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Parte 4. Dinamica del “punto”.

1° Principio: In assenza di cause esterne (forze) un corpo persevera nel suo stato di

quiete o di moto rettilineo uniforme.

r r

=

2° Principio: F m

a -2

§ La massa si misura in kg, la forza in Newton: N = kg m s . L’unità di massa

(kg), con le unità di lunghezza (m) e di tempo (s) è una delle unità fondamentali

del S.I.

§ Legge vettoriale (sono 3 equazioni, lungo gli assi x, y e z).

§ F è la forza totale agente sul corpo (somma vettoriale delle forze: risultante)

r

r d q

=

§ q=mv

Altra formulazione: F essendo la quantità di moto.

dt

r r

= −

3° Principio: F F

A B F F -F

Se il corpo A subisce una forza dovuta al corpo B, su B agisce una forza =

A B A

dovuta la corpo A (“principio di azione e reazione”).

Abbiamo visto le seguenti forze.

1. Reazione normale di un piano d’appoggio (N)

2. Tensione di un filo (T). Uguale in modulo lungo tutto il filo se questo è ideale.

3. Attrito statico: A f N (f : coeff. di attrito statico, N reazione normale).

S

S S

=

4. Attrito dinamico: (f : coeff. di attrito dinamico, tipicamente < f )

A f N D S

D D

5. Forza elastica (di richiamo) di una molla: F=kx (x: spostamento dalla pos. di

riposo)

a) Forza peso: P=mg caso particolare della seguente:

m m

= 1 2

b) Forza gravitazionale: F G (fra le masse m e m a distanza r,

1 2

2

r

. -11 2 2

G=6.67 10 Nm /kg ). Attrattiva.

1-5 sono forze di contatto. a-b sono forze a distanza.

Attenzione: le forze 1,2,3 sono reazioni vincolari: non sono mai date a priori, vanno

determinate caso per caso.

La forza centripeta non è una forza di natura particolare. Di volta in volta è costituita

da una (o più delle forze precedenti).

Parte 5. Moti relativi.

Se O e O’ sono due osservatori (con gli associati sistemi di riferimento) e O’ si muove

rispetto ad O, le velocità e accelerazioni osservate da O e O’ sono diverse.

Supponiamo che O sia un osservatore inerziale. r r r r r r

= + = −

 

' '

v v v v v v

 

' '

O O

 

Caso di moto traslatorio di O’ rispetto ad O. ovvero

r r r r r r

 

= + = −

' '

a a a a a a

' '

O O

Il prodotto -ma rappresenta una forza fittizia: forza sperimentata dall’osservatore O’

O’

dovuta però solo al suo moto e non ad una interazione fisica.

Caso di moto rotatorio uniforme (e corpo fermo nel sistema O’ rotante).

2

v

ω

= =

2

La forza fittizia è la forza centrifuga: F m R m opposta alla (vera) forza

R

centripeta.

Parte 6. Sistemi di punti materiali. +

m x m x

= 1 1 2 2

Centro di massa di 2 punti sull’asse x. x .

+

CM m m

1 2

l,

Se i due punti si trovano a distanza il cdm si trova fra i punti a distanza

m m

= =

2 1

l l

d da m e d da m .

1 2

1 2

+ +

m m m m

1 2 1 2

Nello spazio 3D, se m e m hanno coordinate (x ,y ,z ) e (x ,y ,z ) il cdm è in:

1 2 1 1 1 2 2 2

+ + +

m x m x m y m y m z m z

= = =

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

x y z

+ + +

CM CM CM

m m m m m m

1 2 1 2 1 2

La definizione generale, vettoriale, per N punti, è:

r

N

r r r m r

+ + ... k k 1

r r

N

m r m r m r ∑

= = =

=

1 1 2 2 1

N N k

r m r

+ + +

CM k k

... N

m m m m = 1

1 2 k

N TOT

m k

= 1

k

Proprietà del centro di massa:

• Se il sistema (corpo) ha un asse di simmetria (o un piano di simmetria, o un centro

di simmetria o più d’uno) il cdm giace su questo. Questa proprietà consente di

trovare il cdm di corpi geometrici semplici.

• Se un sistema è composto di 2 o più sottosistemi, si può ridurre il calcolo del cdm

a quello di 2 o più punti materiali, ognuno dei quali ha la massa di un sottosistema

e si trova nella posizione del cdm del sottosistema.

r

r =

Teorema del moto del centro di massa. m a F

TOT CM EST

dove m è la massa totale del sistema e F è la risultante delle forze esterne.

TOT EST

r

r d q

= TOT

Teorema della quantità di moto: F

EST dt r r

=

dove q è la quantità di moto totale del sistema: q q

TOT TOT k

= 1

,

k N

r r

= ⇒ =

 0 cost .

a v

 CM CM

Caso di sistema isolato (F =0) r

EST  = cost.

q TOT

moto uniforme del cdm, conservazione della quantità di moto. Applicazione:

urto totalmente anelastico (cioè le due masse procedono unite dopo l’urto). (m con

1

m

′ = 1

v v

vel. iniziale v , m inizialmente ferma). Se il sistema è isolato:

1 2 1

+

m m

1 2

Momento di una forza. Data una forza F applicata nel punto P, si definisce

momento di F rispetto al punto (o al polo) O la quantità:

r r r

r θ

= × = × = = =

sin

M OP F r F in modulo: M rF Fb rF

M ha direzione ortogonale al piano individuato da r e F ed il verso definito dalla

regola della mano destra. b è il braccio della forza, F la componente di F

ortogonale ad OP.

Momento angolare (momento della quantità di moto, rispetto al polo O):

r r r r

= × = ×

L OP m

v r q direzione e verso come per il momento della forza.

r

r d L

=

Teorema del momento angolare per un punto materiale: M dt r

r d L

= TOT

Teorema del momento angolare per un sistema di punti materiali: M EST dt

M è il momento totale (somma vettoriale) delle forze esterme, L la quantità di

EST TOT

M L

moto totale. In un sistema isolato =0, quindi è costante.

EST TOT

Parte 7. Corpo rigido.

Corpo rigido con asse di rotazione fisso. Considerando le componenti lungo l’asse:

ω

= (momento angolare di un CR con asse fisso).

L I ∑

= 2

I è il momento d’inerzia: I m r dove r è la distanza di m dall’asse.

k k

K K

K . 2

Il momento d’inerzia si misura in kg m . E’ una proprietà del corpo rigido.

α

=

Equazione di rotazione di un CR con asse fisso: M I

Equazioni del moto generali di un corpo rigido:

r

r r

r d L

= = TOT

m a F M

TOT CM EST EST dt

Sistemi di forze equivalenti. Dalle equazioni precedenti si ricave che sistemi di forze

con la stessa risultante e lo stesso momento risultante sono equivalenti per un corpo

rigido. Operazioni che trasformano un sistema di forze in uno equivalente:

• traslazione di una forza lungo la sua retta d’azione

• somma di due forze aventi lo stesso punto di applicazione

• aggiunta di due forze opposte con la stessa retta d’azione

Forza peso di un corpo rigido. Si può immaginare applicata nel centro di massa.

Equilibrio di un corpo rigido.

r r

= =

0 0

Si ha equilibrio solo se: F e M .

EST EST

In altre parole, in presenza di più forze esterne F , F , ..., si ha equilibrio se

1 2

r r r r

+ + = + + =

.... 0 .... 0

e .

F F M M

1 2 1 2

Esempio: caso di 2 forze, F , F , di bracci b e b : bisogna che i due momenti abbiano

1 2 1 2

segno opposto e che F b =F b (in modulo). Nel caso di una bilancia di bracci b e b ,

1 1 2 2 1 2

che reggono masse m e m rispettivamente ciò implica m b =m b (condiz. di

1 2 1 1 2 2

equilibrio della bilancia).

N.B.: in presenza di vincoli conviene calcolare i momenti rispetto ad un punto del

vincolo.

Parte 8. Lavoro-Energia. F

Definizione. Lavoro di una forza costante il cui punto di applicazione si sposta da A

/ r r 2

r [ ] m

θ = = = =

= ⋅ = ⋅ = cos

a B. F AB F s Fs dove s AB L Nm kg J

2

s θ.

(θ è l’angolo fra F e AB). Positivo, negativo o nullo a seconda dell’angolo La

formula rimane invariata anche se il tragitto non coincide con il segmento AB.

/ r

B r

= ⋅

Lavoro di una forza qualsiasi: F d s In generale dipende dal tragitto.

/

γ

,

A

3 2

J m

[ ]

∆t): = = = =

Potenza media (in un tempo P W kg

∆ 3

/ t s s

3 r r

d

= = ⋅

Potenza istantanea: F v

dt m [ ]

= =

2

Energia cinetica di un punto materiale, di massa m e velocità v: K v K J

2

m

= 2

L’energia cinetica totale di un sistema di N punti è: K v k

2

/ = 1

,

k N

= ∆ = −

Teorema dell’energia cinetica: K K K

f i

vale per qualsiasi sistema meccanico, purché si consideri il lavoro totale e l’energia

cinetica totale.

Dipendenza del lavoro dal tragitto. Forza peso, forza di gravitazione universale,

forza elastica, hanno la proprietà che il lavoro dipende solo dal punto iniziale e dal

punto finale, non dal tragitto. Si dice che sono forze conservative.

Attrito dinamico e attrito viscoso: il lavoro dipende dal tragitto: forze non

conservative. /

Energia potenziale. Se una forza è conservativa, si definisce l’energia potenziale W:

− = − ∆ =

W W W Definita a meno di una costante.

A B AB

Esempi di energia potenziale. =

Forza peso: W mgh (h: altezza rispetto al livello di riferimento)

m m

= − 1 2

Gravitazione universale: W G r

k

= 2

Forze elastica: W x (x: allungamento/compressione della molla)

2

Conservazione dell’energia meccanica.

= +

Energia meccanica di un sistema: E K W /

In presenza di sole forze conservative E =E , cioè E=costante.

f i = ∆ = ∆ + ∆

/

In presenza anche di forze non conservative: E K W

NC

( ) ( )

= − = + − +

E E K W K W

NC f i f f i i

Parte 9. Fluidi in equilibrio (Idrostatica)

F N

[ ]

= = =

N

Pressione: p (componente normale della forza / superficie). p Pa

2

S m

5

Altre unità utilizzabili: 1bar=10 Pa, 1mbar=100Pa

[ ]

m kg

ρ ρ

= =

Densità assoluta: 3

V m

ρ m

ρ = =

Densità relativa: (relativa all’acqua a 4°C).

ρ

R m

0 0

In un fluido in equilibrio le forze agenti su una superficie sono normali ad essa.

La pressione in un fluido in equilibrio è isotropa (stesso valore in tutte le direzioni:

scalare). ρ

= +

Legge di Stevino: p p gh valida per un liquido incomprimibile.

0

p è la pressione sulla superficie libera e h è la profondità (oppure p è la pressione in

0 0

un punto e h è la profondità rispetto a quel punto).

Applicazioni: vasi comunicanti, manometro, barometro.

Legge di Pascal (per liquidi incomprimibili): una variazione di pressione in un punto

del liquido si trasmette uguale in ogni punto dello stesso. Applicazione: torchio

idraulico.

Legge di Archimede: su un corpo immerso in un fluido agisce una forza verso l’alto

pari al peso del fluido spostato (valida per fluidi in equilibrio, da modificare se vi

sono altre forze agenti sul fluido oltre al peso: ad es. forza centrifuga). E’ la risultante

delle forze di pressione.

Parte 10. Fluido ideale in movimento.

Definizioni da ricordare: linea di flusso, tubo di flusso, flusso laminare, flusso

turbolento o vorticoso. 3

[ ]

dV m

θ

= = = =

cos

Flusso volumico o portata: Q S v Sv Q . Volume di fluido

N

dt s

che attraversa una superficie S nell’unità di tempo (S : componente della superficie

N

ortogonale alle linee di flusso). 3

[ ]

dm m

ρ ρ

= = = =

Flusso di massa o portata in massa: Q S v Q Q

M N

dt s

Equazione di continuità: in regime stazionario, in un tubo di flusso, la portata in

ρ ρ

= =

massa è costante: Se la densità è costante:

S v S v S v S v

1 1 1 2 2 2 1 1 2 2

Teorema di Bernoulli. Valido per un fluido ideale (non viscoso), incomprimibile, in

regime stazionario.

ρ ρ

ρ ρ

+ + = + +

2 2

p gy v p gy v

1 1 1 2 2 2

2 2 ρ

ρ

+ + =

2 cost

dove “1” e “2” sono punti arbitrari. In altre parole: p gy v

2

Applicazioni: tubo di Venturi, Teorema di Torricelli, sifone.

Parte 11. Fluido reale in movimento. Viscosità.

dv

η

=

Definizione: F S è la forza necessaria per trascinare una superficie S se la

dy

velocità del fluido intorno ad S varia di dv su uno spazio dy.

[ ] kg

η

η = = Pa s

viscosità o coefficiente di viscosità. ms ∆p

Alla viscosità si deve attribuire la “perdita di carico”: differenza di pressione agli

3

estremi di un tubo attraversato da un flusso Q. =

potenza dissipata

In questi casi si ha una pari a Q∆

p

Legge di Poiseuille (per un fluido viscoso in un tubo cilindrico in regime laminare).

π ∆

p

= 4

Q R

η

8 l ∆p l

dove Q è la portata, la perdita di carico, la lunghezza e R il raggio del tubo.

5 ρ vd

=

Caratterizzazione del tipo di flusso. Mediante il numero di Reynolds: η

ρ

(numero puro). è la densità del fluido, v una velocità, d una dimensione

η

caratteristica, la viscosità del fluido.

Nel caso di flusso in un tubo cilindrico v è la velocità media del fluido e d il

diametro. Si trova che il flusso è laminare se R<1000, vorticoso se R>3000, altrimenti

si dice di transizione. Si assume R =2400 (numero di Reynolds critico).

C 5

Nel caso di una sfera in moto in un fluido v è la velocità della sfera rispetto al fluido

e d il diametro della sfera. In qesto caso =0.2.

C

Forza agente su un corpo in moto in un fluido.

η πη

= = 6

l

Bassa velocità (5<5 =0.2): Per una sfera: (legge di Stokes)

F k v F Rv

C 1 ρ

= 2

Alta velocità (R>>R ): F c Sv dove r è la densità del fluido, S la proiezione del

C 2

corpo su un piano ortogonale alla velocità e c un coefficiente numerico che dipende

dalla geometria (c=0.5 per una sfera).

Similitudine dinamica. Per poter confrontare le forze agenti su un sistema e quelle di

un modello in scala è necessario che abbiano lo stesso numero di Reynolds.

Sedimentazione. La forza viscosa aumenta con la velocità: se soggetto ad una forza

esterna costante il corpo tende a raggiungere una velocità limite. ( )

ρ ρ

− 2

2 gr

= F

Per una particella sferica di raggio r, in moto laminare (5<0.2), v η

L 9

ρ ρ

dove è la densità della particella e quella del fluido. In questa formula un

F

risultato positivo vuol dire v in giù, e viceversa.

L

In presenza di forze centrifughe basta sostituire g con g’ (acc. di gravità apparente nel

2

sistema non inerziale) che casi pratici (ω r>>g) coincide con l’accelerazione

′ ω

≅ 2

centrifuga: g r .

Parte 12. Tensione superficiale, capillarità

Le forze di coesione fra le molecole di un liquido fanno sì che questo tenda a rendere

il fluido esercita una forza

minima la sua superficie libera. In conseguenza di ciò, (di

tensione superficiale) lungo il perimetro della superficie libera, tangente alla stessa e

τ

= τ

l tensione superficiale

diretta verso il fluido. F dove è il coeff. di (o tensione

superficiale) misurato in N/m.


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AUTORE

Sara F

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DESCRIZIONE APPUNTO

Formulario di Fisica statistica ed informatica. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: Cinematica 1D, velocità scalare media, velocità vettoriale media, velocità istantanea, accelerazione media, accelerazione istantanea, Moto uniforme, ecc.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in medicina e chirurgia (ordinamento U.E. - 6 anni)
SSD:
Università: Messina - Unime
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Sara F di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fisica statistica e informatica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Messina - Unime o del prof Vermiglio Giuseppe.

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