corrente interna, lo strato limite che si viene a formare alle

R S – C S

6 II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

F T I G

II

SS

II

CC

AA EE

CC

NN

II

CC

AA PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

F T I G

I

S

I

C A E C N I

C A P

E R N G

E G

N

E R I

A E S

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O N

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E

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RR

AA

SS

M

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S

S I

O N

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LL CC

AA

LL

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EE

T M

I

S

S I

O N

E D O

R A S

M

I

S

S I

O N

E D

E L C A L

O R E

pareti va crescendo con x, mentre la zona centrale del tubo, nella quale la velocità è approssimativamente

uniforme, va restringendosi; dopo una certa distanza , chiamata questo nucleo centrale

lunghezza di imbocco,

scompare, e si ha uno strato limite stabilizzato. Nel tratto di imbocco il moto è governato dallo stesso

numero di Reynolds di cui sopra. Nel tratto successivo, invece, la lunghezza caratteristica da considerare

cambia e diventa, ad esempio, il diametro del tubo (se la sezione è circolare).

S

t

r a t

o l

i

m i

t

e t

e r m i

c

o e c

o r r e n

t

i i

n

t

e r n

e (

3 . 3 )

S

t

r a t

o l

i

m i

t

e t

e r m i

c

o e c

o r r e n

t

i i

n

t

e r n

e (

3 . 3 )

Facciamo riferimento alla situazione precedente. Lo strato limite fin ora descritto è in realtà definibile come

in quanto fa riferimento alla velocità del fluido. Si definisce poi lo

strato limite meccanico, strato limite termico,

in relazione all’andamento della temperatura lungo la normale alla parete. Infatti se la parete ed il fluido che

la investe hanno temperature differenti, si avrà uno scambio di calore, limitato però ad uno strato adiacente

alla parete, che è appunto lo strato limite termico. Questo è definito come lo strato di corrente fluida entro il

quale il valore assoluto della differenza tra la temperatura locale e quella della parete ( |t – t | ) è minore del

p

99% del valore assoluto della differenza tra la temperatura a distanza infinita dalla parete e quella della

parete stessa ( |t - t | ). Il suo spessore si denota con δ . Questo strato è la sede della trasmissione del calore

∞ p T

per convezione tra il corpo solido ed il fluido. Si trova che ≈ λ/ δ . Questa relazione dà un’idea del

h T

significato fisico dello spessore dello strato limite termico e della sua influenza sulla convezione.

Una notevole classe di correnti fluide è quella delle correnti ovvero quelle che si svolgono all’interno

interne,

di condotti a sezione chiusa. In molti dispositivi per lo scambio termico tra fluidi si hanno tali correnti.

Anche in questi casi la potenza trasmessa dalla parete del condotto al fluido è espressa, per unità di

= −

superficie di parete, nella solita forma: . In questo caso però la temperatura del fluido non può

Q '' h (

t t )

P F

identificarsi con quella del fluido a distanza infinita dalla parete, come nel di caso correnti esterne, perciò si

definisce una Il significa fisico di essa è presto dedotto: a una certa sezione del

temperatura di mescolamento.

tubo, t è la temperatura che assumerebbe il fluido, supposta trascurabile l’energia cinetica, se venisse

M

perfettamente mescolato isobaricamente e adiabaticamente fino ad assumere una temperatura uniforme.

C

o n

v e z i

o n

e n

a t

u

r a l

e ( 3 . 4 )

C

o n

v e z i

o n

e n

a t

u

r a l

e ( 3 . 4 )

Oltre al numero di Reynolds, definiamo altre tre grandezze adimensionali, che torneranno utili in seguito:

µ βϑ 3

c g L ρ

∂

hL  

=

(numero ; (numero ; (numero 1

=

= p

di Nusselt) di Prandtl) di Grashof) β

Gr = −

Pr

Nu ( )

 

υ

λ

λ 2 ρ ∂

 

t =

p cost

dove λ è la conduttività termica del fluido, la lunghezza caratteristica del corpo, accelerazione di gravità,

L g

ϑ differenza di temperatu