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Formulario di fisica. A.A. 2002-2003

Parte 1. Cinematica 1D. ∆ distanza percorsa

l

= =

velocità scalare media: u ∆ tempo trascorso

t − ∆ differenza di posizione

s s s

= = =

2 1

velocità vettoriale media: v − ∆ tempo trascorso

t t t

2 1

qui s è la posizione nel senso generale di coordinata curvilinea. In un grafico s-t <v>

è la coefficiente angolare della retta che congiunge i punti (t ,s ) e (t ,s ).

1 1 2 2

s ds

= =

lim

velocità istantanea (vettoriale). v (derivata posiz. risp. tempo)

t dt

∆ → 0

t

l l

d

= = =

lim

velocità istantanea (scalare) u v

t dt

∆ → 0

t

In un grafico s-t v rappresenta il coefficiente angolare della tangente alla curva.

La velocità ha dimensioni lunghezza/tempo: nel sistema S.I. m/s.

∆ = ∆

 s v t = + ∆

 s s v t

  0

 

2

Invertendo si trova: t ( )

∫ ∫

∆ = = +

 

s v t dt s s vdt

0

 1

t − ∆ variazione di velocit à

v v v

= = =

2 1

accelerazione media: a − ∆ tempo trascorso

t t t

2 1

v dv

= =

lim

accelerazione istantanea: a (derivata della vel. risp. tempo)

t dt

∆ → 0

t

2

L’accelerazione si misura in m/s . = +

Moto uniforme (v costante, a=0). s s vt

0 = +

v v at

0

Moto uniformemente vario (unif. accelerato. a=costante). a

= + + 2

 s s v t t

0 0

 2

Nelle formule precedenti si intende che t=0 sia l’istante iniziale e l’indice 0 si riferisce

2 2

v v

∆ = 2 1

a tale istante. Eliminando il tempo si trova anche: s .

2 a

(spazio percorso fra l’istante iniziale in cui la velocità è v e quello finale in cui è v ).

1 2

Moto circolare. Qui si usano solitamente coordinate angolari e, di conseguenza,

velocità angolare e accelerazione angolare:

θ θ θ θ θ

− ∆ ∆

angolo di rotazio ne d

ω ω

= = = = =

2 1 lim

e

− ∆ ∆

tempo trascorso

t t t t dt

∆ → 0

t

2 1

ω ω ω ω ω

− ∆ ∆

variazione di vel.ang olare d

α α

= = = = =

2 1 lim

− ∆ ∆

tempo trascorso

t t t t dt

∆ → 0

t

2 1 2

La velocità angolare si misura in rad/s, l’accelerazione angolare in rad/s .

π

2

ω ω πν

ω = = = 2

Moto circolare uniforme: costante. In tal caso dove T è il

T

1

ν = ν -1

periodo di rotazione e è la frequenza di rotazione. si misura in s =Hz.

T

Parte 2. Vettori (in 2D).

Vettore: grandezza dotata di ampiezza (o modulo), direzione e verso. θ

A

In un piano x-y, un vettore di componenti a , a , forma un angolo con l’asse x.

x y

r

 = = +

2 2

A A a a θ

=

  cos

X Y a a

  X

 

Allora: e

a θ

 = sin

θ

 = a a

tan Y Y

 a X

r r r

= +

Somma di vettori. S A B è un vettore. Gode delle seguenti proprietà:

r r

r r

+ = +

Commutativa: A B B A

( ) ( )

r r r r

r r

+ + = + +

Associativa: A B C A B C

Aspetto geometrico (regola del parallelogramma):

= +

 S A B

 X X X

Componenti cartesiane:  = +

S A B

Y Y Y

(la componente X della somma è la somma delle componenti X, ecc.).

Prodotto di uno scalare per un vettore: C=kA. (è un vettore).

Vettore con la stessa direzione di A, verso identico (se k>0) o invertito (k<0),

=

C kA

 X X

modulo: |C|=|k||A| Componenti cartesiane:  =

C kA

Y Y

.

Opposto di un vettore: il vettore opposto di A è (-1) A, più brevemente –A.

Versore: vettore di modulo uno. Ogni vettore si può scrivere come prodotto del suo

r r

=

modulo per il suo versore: A A

u .

A

Differenza di due vettori. Si riconduce alla somma: A-B =A+(-B).

a

Scomposizione di un vettore lungo due C

rette date (a e b). E’ l’inverso della a

a

somma: dato il vettore e le due rette, y

b

passanti per l’origine del vettore, si usa la a x

regola del parallelogramma. r r

r r r

= + = +

Caso particolare: scomposizione lungo gli assi cartesiani: a a a a i a j

x y x y

r r

Prodotto scalare fra due vettori. A B

r r θ

⋅ = cos

Il risultato è uno scalare: A B AB .

θ=90°, θ<90° θ>90°.

Il prodotto è nullo se >0 se e <0 se

r r

r r

⋅ = ⋅

Proprietà commutativa: A B B A

( )

r r r r r

r r

⋅ + = ⋅ + ⋅

Proprietà distributiva: A B C A B A C

r r

×

Prodotto vettore fra due vettori. A B θ

sin

Il prodotto è un vettore, di modulo pari a , direzione perpendicolare ad A e B,

AB

verso dato dalla regola della mano destra. Il prodotto vettore è nullo se A e B sono

paralleli (θ=0° o 180°). r r

r r

× = − ×

anticommutativa: A B B A

Proprietà ( )

r r r r r

r r

× + = × + ×

A B C A B A C

Proprietà distributiva:

Parte 3. Cinematica 2D (e 3D).

Il moto si può descrivere usando le coordinate spaziali x,y,z: è come avere 3 moti 1D

x(t), y(t), z(t). Si può descrivere nel formalismo vettoriale.

r

r

posizione: indicata dal vettore posizione

r r r

− ∆

r r r r

= =

2 1

v

velocità media: − ∆

t t t

2 1 r r

r r

r d r τ

= = = τ

lim

v v

velocità istantanea: v è il modulo e il versore tangente.

t dt

∆ → 0

t r r r

− ∆

r v v v

= =

2 1

accelerazione media: a − ∆

t t t

2 1 r r

r v d v

= =

lim

accelerazione istantanea: a ∆

t dt

∆ →

0

t

Moto circolare uniforme (visto come moto 2D) su una circonferenza di raggio R:

2 2

r r

v v

ω

= = =

2

a R in modulo e a n con n versore centripeto (normale).

R R

r r r

dv τ τ

= =

Moto rettilineo: a a

dt 2

r r r r r

dv v

τ

= + = +

Moto generico: a n a a Qui R è il “raggio di curvatura”.

T C

dt R

Moto dei proiettili. Si descrive mediante le coordinate x(t), y(t).

( ) = +

 x t x v t

0 0 X

 moto uniforme lungo x, unif. vario (a=-g) lungo y.

g

( ) = + − 2

 y t y v t t

0 0

 Y 2 v g

= − 2

0 Y

y x x

2

2

v v

0 0

X X

Eliminando il tempo si ottiene (parabola)

g

θ

= − 2

tan

y x x

θ

2 2

2 cos

v 0

θ

essendo l’angolo della velocità iniziale rispetto all’orizzontale (alzo). In particolare,

in un lancio su un piano orizzontale,

2

2 v v v θ

= =

0 0 0 sin 2

X Y

x gittata.

G g g ( )

θ 2

2 sin

v v

= = =

0 0

Y

h y altezza massima della traiettoria.

MAX MAX 2 2

g g

Parte 4. Dinamica del “punto”.

1° Principio: In assenza di cause esterne (forze) un corpo persevera nel suo stato di

quiete o di moto rettilineo uniforme.

r r

=

2° Principio: F m

a -2

§ La massa si misura in kg, la forza in Newton: N = kg m s . L’unità di massa

(kg), con le unità di lunghezza (m) e di tempo (s) è una delle unità fondamentali

del S.I.

§ Legge vettoriale (sono 3 equazioni, lungo gli assi x, y e z).

§ F è la forza totale agente sul corpo (somma vettoriale delle forze: risultante)

r

r d q

=

§ q=mv

Altra formulazione: F essendo la quantità di moto.

dt

r r

= −

3° Principio: F F

A B F F -F

Se il corpo A subisce una forza dovuta al corpo B, su B agisce una forza =

A B A

dovuta la corpo A (“principio di azione e reazione”).

Abbiamo visto le seguenti forze.

1. Reazione normale di un piano d’appoggio (N)

2. Tensione di un filo (T). Uguale in modulo lungo tutto il filo se questo è ideale.

3. Attrito statico: A f N (f : coeff. di attrito statico, N reazione normale).

S

S S

=

4. Attrito dinamico: (f : coeff. di attrito dinamico, tipicamente < f )

A f N D S

D D

5. Forza elastica (di richiamo) di una molla: F=kx (x: spostamento dalla pos. di

riposo)

a) Forza peso: P=mg caso particolare della seguente:

m m

= 1 2

b) Forza gravitazionale: F G (fra le masse m e m a distanza r,

1 2

2

r

. -11 2 2

G=6.67 10 Nm /kg ). Attrattiva.

1-5 sono forze di contatto. a-b sono forze a distanza.

Attenzione: le forze 1,2,3 sono reazioni vincolari: non sono mai date a priori, vanno

determinate caso per caso.

La forza centripeta non è una forza di natura particolare. Di volta in volta è costituita

da una (o più delle forze precedenti).

Parte 5. Moti relativi.

Se O e O’ sono due osservatori (con gli associati sistemi di riferimento) e O’ si muove

rispetto ad O, le velocità e accelerazioni osservate da O e O’ sono diverse.

Supponiamo che O sia un osservatore inerziale. r r r r r r

= + = −

 

' '

v v v v v v

 

' '

O O

 

Caso di moto traslatorio di O’ rispetto ad O. ovvero

r r r r r r

 

= + = −

' '

a a a a a a

' '

O O

Il prodotto -ma rappresenta una forza fittizia: forza sperimentata dall’osservatore O’

O’

dovuta però solo al suo moto e non ad una interazione fisica.

Caso di moto rotatorio uniforme (e corpo fermo nel sistema O’ rotante).

2

v

ω

= =

2

La forza fittizia è la forza centrifuga: F m R m opposta alla (vera) forza

R

centripeta.

Parte 6. Sistemi di punti materiali. +

m x m x

= 1 1 2 2

Centro di massa di 2 punti sull’asse x. x .

+

CM m m

1 2

l,

Se i due punti si trovano a distanza il cdm si trova fra i punti a distanza

m m

= =

2 1

l l

d da m e d da m .

1 2

1 2

+ +

m m m m

1 2 1 2

Nello spazio 3D, se m e m hanno coordinate (x ,y ,z ) e (x ,y ,z ) il cdm è in:

1 2 1 1 1 2 2 2

+ + +

m x m x m y m y m z m z

= = =

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

x y z

+ + +

CM CM CM

m m m m m m

1 2 1 2 1 2

La definizione generale, vettoriale, per N punti, è:

r

N

r r r m r

+ + ... k k 1

r r

N

m r m r m r ∑

= = =

=

1 1 2 2 1

N N k

r m r

+ + +

CM k k

... N

m m m m = 1

1 2 k

N TOT

m k

= 1

k

Proprietà del centro di massa:

• Se il sistema (corpo) ha un asse di simmetria (o un piano di simmetria, o un centro

di simmetria o più d’uno) il cdm giace su questo. Questa proprietà consente di

trovare il cdm di corpi geometrici semplici.

• Se un sistema è composto di 2 o più sottosistemi, si può ridurre il calcolo del cdm

a quello di 2 o più punti materiali, ognuno dei quali ha la massa di un sottosistema

e si trova nella posizione del cdm del sottosistema.

r

r =

Teorema del moto del centro di massa. m a F

TOT CM EST

dove m è la massa totale del sistema e F è la risultante delle forze esterne.

TOT EST

r

r d q

= TOT

Teorema della quantità di moto: F

EST dt r r

=

dove q è la quantità di moto totale del sistema: q q

TOT TOT k

= 1

,

k N

r r

= ⇒ =

 0 cost .

a v

 CM CM

Caso di sistema isolato (F =0) r

EST  = cost.

q TOT

moto uniforme del cdm, conservazione della quantità di moto. Applicazione:

urto totalmente anelastico (cioè le due masse procedono unite dopo l’urto). (m con

1

m

′ = 1

v v

vel. iniziale v , m inizialmente ferma). Se il sistema è isolato:

1 2 1

+

m m

1 2

Momento di una forza. Data una forza F applicata nel punto P, si definisce

momento di F rispetto al punto (o al polo) O la quantità:

r r r

r θ

= × = × = = =

sin

M OP F r F in modulo: M rF Fb rF

M ha direzione ortogonale al piano individuato da r e F ed il verso definito dalla

regola della mano destra. b è il braccio della forza, F la componente di F

ortogonale ad OP.

Momento angolare (momento della quantità di moto, rispetto al polo O):

r r r r

= × = ×

L OP m

v r q direzione e verso come per il momento della forza.

r

r d L

=

Teorema del momento angolare per un punto materiale: M dt r

r d L

= TOT

Teorema del momento angolare per un sistema di punti materiali: M EST dt

M è il momento totale (somma vettoriale) delle forze esterme, L la quantità di

EST TOT

M L

moto totale. In un sistema isolato =0, quindi è costante.

EST TOT

Parte 7. Corpo rigido.

Corpo rigido con asse di rotazione fisso. Considerando le componenti lungo l’asse:

ω

= (momento angolare di un CR con asse fisso).

L I ∑

= 2

I è il momento d’inerzia: I m r dove r è la distanza di m dall’asse.

k k

K K

K . 2

Il momento d’inerzia si misura in kg m . E’ una proprietà del corpo rigido.

α

=

Equazione di rotazione di un CR con asse fisso: M I

Equazioni del moto generali di un corpo rigido:

r

r r

r d L

= = TOT

m a F M

TOT CM EST EST dt

Sistemi di forze equivalenti. Dalle equazioni precedenti si ricave che sistemi di forze

con la stessa risultante e lo stesso momento risultante sono equivalenti per un corpo

rigido. Operazioni che trasformano un sistema di forze in uno equivalente:

• traslazione di una forza lungo la sua retta d’azione

• somma di due forze aventi lo stesso punto di applicazione

• aggiunta di due forze opposte con la stessa retta d’azione

Forza peso di un corpo rigido. Si può immaginare applicata nel centro di massa.

Equilibrio di un corpo rigido.

r r

= =

0 0

Si ha equilibrio solo se: F e M .

EST EST

In altre parole, in presenza di più forze esterne F , F , ..., si ha equilibrio se

1 2

r r r r

+ + = + + =

.... 0 .... 0

e .

F F M M

1 2 1 2

Esempio: caso di 2 forze, F , F , di bracci b e b : bisogna che i due momenti abbiano

1 2 1 2

segno opposto e che F b =F b (in modulo). Nel caso di una bilancia di bracci b e b ,

1 1 2 2 1 2

che reggono masse m e m rispettivamente ciò implica m b =m b (condiz. di

1 2 1 1 2 2

equilibrio della bilancia).

N.B.: in presenza di vincoli conviene calcolare i momenti rispetto ad un punto del

vincolo.


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AUTORE

Sara F

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE APPUNTO

Formulario di Fisica statistica ed informatica. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: Cinematica 1D, velocità scalare media, velocità vettoriale media, velocità istantanea, accelerazione media, accelerazione istantanea, Moto uniforme, ecc.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in medicina e chirurgia (ordinamento U.E. - 6 anni)
SSD:
Università: Messina - Unime
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Sara F di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fisica statistica e informatica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Messina - Unime o del prof Vermiglio Giuseppe.

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