Fisica statistica ed informatica – Formulario

Caso di moto traslatorio di O' rispetto ad O

O O Caso di moto traslatorio di O’ rispetto ad O. ovveror r r r r r = + = −' 'a a a a a a' 'O OIl prodotto -ma rappresenta una forza fittizia: forza sperimentata dall’osservatore O’O’dovuta però solo al suo moto e non ad una interazione fisica.

Caso di moto rotatorio uniforme (e corpo fermo nel sistema O’ rotante)

2vω= =2La forza fittizia è la forza centrifuga: F m R m opposta alla (vera) forzaRcentripeta.

Parte 6. Sistemi di punti materiali. +m x m x= 1 1 2 2Centro di massa di 2 punti sull’asse x. x .+CM m m1 2l,Se i due punti si trovano a distanza il cdm si trova fra i punti a distanzam m= =2 1l ld da m e d da m .1 21 2+ +m m m m1 2 1 2Nello spazio 3D, se m e m hanno coordinate (x ,y ,z ) e (x ,y ,z ) il cdm è in:1 2 1 1 1 2 2 2+ + +m x m x m y m y m z m z= = =1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2x y z+ + +CM CM CMm m m m m m1 2 1 2 1 2La definizione generale, vettoriale, per N punti,

è:rN∑r r r m r+ + ... k k 1r rNm r m r m r ∑= = ==1 1 2 2 1N N kr m r+ + +CM k k... N∑m m m m = 11 2 kN TOTm k= 1k

Proprietà del centro di massa:

• Se il sistema (corpo) ha un asse di simmetria (o un piano di simmetria, o un centro di simmetria o più d’uno) il cdm giace su questo. Questa proprietà consente di trovare il cdm di corpi geometrici semplici.
• Se un sistema è composto di 2 o più sottosistemi, si può ridurre il calcolo del cdm a quello di 2 o più punti materiali, ognuno dei quali ha la massa di un sottosistema e si trova nella posizione del cdm del sottosistema.

rr =Teorema del moto del centro di massa. m a FTOT CM ESTdove m è la massa totale del sistema e F è la risultante delle forze esterne.

TOT ESTrr d q= TOTTeorema della quantità di moto: FEST dt r r∑=dove q è la quantità di moto totale del sistema: q qTOT TOT k= 1,k Nr r= ⇒ = 0 cost .a v CM

CM_{Caso di sistema isolato (F =0) rEST} = cost.q TOTmoto uniforme del cdm, conservazione della quantità di moto. Applicazione: urto totalmente anelastico (cioè le due masse procedono unite dopo l'urto). (m con1m′ = 1v vvel. iniziale v , m inizialmente ferma). Se il sistema è isolato:1 2 1+m m1 2Momento di una forza. Data una forza F applicata nel punto P, si definisce momento di F rispetto al punto (o al polo) O la quantità:r r rr θ= × = × = = =sinM OP F r F in modulo: M rF Fb rF⊥M ha direzione ortogonale al piano individuato da r e F ed il verso definito dallaregola della mano destra. b è il braccio della forza, F la componente di F⊥ ortogonale ad OP.Momento angolare (momento della quantità di moto, rispetto al polo O):r r r r= × = ×L OP mv r q direzione e verso come per il momento della forza.rr d L=Teorema del momento angolare per un punto materiale: M dt rr d L= TOTTeorema del

Momento angolare per un sistema di punti materiali: M = dtM è il momento totale (somma vettoriale) delle forze esterne, L è la quantità di moto totale. In un sistema isolato, L = 0, quindi è costante.

Parte 7. Corpo rigido.

Corpo rigido con asse di rotazione fisso. Considerando le componenti lungo l'asse: ω = (momento angolare di un CR con asse fisso). L = I ∑ ω = 2I è il momento d'inerzia: I = m r dove r è la distanza di m dall'asse.

Il momento d'inerzia si misura in kg m^2. È una proprietà del corpo rigido.

Equazione di rotazione di un CR con asse fisso: M = I α

Equazioni del moto generali di un corpo rigido: r = dtL = TOTm a = F MTOT CM EST EST dt

Sistemi di forze equivalenti. Dalle equazioni precedenti si ricava che sistemi di forze con la stessa risultante e lo stesso momento risultante sono equivalenti per un corpo rigido. Operazioni che trasformano un sistema di forze in uno

equivalente:

• traslazione di una forza lungo la sua retta d'azione
• somma di due forze aventi lo stesso punto di applicazione
• aggiunta di due forze opposte con la stessa retta d'azione

Forza peso di un corpo rigido. Si può immaginare applicata nel centro di massa.

Equilibrio di un corpo rigido.

Si ha equilibrio solo se: F_r = 0 e M_r = 0

In altre parole, in presenza di più forze esterne F₁, F₂, ..., si ha equilibrio se

F₁ + F₂ + ... = 0

e

M₁ + M₂ + ... = 0

Esempio: caso di 2 forze, F₁, F₂, di bracci b₁ e b₂: bisogna che i due momenti abbiano segno opposto e che F₁ * b₁ = F₂ * b₂ (in modulo). Nel caso di una bilancia di bracci b₁ e b₂, che reggono masse m₁ e m₂ rispettivamente ciò implica m₁ * b₁ = m₂ * b₂ (condiz. di equilibrio della bilancia).

N.B.: in presenza di vincoli conviene calcolare i momenti rispetto ad un punto del vincolo.

Parte 8. Lavoro-Energia.

Definizione. Lavoro di una forza costante il cui punto di

applicazione si sposta da A/ r r 2r [ ] mθ = = = == ⋅ = ⋅ = cosa B. F AB F s Fs dove s AB L Nm kg J2s θ.(θ è l’angolo fra F e AB). Positivo, negativo o nullo a seconda dell’angolo Laformula rimane invariata anche se il tragitto non coincide con il segmento AB.

rB r∫= ⋅Lavoro di una forza qualsiasi: F d s In generale dipende dal tragitto.

γ,A3 2J m[ ]∆t): = = = =Potenza media (in un tempo P W kg∆ 3/ t s s3 r rd= = ⋅Potenza istantanea: F vdt m [ ]= =2Energia cinetica di un punto materiale, di massa m e velocità v: K v K J2m∑= 2L’energia cinetica totale di un sistema di N punti è: K v k2/ = 1,k N= ∆ = −Teorema dell’energia cinetica: K K Kf ivale per qualsiasi sistema meccanico, purché si consideri il lavoro totale e l’energiacinetica totale.Dipendenza del lavoro dal tragitto. Forza peso, forza di gravitazione universale,forza elastica, hanno la proprietà che

Il lavoro dipende solo dal punto iniziale e dal punto finale, non dal tragitto. Si dice che sono forze conservative.

Attrito dinamico e attrito viscoso: il lavoro dipende dal tragitto: forze non conservative.

Energia potenziale. Se una forza è conservativa, si definisce l'energia potenziale W: ΔW = -ΔW. Definita a meno di una costante.

Esempi di energia potenziale.

Forza peso: W = mgh (h: altezza rispetto al livello di riferimento)

Gravitazione universale: W = Gm1m2/r

Forze elastiche: W = 1/2kx^2 (x: allungamento/compressione della molla)

Conservazione dell'energia meccanica.

Energia meccanica di un sistema: E = K + W

In presenza di sole forze conservative E = Ei, cioè E = costante.

In presenza anche di forze non conservative: E = Ki + Wi + WNCf

Parte 9. Fluidi in equilibrio (Idrostatica)

Pressione: p = F/A (componente normale della forza / superficie). [p] = Pa

fluidi in equilibrio, da modificare se visono altre forze agenti sul fluido oltre al peso: ad es. forza centrifuga). E’ la risultante delle forze di pressione.

Parte 10. Fluido ideale in movimento.

Definizioni da ricordare: linea di flusso, tubo di flusso, flusso laminare, flusso turbolento o vorticoso.

3[ ]dV mθ= = = =cos

Flusso volumico o portata: Q S v Sv Q . Volume di fluido Ndt sche attraversa una superficie S nell’unità di tempo (S : componente della superficie N ortogonale alle linee di flusso).

3[ ]dm mρ ρ= = = =Flusso di massa o portata in massa: Q S v Q QM Ndt s

Equazione di continuità: in regime stazionario, in un tubo di flusso, la portata in massa è costante: Se la densità è costante:

S v S v S v S v1 1 1 2 2 2 1 1 2 2

Teorema di Bernoulli. Valido per un fluido ideale (non viscoso), incomprimibile, in regime stazionario.

ρ ρρ ρ+ + = + +2 2p gy v p gy v1 1 1 2 2 22 2 ρρ+ + =2 cost

“1” e “2” sono punti arbitrari. In altre parole: p gy v2Applicazioni: tubo di Venturi, Teorema di Torricelli, sifone.

Parte 11. Fluido reale in movimento. Viscosità.dvη=Definizione: F S è la forza necessaria per trascinare una superficie S se ladyvelocità del fluido intorno ad S varia di dv su uno spazio dy.

[ ] kgηη = = Pa sviscosità o coeff