Fisica tecnica - termodinamica

F T I G

II

SS

II

CC

AA EE

CC

NN

II

CC

AA PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

F T I G

I

S

I

C A E C N I

C A P

E R N G

E G

N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

T

EE

RR

M

O D II

N

AA

M II

CC

AA

T M

O D N M

E R M

O D I

N

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C A

C

C

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T

I B A

S

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C

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t o l

o 1 . O N C

E T

T

I B A

S

E

D

e f i

n

i

z i

o n

i (

1 . 1 )

D

e f i

n

i

z i

o n

i (

1 . 1 )

La può essere definita come la scienza che studia le trasformazioni di calore in lavoro e

termodinamica

viceversa. I due concetti di e sono strettamente legati, potendosi definire il calore come il

calore temperatura

trasferimento di energia da un corpo ad un altro per effetto di una differenza di temperatura, e, viceversa, la

temperatura come l’indice della capacità di un corpo di cedere calore ad un altro. La temperatura può anche

definirsi come l’indice dell’energia mediamente posseduta dalle molecole costituenti il corpo, al contrario del

calore (che non può dirsi posseduto da un corpo) che rappresenta energia in transito (così come il lavoro). Lo

stato fisico di un corpo è caratterizzato da diverse grandezze termodinamiche: volume, massa, pressione,

densità, etc. Con l’uso di scale, la temperatura viene misurata indirettamente attraverso l’osservazione degli

effetti da essa prodotti su un corpo (corpo e in particolare su una delle grandezze fisiche che lo

termometrico),

caratterizzano. Può trattarsi della pressione di un gas (termometro a gas), della resistività elettrica di un

metallo (termometro a termo resistenza), della dilatazione di un liquido, o altro.

Si definisce la limitata regione dello spazio presa in considerazione per lo studio insieme con la

sistema

materia che essa contiene. Tutto ciò che non ne fa parte è detto ed è delimitato dal sistema dalla

ambiente,

o Un sistema dicesi se il suo confine non è attraversato da materia, così che

superficie di confine contorno. chiuso

la materia facente parte del sistema non cambia nel tempo, ma solo da forme di energia (calore e lavoro). Un

sistema non chiuso dicesi e si dice delimitato da una che permette lo scambio di

aperto, superficie di controllo

materia con l’ambiente. Altresì un sistema è se non può scambiare alcunché con l’ambiente. Un

isolato

sistema attraverso la cui superficie di confine non si verifichino scambi di calore dicesi Lo stato di

adiabatico.

un sistema è identificato da grandezze che forniscono informazioni macroscopiche sul

variabili di stato,

sistema (a livello microscopico perdono di significato). Le variabili termodinamiche sono relative alla

condizione del sistema valutata rispetto ad un S.R. solidale con il sistema stesso. Sono grandezze estensive

quelle il cui valore dipende dall’estensione del sistema (volume, massa, energia interna, etc), quelle

intensive

il cui valore non dipende dalla grandezza della porzione di materia che si considera come sistema. Le

grandezze estensive, divise per la massa a cui si riferiscono, si chiamano e sono, per

grandezze specifiche,

definizione intensive. Generalmente in un dato sistema le variabili termodinamiche assumono valori

differenti in differenti punti di esso; in tal caso lo stato del sistema dicesi di poiché il sistema

non equilibrio,

stesso tende ad abbandonarlo per portarsi ad un nuovo stato dove non vi siano più disuniformità; tale stato

finale è detto di Il legame tra le diverse variabili di stato è costituito dall’equazione Il

equilibrio. di stato.

numero di variabili indipendenti necessari per definire lo stato di un sistema si trova con la regola di Gibbs:

“dato un sistema di N componenti non reagenti, nel quale siano presenti Ф fasi( ), il numero Л delle variabili

1

Λ = + − Φ ”. Nel caso di un gas e dunque

N 2

indipendentemente assegnabili (o gradi di libertà) è: Ф=1, N=1

L’equazione di stato di un gas ideale (o è: = R’ T, dove è la pressione, il volume

Л=2. gas perfetto) p v p v

specifico, T la temperatura assoluta ed R’ la costante caratteristica del gas, pari a R/M, con M massa di una

kilomole (peso atomico) ed R costante universale dei gas (R=8314,3 J / kmol K). L’equazione di stato dei gas

perfetti descrive abbastanza bene il comportamento dei gas reali quando si trovano a bassa elevata T, e

p,

massa M non troppo grande. Per lo studio delle equazioni di stato è utile l’impiego dei diagrammi di stato.

T r a s

f o r m a z i

o n

i e l

a v o

r o (

1 . 2 )

T r a s

f o r m a z i

o n

i e l

a v o

r o (

1 . 2 )

Il processo col quale una o più variabili di un sistema mutano si chiama Una trasformazione

trasformazione.

generica è detta Se invece lo stato finale coincide con quello iniziale, si parla di o

aperta. trasformazione ciclica

Per lo studio delle trasformazioni si ricorre ad una idealizzazione: la trasformazione Si

chiusa. reversibile.

definisce tale una trasformazione che avviene attraverso infiniti stati di equilibrio (successione infinita di

trasformazioni infinitesime), e in un tempo infinito, e ha la caratteristica che può essere percorsa in senso

inverso, cioè è invertibile. Questa astrazione consente di individuare il valore delle variabili termodinamiche

in gioco in qualsiasi stato intermedio, per mezzo della cosiddetta del tipo:

equazione della trasformazione

φ = . Diamo uno sguardo alle equazioni delle più notevoli trasformazioni:

( p , v , T ) 0

• dv = 0. Rappresenta analiticamente una trasformazione a volume costante, detta isocora.

1 Il numero di fasi è il numero di porzioni omogenee fisicamente distinguibili entro il sistema.

R S – C S 1

II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

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AA

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M M

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M

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N

AA

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CC

AA

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O D N M

E R M

O D I

N

A M I

C A

• dp = 0. Rappresenta analiticamente una trasformazione a pressione costante, detta isobara.

• dT = 0. Rappresenta analiticamente una trasformazione a temperatura costante, detta isoterma.

dp dv

• + = =

⇒ n , dove è un esponente costante. Rappresenta, al variare di

n 0 ( pv cost ) n n,

p v ∞

tutte le possibili trasformazioni tra le quali l’isobara (n=0) e l’isocora (n = ).

politropiche,

Sia dato un sistema termodinamico classico, di volume V, e superficie di

confine Ω. Sia la massa, la pressione al suo interno. Il sistema subisca una

m p

trasformazione infinitesima. Il sistema compie lavoro sulla superficie di

confine Ω se la stessa subisce degli spostamenti, e si sposta in Ω’. Detta dσ

l’estensione del generico elemento di superficie su Ω, e il vettore lo

d s

spostamento infinitesimo dello stesso, e indicando con ds la proiezione di

n

sulla normale a Ω, positiva nel verso uscente, il lavoro dL in assenza di

d s

forze d’attrito è dato da: σ

∫ ∫

= =

dL d F d s pd ds

i n

Ω Ω σ

∫ =

Ma poiché si è posto che abbia lo stesso valore in tutti i punti del sistema, e poiché , si ha:

d ds dV

p n

Ω

= . Un aumento di V è accompagnato da un trasferimento energetico dal sistema all’ambiente. Il

dL pdV

lavoro compiuto dal sistema è positivo quando il dV è positivo. Per uno spostamento finito abbiamo allora:

2

∫

=

L pdV

−

1 2 1

Se in un sistema omogeneo vogliamo esprimere il lavoro ℓ per unità di massa, si scrive:

 

L pdV V

2 2 2

∫ ∫ ∫

= = = =

−

1 2 pd pdv

ℓ  

−

1 2  

m m m

1 1 1

È evidente che in una trasformazione isocora L è nullo, mentre in una trasformazione isobara L=p∆V. Per

una trasformazione isotermica, il lavoro per unità di massa risulta:

dv v

2 v

∫ ∫

= = =

2 2

pdv R ' T R ' T ln

ℓ −

1 2 v v

v

1 1 1

Lungo una trasformazione politropica (con il lavoro per unità di massa ( ) è:

1

n≠1) −

p v p v

2

∫

= = 1 1 2 2

pdv

ℓ − −

1 2 n 1

1

Se gli stati e le trasformazioni vengono rappresentati sul piano (p, detto di Clapeyron, l’integrale del

v),

lavoro equivale all’area compresa tra l’asse del volume specifico e la curva della trasformazione. Nel caso di

una trasformazione ciclica (sempre sul piano di Clapeyron), il lavoro ℓ risulta uguale all’area racchiusa entro

la linea della trasformazione. = = =

⇒

n n n n

1 pv cost pv p v p v

Ricordando che per una politropica , allora possiamo scrivere:

1 1 2 2 2

− + −

 

n n 1

v dv v p v p v

2 2 2

∫ ∫ ∫

= = = = =

n n 1 1 2 2

pdv pdv pv pv

ℓ  

− − + −

1 2 n n  

v v n 1 n 1

1 1 1 1

R S – C S

2 II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

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II

M

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M

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O C I M

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L P

R I M

O P

R I

N C

I P

I

O

C

a p i

t o l

o 2 . L P

R I M

O P

R I

N C

I P

I

O

E n

e r g i

a i

n

t

e r n

a , E n

t

a l p

i

a (

2 . 1 )

E n

e r g i

a i

n

t

e r n

a , E n

t

a l p

i

a (

2 . 1 )

Consideriamo un sistema chiuso non isolato che subisca una trasformazione ciclica. Lungo essa il sistema

scambia calore e lavoro. Il afferma, sulla base di risultati sperimentali, che

primo principio della Termodinamica

Q e L hanno lo stesso segno e stanno in rapporto costante, qualunque sia il ciclo. Tale rapporto, nelle unità di

misura del S.I. (Joule), è pari a 1. Supponiamo che la trasformazione passi dallo stato 1 al 2, e poi dal 2 all’1,

reversibilmente. Allora abbiamo, per calore e lavoro:

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

= = + = = +

;

Q dQ dQ dQ L dL dL dL

− − − −

1 2 2 1 1 2 2 1

∫ ∫

− =

Per il primo principio della Termodinamica deve essere . In altri termini lungo una

dQ dL 0

trasformazione qualunque da A a B l’integrale della forma differenziale lineare dQ – dL ha sempre lo stesso

valore. Allora si tratta di un differenziale esatto ed esisterà una funzione U dello stato del sistema tale che:

∫ ∫

− = = − = ∆

( dQ dL ) dU U U U

B A

− −

A B A B

Tale funzione fu denominata da lord Kelvin ed essendo una grandezza estensiva omogenea a

energia interna,

calore e lavoro, si misura in Joule. Per la stessa definizione, l’energia interna risulta determinata a meno di

una costante additiva (spesso si attribuisce zero all’energia interna di un sistema a 0 °C e 1 atm, cioè al suo

stato Per una trasformazione generica possiamo scrivere:

normale). ∫ ∫ ∫ ∫

= = − + 

→ = − +

⇒ dividendo per la massa ..

L pdV dQ U U pdV dq u u pdv

2 1 2 1

− − − −

1 2 1 2 1 2 1 2

dove le lettere minuscole indicano le relative grandezze specifiche. Allora troviamo le seguenti relazioni:

• = = = − = ∆

⇒ ⇒

(isocora) .

d 0 dq du Q U U U

ℓ −

1 2 2 1

∫ ∫ ∫ ∫

= = = =

• ⇒

(ciclica o ad energia interna costante) du 0 dq d ; dq d ; Q L

ℓ ℓ

− −

1 2 1 2

∫

= = −∆ = −

• ⇒

(adiabatica) dq 0 d u ; L U U

ℓ −

1 2 1 2

−

1 2

Definiamo ora un’altra variabile di stato I, detta I = U + Considerando un sistema omogeneo, e

entalpia: pV.

le grandezze specifiche, il suo differenziale è dato da: di = du + + Dal primo principio, abbiamo :

pdv vdp.

dq = du + = di – Vale allora, per una trasformazione isobarica :

pdv vdp.

• = = = ∆

⇒

(isobara) .

dp 0 dq di ; Q I

−

1 2

Anche l’entalpia è omogenea all’energia, e dunque si ha, dimensionalmente, [ I ] = J.

C

a l

o r e s

p

e c

i

f i c

o , t

e o r i a c

i

n

e t

i c

a d

e i g a s (

2 . 2 )

C

a l

o r e s

p

e c

i

f i c

o , t

e o r i a c

i

n

e t

i c

a d

e i g a s (

2 . 2 )

Definiamo (da non confondere con la grandezza intensiva specifica del calore q = Q/m):

c

calore specifico tr  

dq

= =

c ; dq c dT

 

tr tr tr

 

dT tr

Si evince che il calore specifico dipende dalla trasformazione. La corrispondente grandezza per un sistema

omogeneo di massa m è la C = mc. Diamo allora i seguenti calori specifici particolari:

capacità termica

+ ∂

   

     

dq du pdv du dq i

= = = = = =

; ;

c c c 0

         

∂

p

v adiab .

   

     

dT dT dT dT T

v v v p p

In una trasformazione isoterma il calore specifico perde di significato (tende all’infinito). Osserviamo inoltre

che il calore specifico di una trasformazione qualsiasi può essere negativo.

Illustriamo ora l’esperimento di Joule, che dimostrerà che l’energia interna di un sistema è funzione della

sola temperatura. Abbiamo due recipienti V , V a pareti rigide, collegati da un tubo in cui è inserito un

1 2

rubinetto inizialmente chiuso. Supponiamo che nel recipiente 1 vi sia un gas che si comporti come gas

perfetto, che il 2 sia vuoto, e che tutto il sistema sia contenuto in un (termicamente isolato e

vaso calorimetrico

dotato di termometro). Si apre il rubinetto. Per espansione libera il gas 1 passa a riempire anche il secondo

volume. Raggiunto l’equilibrio, si osserva che la temperatura non è cambiata, e dunque Q = 0. Poiché anche

L = 0 (avendo supposto le pareti rigide), allora ∆U = 0. Poiché sono cambiati volume e pressione del gas, ma

non vi è variazione di energia interna, possiamo affermare che, per un gas ideale, l’energia interna è

R S – C S 3

II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

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AA

R S – C S

M M

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C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

F T I G

II

SS

II

CC

AA EE

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CC

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GG

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LL

EE

F T I G

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I

C A E C N I

C A P

E R N G

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N

E R I

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T I

O N

A L

E

T

EE

RR

M

O D II

N

AA

M II

CC

AA

T M

O D N M

E R M

O D I

N

A M I

C A

funzione della sola temperatura. Ecco perché, quando abbiamo definito il calore specifico a volume