Fisica tecnica 1

V F

6 ²³

JÃJ I I I

I

¡ ¡

, FµI _ Fµ_£ , FµI _

I I F F 39

Sfera cava:

Considerando una sfera cava con un raggio interno e temperatura della superficie

'

interna e con raggio esterno e temperatura sulla superficie esterna .

j ( j

I F

̇ = ̇

Per un volume di controllo infinitesimo .

V V¡xV

xM xM

(

̇ = − = −4 →

Per Fourier è costante ed indipendente da r, quindi

V xV xV V

F M

V M ̇

£̇ xV £ ' ý

F ýF

I I

= − → ~− € = −[] →

F

∫ ∫

possiamo scrivere: M

F

V M

ù´ V ù´ V ý

I ýI V I

I

äýI àäýF I I

I I H

à M HM

£̇ ' ' ¢

I I ýI ýF I I

I ~ − € = ¶ − · → = = → = ~ €.

I F I F

̇

j j V òx

I F

ù´ V V ù´¢ 6 ù´¢ t

I F !•

Nel caso di parete piana l'aggiunta di isolamento riduce sempre la trasmissione di calore: maggiore è lo spessore

dell'isolante, minore è la potenza termica trasmessa. Infatti, poiché l'area della superficie di scambio termico A è

costante, l'aggiunta di isolante fa aumentare la resistenza termica della parete piana senza influire sulla resistenza

convettiva.

Nel caso di tubo cilindrico o guscio sferico, l'isolamento addizionale fa aumentare la resistenza conduttiva dello strato

isolante ma nel contempo riduce la resistenza convettiva superficiale a causa dell'incremento dell'area della superficie

esterna in corrispondenza della quale avviene lo scambio termico convettivo. La potenza termica trasmessa potrà,

quindi, diminuire, a seconda di quale dei due effetti prevale. ̇

La resistenza totale può avere un minimo in corrispondenza del quale vi è un massimo per . Il raggio per il quale vi è

V

G

x6 ' ' ' '

JÃJ = ∗ − ∗ =

questo massimo si chiama raggio critico di isolamento. Tale punto si trova facendo F

xV V (´¢ V (´+ î

oý oý oý oý

V + H¢ ¢

î

oý oý oý

0 → = 0 → ℎ − = 0 → = .

Uj ´ Uj Uj

F

V (´¢ + +

î î

oý

oý

Conduzione con generatore di potenza

Il caso più comune di conduzione termica con generatore di potenza all’interno di un mezzo materiale è dato dalla

conversione di energia elettrica in energia termica, per effetto Joule, all’interno di un conduttore percorso da corrente

elettrica continua in I.

La generazione di energia per unità di tempo all’interno del conduttore di resistenza elettrica R percorso da corrente I è:

̇ ( <<<

= ∗ []. ̇ =

Se tale generazione è uniforme all’interno del conduttore, la generazione volumetrica è:

Æ ̇ F

E Ì t

¹ = ∗ ~ €

.

È

n n Ç Consideriamo una parete piana spessa 2L e indefinita per lunghezza e profondità.

<<<

̇ è la potenza generata in modo uniforme nell’unità di volume della parete. Le

superfici esterne della parete sono mantenute alle temperature costanti e da dei

j j

I F

fuidi. K è la conduttività termica costante della parete. L’equazione appropriata è

GGG

£̇

(

+ = 0.

quella di Poisson: Per ottenere la distribuzione di temperatura si

¢ F GGG

x M £̇

+ =0→

integra e supponendo che la parete sia monodimensionale ottengo F

x˜ ¢

GGG GGG

£̇ £̇

( (

∫ = −∫ → = − +

K L . Integrando quest’ultima si ottiene

'

¢ ¢

GGG

£̇ (

() = − + + .

' (

(¢ ( = −) = → 1° M HM

j ý ý

I

º 1° − 2 °: − = −2 → = F I

Date le condizioni al contorno: facciamo .

j j ' '

( = ) = → 2° I F (Ê

j

F

GGG GGG GGG

M HM M HM M ¡M

£̇ £̇ £̇

ý ý ý ý ý ý

( ( (

= − + + → = + − = +

I F I F I F .

j ( ( j

I I

(¢ ( (¢ ( (¢ (

GGG GGG GGG

M HM M ¡M M HM M ¡M

£̇ £̇ £̇

ý ý ý ý ýF ýI ýI ýF

( ( ( (

( )

() = − + + + = − + +

I F I F .

(¢ (Ê (¢ ( (¢ (» (

Il flusso termico può essere determinato applicando il postulato di Fourier:

2̇ <<< −

j j

<< ( I <<<

= − = − + = ̇ + ? − A

̇ °− ±

˜ j j

2 2 2 I F 40

GGG

£̇ (

(

= ℎ = ℎ → = = () = −

Se allora

› › ' ( j j j

I F I F (¢

<<

( <<<

)

+ = ̇

̇

e e quindi non c’è flusso termico in

j ˜ lM <<

™ = ̇ = 0,

corrispondenza del piano di mezzeria. Per cui si ha– l˜ ˜t0

ovvero la tangente orizzontale al profilo di temperatura si trova per x=0.

La temperatura massima viene raggiunta in

corrispondenza del piano di mezzeria e vale:

GGG

£̇ (

(

= 0) = + .

Ç2˜ j

(¢

> >

Nel caso il punto di massima T si sposta a sinistra verso . Invece nel caso

j j j j j

I F I F I

.

si sposta a destra verso j

F GGG

£̇ ( (

( )

= = () = − +

Considerando sempre il caso in cui , se sono note le

' ( j j

(¢

temperature indisturbate dei fluidi in contatto con le pareti è necessario mettere in relazione . Tale

› › j ›

I F

relazione può essere tratta scrivendo il bilancio energetico per unità di tempo della parete: l’energia generata nell’unità

di tempo all’interno della parete uguaglia l’energia per unità di tempo trasferita dalla parete al fluido per convezione:

GGG GGG

£̇ ∗Ê £̇

̇ ̇ <<< ( ( <<<

) ( )

= → ̇ ∗ = ℎ( − → = + () = − + + ̇ ∗

e sostituendolo in T(x) si ha

Æ Îçé j › j › ›

+ (¢

Ê .

+

Sistemi a simmetria radiale (cilindro) << <<<

= . ̇ = ̇ ∗ =

Consideriamo lo stato stazionario Il flusso termico dissipato

j

t

)

ℎ( − ~ € per il bilancio per sistemi aperti. La distribuzione di temperatura nel

j › F

Ç

cilindro può essere determinata integrando l’equazione di Poisson in coordinate

GGG GGG

£̇ ' l lM ' l lM £̇

( (

+ = 0 = + = 0.

K L. K L

cilindriche Allora

∗

ßò V lV lV V lV lV ¢

lM

– ™ = 0

Imponendo le condizioni al contorno: che indica la condizione di

lV Vt0 )

( = =

adiabaticità sull’asse del cilindro. Inoltre vi è la condizione costante.

0 j

Separando le variabili ed integrando si ottiene:

<<< <<<

∫ ̇ ̇ (

∫ ƒ … = − → =− +

'

2

GGG GGG

£̇ ò £̇ (

I

∫ = −∫ + → () = − + +

K L ∫ .

' (

(¢ V ù¢

Applichiamo le condizioni al contorno:

GGG

lM £̇ ò

I

1°: ™ =0→− + = 0 = 0 ⇒ → 0 più velocemente di r.

'

lV (¢ V

Vt0

GGG GGG

£̇ £̇

( 0(

)

2°: ( = = ⇒ = − + → = +

0 j j 0 ( ( j

ù¢ ù¢

GGG GGG GGG

£̇ £̇ £̇

0( 0(

( (

( )

() = − + + = − − +

quindi .

j j

ù¢ ù¢ ù¢

La temperatura massima si raggiunge al centro del cilindro: <<<

̇ (

= ( = 0) = +

Ç2˜ j 0

4

GGG

lM £̇

<< <<

̇ = − → ̇ = .

il flusso termico si ricava dal postulato di Fourier lV (

Per mettere in relazione la temperatura superficiale del cilindro con la temperatura indisturbata del fluido a

j ›

contatto con il cilindro, occorre impostare il bilancio di energia: GGG

£̇ V

̇ ̇ 0(

<<< @

)

= → ̇ = ℎ(2 )( − = +

da cui si ha .

Æ Îçé 0 j › j › (+

GGG GGG GGG

£̇ £̇ £̇

(

(

() = − + +

Si ottiene quindi: .

0 0

ù¢ ù¢ (+ 41

Conduzione termica in regime variabile

Il metodo dei parametri concentrati

La tempra di un acciaio rappresenta un problema di conduzione in regime variabile. Al tempo t=0 l’acciaio ad alta

temperatura viene immerso in un bagno d’olio alla temperatura uniforme . Al tempo t>0 inizia il processo di

›

raffreddamento dell’acciaio.

L&rsquo