Fisica tecnica - trasmissione del calore

F T I G

II

SS

II

CC

AA EE

CC

NN

II

CC

AA PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

F T I G

I

S

I

C A E C N I

C A P

E R N G

E G

N

E R I

A E S

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O N

A L

E

T

RR

AA

SS

M

I

S

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O N

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EE

LL CC

AA

LL

O RR

EE

T M

I

S

S I

O N

E D O

R A S

M

I

S

S I

O N

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E L C A L

O R E

L

L

A C O N D U Z I O N E

A C O N D U Z I O N E

C

a p i

t o l

o 1 .

M o d

i d

i t

r a s

m i s

s

i

o n

e d

e l c

a l

o r e (

1 . 1 )

M o d

i d

i t

r a s

m i s

s

i

o n

e d

e l c

a l

o r e (

1 . 1 )

Quando all’interno di un corpo esistono differenze di temperatura, si verifica in esso un trasferimento di

energia, dalle parti più calde alle più fredde. Chiamiamo tale trasferimento energetico trasmissione del calore.

Essa si verifica anche tra corpi distinti, siano essi fluidi o solidi, e avviene anche tra corpi posti a distanza e

separati da uno spazio vuoto. Sebbene il calore si trasmette in maniera piuttosto complessa, il fenomeno

della sua trasmissione può essere idealmente schematizzato in tre modi fondamentali: conduzione, convezione

e Questi possono presentarsi singolarmente, o combinati; quando ciò accade si cerca, se

irraggiamento.

possibile, di calcolarne separatamente gli effetti. La conduzione è il modo di trasmissione del calore che si

verifica principalmente nei corpi solidi. In questi tutte le particelle interagiscono con quelle vicine e danno

luogo a scambi di energia. Questa trasmissione energetica avviene senza nessun trasferimento macroscopico

di materia. La convezione avviene nei fluidi, dove la possibilità di spostamento delle molecole è ben più

ampia. Non si tratta più di scambi energetici tra particelle, ma dello spostamento di porzioni di materia

fluida, ed il processo di uniformazione dell’energia è molto più attivo che nella conduzione. L’irraggiamento

è legato alla proprietà, posseduta da ogni corpo, di emettere radiazioni elettromagnetiche, e assorbire a sua

volta radiazioni emesse. Se il corpo ha una temperatura diversa da quella dei corpi circostanti, l’energia che

esso emette non bilancia quella assorbita, e perciò avviene un trasferimento di energia.

P o s

t

u

l

a t

o d

i F o u

r i

e r (

1 . 2 )

P o s

t

u

l

a t

o d

i F o u

r i

e r (

1 . 2 )

Una prima informazione sulla conduzione del calore si ricava da una

semplice osservazione sperimentale. Si supponga di avere una lastra

piana di un materiale omogeneo avente uno spessore piccolo rispetto

s,

alle altre due dimensioni. Le due facce 1 e 2 della lastra siano tenute

rispettivamente alle temperature t e t , con t > t . Si consideri di

1 2 1 2

questa lastra una porzione di area lontana dai bordi della lastra. Sia Q la quantità di calore che attraversa

S,

la lastra da 1 a 2 durante l’intervallo di tempo ∆τ . Si trova la relazione (postulato di Fourier):

−

t t

λ τ

= ∆

1 2

Q S s

dove λ, coefficiente di proporzionalità detto dipende dalla natura del materiale della

conduttività termica, ⊕

lastra. Consideriamo ora un generale corpo solido di materiale omogeneo e isotropo e di forma qualunque,

entro il quale esista una certa distribuzione della temperatura, funzione della posizione e del tempo: t = t (x,

La natura della grandezza fisica t è tale che la funzione precedente è a un solo valore, e di solito

y, z, τ).

continua. All’interno del corpo possiamo definire, a un istante generico τ, le superfici isoterme. Si trova che

la quantità di calore dQ che, all’istante τ considerato, in intervallo infinitesimo di tempo dτ attraversa l’area

dS è data da: dt

λ τ

= −

dQ dS d

dn

dove dn indica la distanza tra le due superfici isoterme valutata secondo la normale a dS. La precedente è

vera purché si considerino un gran numero di molecole ed eventi (urti), così da rendere valida l’ipotesi di

continuità della funzione t. Esprimiamo ora il postulato di Fourier in una forma ancora più generale, valida

anche per superfici non isoterme, sempre supponendo il materiale omogeneo e isotropo. All’interno del

corpo, consideriamo un punto generico P, e un elemento di superficie contenente P esteso dS, comunque

orientato. Definita la retta normale a dS, e stabilito su di essa il verso positivo, la quantità di calore dQ che

n n

durante l’intervallo di tempo dτ si trasmette per conduzione attraverso dS nel verso prescelto è data da:

dt

λ τ

= −

dQ dS d

n dn

⊕ Si dice omogeneo un corpo le cui proprietà fisiche sono indipendenti dalle coordinate spaziali. Si dice isotropo un

corpo le cui proprietà fisiche sono indipendenti dalla direzione rispetto alla quale sono valutate.

R S – C S 1

II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

F T I G

II

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GG

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AA

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O RR

EE

T M

I

S

S I

O N

E D O

R A S

M

I

S

S I

O N

E D

E L C A L

O R E

È utile definire la quantità dQ ’ = dQ / dτ, che chiamiamo attraverso dS. Le sue dimensioni

portata termica

n n

sono quelle di una potenza. Definiamo inoltre la quantità Q ’’ = dQ ’ / dS, che chiamiamo flusso termico

n n

attraverso la superficie normale a per P (tale grandezza non dipende dall’estensione dS).

specifico n, ∂ ∂ ∂

t t t

ɵ ɵ ɵ

+ +

Ricordiamo che il gradiente della funzione t è un vettore così definito: . Ora indichiamo

x y z

∂ ∂ ∂

x y z

ɵ

con il versore sulla retta e con cosα, cosβ e cosγ i tre coseni direttori della retta Possiamo scrivere:

n n n.

α β γ α β γ

ɵ ɵ ɵ ɵ

= + + = = =

n x y z dx dn dy dn dz dn

cos cos cos , cos , cos , cos

Esplicitando le precedenti rispetto ai coseni direttori, e eseguendo la derivata direzionale del gradiente di t

lungo la direzione di si ottiene che:

n dt λ

ɵ ɵ

∇ = = − ∇

⇒

i i

''

t n Q t n

n

dn

λ

= − ∇

Ponendo (vettore si ottiene che in ogni punto il flusso termico specifico attraverso

q t flusso termico),

una superficie comunque orientata e comunque estesa è dato dalla proiezione del vettore flusso termico sulla

normale n.

E q

u

a z i

o n

e d

i F o u

r i

e r (

1 . 3 )

E q

u

a z i

o n

e d

i F o u

r i

e r (

1 . 3 )

Consideriamo un corpo costituito da materiale omogeneo, isotropo, e di volume specifico invariabile, nel

quale non avvengano cambiamenti di fase. Consideriamo un punto interno P, di coordinate (x, Nel suo

y, z).

intorno definiamo un volume infinitesimo dV. Assumiamo positive le quantità di calore entranti, negative le

uscenti. Supponiamo che la portata termica attraverso la superficie di confine sia dQ’ ; supponiamo inoltre,

per generalità, che all’interno dello stesso volume abbia luogo uno sviluppo di calore. Se indichiamo con Q ’

V

la potenza per unità di volume, la quantità di calore sviluppata nel volume nell’unità di tempo è Q ’dV. In

V

assenza di altre forme di trasferimento di energia, possiamo esprimere il principio di conservazione

dt

τ ρ τ

+ = ρ

dell’energia con la seguente equazione: , con densità del materiale, e

'

dQ Q dVd c dV d c

τ

V d

calore specifico. Per il postulato di Fourier, il calore dQ complessivamente rimosso da dV nel tempo dτ sarà:

∂ ∂ ∂

 

   

t t t

λ λ λ

= − = − = −

; ;

dQ ' dydz dQ ' dxdz dQ ' dydx

 

   

∂ ∂ ∂

x y z

   

 

x y z

x z

y

∂ ∂

  ∂ ∂

 

2 ∂ ∂

 

2

t t 2

t t t t

λ

= − + λ λ

= − + = − +

; ;

'

dQ dydz dx

  '

dQ dxdz dy

  '

dQ dydx dz

 

+ +

∂ ∂ +

∂ ∂

x dx ∂ ∂

y dy

2 z dz

2 2

 

x x  

y y  

z z

( )

( )

( ) ( )

τ τ λ τ

= = − + − + − = ∇

⊕ 2

' ' ' ' ' ' ' ( )

dQ dQ d d dQ dQ dQ dQ dQ dQ t d dV

+ + +

x x dx y y dy z z dz

Riscrivendo il bilancio energetico, sostituendo dQ e dividendo per λdVdτ si ha, in coordinate cartesiane:

λ

Q ' 1 dt α

∇ + = =

2 V (equazione [con (diffusività

t di Fourier) termica)]

λ α τ ρ

d c

Può essere conveniente esprimere il laplaciano di t in coordinate sferiche (r, φ, θ) o cilindriche (r, θ, z):

φ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2

2 2 2 1 1

t t t t

1 1 2 cos

t t t t t ∇ = + + +

∇ = + + + + 2

2 ;

( ( )

t

t sferiche cilindriche

) θ

φ φ θ φ φ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 r r r r z

r r r sin r r r sin ⊕

Se la conduzione del calore avviene in regime stazionario e senza sviluppo interno di calore, si ricava:

∇ =

2 (equazione

t 0 di Laplace)

⊕ ∇ 2 t ( x , x ,..., x )

chiamasi laplaciano, ed è un operatore che applicato ad una funzione dà in uscita il seguente

n

1 2

∂ ∂ ∂

2 2 2

t t t

∇ = + + +

2 (coordinate cartesiane)

valore: (

t ( x , x ,..., x )) ...

∂ ∂ ∂

1 2 n 2 2 2

x x x

1 2 n

⊕ Chiamiamo stazionario un regime caratterizzato dalla costanza nel tempo di tutte le variabili in gioco: temperatura,

flusso termico, forma del corpo, etc.. R S – C S

2 II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

F T I G

II

SS

II

CC

AA EE

CC

NN

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T M

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S

S I

O N

E D O

R A S

M

I

S

S I

O N

E D

E L C A L

O R E

P

P

R

O B

L E

M I D I C O N D U Z I O N E

R

O B

L E

M I D I C O N D U Z I O N E

C

a p i

t o l

o 2 .

S

t

r a t

o p

i

a n

o i

n r e g i

m e s

t

a z i

o n

a r i

o (

2 . 1 )

S

t

r a t

o p

i

a n

o i

n r e g i

m e s

t

a z i

o n

a r i

o (

2 . 1 )

Le condizioni al limite del campo termico possono essere assegnate in tre differenti modi:

Può essere imposta la distribuzione della temperatura alla superficie di confine del corpo che si

1 .

1 . considera (condizione di Dirichlet).

Può essere imposto il flusso termico attraverso la superficie di confine (condizione di Neumann).

2 .

2 . Può essere imposta la temperatura del fluido che lambisce la parete del corpo e scambia calore per

3 .

3 . convezione con un coefficiente convettivo assegnato. Allora è necessario che la componente normale

alla parete del vettore flusso termico, valutato alla parete stessa sia uguale al flusso termico

− =

trasmesso per convezione dalla parete al fluido. Matematicamente: , dove è il

h (

t t ) Q '' h

P F n

coefficiente convettivo, e i pedici P ed F indicano rispettivamente parete e fluido, ed è orientata

n

dalla parete verso il fluido.

Consideriamo uno di spessore costituito da materiale omogeneo e isotropo. L’oggetto

strato piano indefinito s,

del nostro studio perciò è la regione dello spazio compresa tra due piani paralleli posti a distanza che

s

delimitano lo strato. Supponiamo che il calore si trasmetta per conduzione attraverso lo strato in regime

stazionario, che non vi sia sviluppo di calore all’interno del corpo e che le due facce dello strato costituiscano

due superfici isoterme t e t , con t > t . Le condizioni poste fanno si che ogni piano parallelo alle facce

A B A B

risulti un piano isotermico, e perciò il vettore flusso termico è in ogni punto perpendicolare alle facce stesse.

∂ ∂ =

Dunque t dipende solo dal verso di propagazione. L’equazione di Fourier si scrive: , dalla quale

2 2

t x

/ 0

otteniamo t = Mx+N, dove M ed N si ricavano dalle condizioni al contorno. La funzione che definisce t sarà:

−

t t

= +

B A

( )

t x x t A

s

È interessante osservare che l’espressione ottenuta è indipendente da λ. Per il flusso termico specifico si ha:

λ

dt

λ

= − = − = −

Q '' (

t t ) C (

t t )

A B A B

dx s

Il coefficiente C = λ/s è chiamato dello strato. Risolviamo lo stesso problema, nel

conduttanza termica specifica

caso in cui siano note le condizioni convettive, ovvero le temperature dei fluidi t e t . Abbiamo dunque:

FA FB

Q '' Q '' Q ''

− = − = − =

; ;

t t t t t t

FA A B FB A B

h h C

A B

Risolvendo il sistema possiamo ricavare la seguente relazione:  

 

 

1 1 1 Q '' 1

− = + + = = − =

 

⇒

 

t t Q '' Q '' U (

t t ) U

FA FB FA FB 1 1 1

 

h h C U

  + +

A B  

h h C

 

A B

Il coefficiente U è chiamato Nel caso di una parete reale, affinché siano valide le

trasmittanza termica.

relazioni trovate, è necessario che lo spessore sia piccolo rispetto alle altre dimensioni. Inoltre le relazioni

non sono valide in prossimità dei bordi, dove il campo termico risulta deformato.

Consideriamo ora una parete costituita dall’accoppiamento di due strati di diverso materiale, e supponiamo

non vi sia alcun sviluppo interno di calore. A ognuno dei due strati si possono applicare le relazioni

riguardanti il flusso termico. Ricordando che, in regime stazionario, questo è indipendente da x, si trova che:

 

 

λ λ 1

= − = − = = − =

 

⇒

1 2

Q '' (

t t ) ; Q '' (

t t ) ; Q '' Q '' Q '' C '(

t t ) C '

AB A B BC B C AB BC A C s s

 

s s +

1 2

1 2  

λ λ

 

1 2

Dunque il sistema in esame si comporta come un unico strato di conduttanza C’. Nel caso di strati:

n

R S – C S 3

II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

F T I G

II