Fisica tecnica - termodinamica

AA EE

CC

NN

II

CC

AA PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

F T I G

I

S

I

C A E C N I

C A P

E R N G

E G

N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

T

EE

RR

M

O D II

N

AA

M II

CC

AA

T M

O D N M

E R M

O D I

N

A M I

C A

I

I

L P

R I M

O P

R I

N C

I P

I

O

C

a p i

t o l

o 2 . L P

R I M

O P

R I

N C

I P

I

O

E n

e r g i

a i

n

t

e r n

a , E n

t

a l p

i

a (

2 . 1 )

E n

e r g i

a i

n

t

e r n

a , E n

t

a l p

i

a (

2 . 1 )

Consideriamo un sistema chiuso non isolato che subisca una trasformazione ciclica. Lungo essa il sistema

scambia calore e lavoro. Il afferma, sulla base di risultati sperimentali, che

primo principio della Termodinamica

Q e L hanno lo stesso segno e stanno in rapporto costante, qualunque sia il ciclo. Tale rapporto, nelle unità di

misura del S.I. (Joule), è pari a 1. Supponiamo che la trasformazione passi dallo stato 1 al 2, e poi dal 2 all’1,

reversibilmente. Allora abbiamo, per calore e lavoro:

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

= = + = = +

;

Q dQ dQ dQ L dL dL dL

− − − −

1 2 2 1 1 2 2 1

∫ ∫

− =

Per il primo principio della Termodinamica deve essere . In altri termini lungo una

dQ dL 0

trasformazione qualunque da A a B l’integrale della forma differenziale lineare dQ – dL ha sempre lo stesso

valore. Allora si tratta di un differenziale esatto ed esisterà una funzione U dello stato del sistema tale che:

∫ ∫

− = = − = ∆

( dQ dL ) dU U U U

B A

− −

A B A B

Tale funzione fu denominata da lord Kelvin ed essendo una grandezza estensiva omogenea a

energia interna,

calore e lavoro, si misura in Joule. Per la stessa definizione, l’energia interna risulta determinata a meno di

una costante additiva (spesso si attribuisce zero all’energia interna di un sistema a 0 °C e 1 atm, cioè al suo

stato Per una trasformazione generica possiamo scrivere:

normale). ∫ ∫ ∫ ∫

= = − + 

→ = − +

⇒ dividendo per la massa ..

L pdV dQ U U pdV dq u u pdv

2 1 2 1

− − − −

1 2 1 2 1 2 1 2

dove le lettere minuscole indicano le relative grandezze specifiche. Allora troviamo le seguenti relazioni:

• = = = − = ∆

⇒ ⇒

(isocora) .

d 0 dq du Q U U U

ℓ −

1 2 2 1

∫ ∫ ∫ ∫

= = = =

• ⇒

(ciclica o ad energia interna costante) du 0 dq d ; dq d ; Q L

ℓ ℓ

− −

1 2 1 2

∫

= = −∆ = −

• ⇒

(adiabatica) dq 0 d u ; L U U

ℓ −

1 2 1 2

−

1 2

Definiamo ora un’altra variabile di stato I, detta I = U + Considerando un sistema omogeneo, e

entalpia: pV.

le grandezze specifiche, il suo differenziale è dato da: di = du + + Dal primo principio, abbiamo :

pdv vdp.

dq = du + = di – Vale allora, per una trasformazione isobarica :

pdv vdp.

• = = = ∆

⇒

(isobara) .

dp 0 dq di ; Q I

−

1 2

Anche l’entalpia è omogenea all’energia, e dunque si ha, dimensionalmente, [ I ] = J.

C

a l

o r e s

p

e c

i

f i c

o , t

e o r i a c

i

n

e t

i c

a d

e i g a s (

2 . 2 )

C

a l

o r e s

p

e c

i

f i c

o , t

e o r i a c

i

n

e t

i c

a d

e i g a s (

2 . 2 )

Definiamo (da non confondere con la grandezza intensiva specifica del calore q = Q/m):

c

calore specifico tr  

dq

= =

c ; dq c dT

 

tr tr tr

 

dT tr

Si evince che il calore specifico dipende dalla trasformazione. La corrispondente grandezza per un sistema

omogeneo di massa m è la C = mc. Diamo allora i seguenti calori specifici particolari:

capacità termica

+ ∂

   

     

dq du pdv du dq i

= = = = = =

; ;

c c c 0

         

∂

p

v adiab .

   

     

dT dT dT dT T

v v v p p

In una trasformazione isoterma il calore specifico perde di significato (tende all’infinito). Osserviamo inoltre

che il calore specifico di una trasformazione qualsiasi può essere negativo.

Illustriamo ora l’esperimento di Joule, che dimostrerà che l’energia interna di un sistema è funzione della

sola temperatura. Abbiamo due recipienti V , V a pareti rigide, collegati da un tubo in cui è inserito un

1 2

rubinetto inizialmente chiuso. Supponiamo che nel recipiente 1 vi sia un gas che si comporti come gas

perfetto, che il 2 sia vuoto, e che tutto il sistema sia contenuto in un (termicamente isolato e

vaso calorimetrico

dotato di termometro). Si apre il rubinetto. Per espansione libera il gas 1 passa a riempire anche il secondo

volume. Raggiunto l’equilibrio, si osserva che la temperatura non è cambiata, e dunque Q = 0. Poiché anche

L = 0 (avendo supposto le pareti rigide), allora ∆U = 0. Poiché sono cambiati volume e pressione del gas, ma

non vi è variazione di energia interna, possiamo affermare che, per un gas ideale, l’energia interna è

R S – C S 3

II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

F T I G

II

SS

II

CC

AA EE

CC

NN

II

CC

AA PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

F T I G

I

S

I

C A E C N I

C A P

E R N G

E G

N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

T

EE

RR

M

O D II

N

AA

M II

CC

AA

T M

O D N M

E R M

O D I

N

A M I

C A

funzione della sola temperatura. Ecco perché, quando abbiamo definito il calore specifico a volume costante

per il termine differenziale di non abbiamo utilizzato la simbologia per la derivata parziale, e risulta

u

= . Nel caso di gas reali questa conclusione non è strettamente corretta, ma tuttavia può

du c dT

v

approssimativamente ritenersi valida. Diamo ora la valida per gas ideali( ):

1

relazione di Mayer,

= +

c c R '

p v

La teoria cinetica dei gas assume un modello teorico, che vede un gas come costituito da molecole libere di

muoversi, con l’unico vincolo delle pareti del contenitore; l’unica azione mutua possibile è la collisione tra le

molecole che può schematizzarsi come urto elastico (modello del gas perfetto). Se la molecola è

monoatomica allora si dice che sono attivi 3 gradi di libertà. Una molecola biatomica invece può

schematizzarsi come un corpo rigido, e dunque può ruotare. La posizione della generica molecola nello

spazio è definita dalle 6 coordinate dei 2 atomi; queste però sono legate dalla condizione esprimente la

distanza tra gli atomi, supposta invariabile, cosicché le coordinate necessarie sono 5. Per tutte le molecole più

λ

=

complesse il numero di gradi di libertà (o è 6. Si ha la seguente relazione: ,

c M ( R / 2)

facoltà energetiche) v

dove è il a volume costante, λ il numero delle facoltà energetiche attive. Allora si trova:

c M calore molare

v 3 5 6

= = =

(monoatomico) ; (biatomico) ; (tre o più atomi)

c R ' c R ' c R '

v v v

2 2 2

γ =

Spesso è un dato utile il rapporto , che vale rispettivamente 5/3, 7/5 e 4/3. Per una trasformazione

c / c

p v γ

−

n

=

politropica, di indice il calore specifico è dato da ( ): . Si trova inoltre che anche l’entalpia è

c c

2

n, −

n v n 1 =

funzione della sola temperatura, e quindi vale, per qualunque trasformazione, . Ricordiamo

di c dT

p

infine le equazioni di Poisson per una adiabatica reversibile: γ

−

1

γ γ γ

− = = =

1

Tv cost ; pv cost ; Tp cost

S

i

s

t

e m a d

i

n a m i

c

o a p

e r t

o (

2 . 3 )

S

i

s

t

e m a d

i

n a m i

c

o a p

e r t

o (

2 . 3 )

Nella maggior parte dei casi i sistemi termodinamici di cui si seguono le trasformazioni sono sistemi aperti.

Il sistema che qui prendiamo in considerazione è dunque limitato da una superficie di confine pervia alla

materia, almeno in una parte della sua estensione; la materia appartenente al sistema è variabile nel tempo,

mentre ciò che rimane permanente è la superficie limite. Supponiamo poi che quest’ultima sia tale da

permettere la trasmissione del calore; inoltre al sistema (costituito da un fluido) è consentito di compiere

sull’ambiente un lavoro tecnico L (per esempio attraverso un albero rotante o ingranaggi) oltre al lavoro di

T

espansione. Supponiamo il nostro volume di controllo costituito dalla porzione del tubo di flusso di un

generico tubo compresa tra le sezioni A e B. Siano e la velocità e la quota del baricentro della

w z i-esima

i i

sezione rispettivamente. Si dimostra la seguente relazione: −

2 2

w w

− = − + + −

B A

q i i g ( z z )

ℓ ,

AB T AB B A B A

2

Che rappresenta l’equazione del primo principio per i sistemi aperti in regime stazionario, detta equazione

− = + +

Tra due sezioni infinitamente vicine la precedente diviene .

dq d di wdw gdz

ℓ

dell’energia. T

+