Fisica statistica ed informatica – Formulario

Formulario di fisica A.A. 2002-2003

Parte 1. Cinematica 1D

Δ distanza percorsa: l = velocità scalare media: u Δ tempo trascorso t − Δ differenza di posizione s s = 2 1 velocità vettoriale media: v − Δ tempo trascorso t t t 2 1.

Qui s è la posizione nel senso generale di coordinata curvilinea. In un grafico s-t, v è la coefficiente angolare della retta che congiunge i punti (t₁, s₁) e (t₂, s₂).

Δs/ds = lim velocità istantanea (vettoriale). v (derivata posiz. risp. tempo) Δt/dt Δ → 0.

Δl/ld = lim velocità istantanea (scalare) u v Δt/dt Δ → 0.

In un grafico s-t v rappresenta il coefficiente angolare della tangente alla curva. La velocità ha dimensioni lunghezza/tempo: nel sistema S.I. m/s.

Δ = Δs v t = + Δs s v t 0 ↔ 2

Invertendo si trova: t ( )∫ Δ = + ∫ s v t dt s s vdt 0 1.

Δ variazione di velocità: v v v = 2 1 accelerazione media: a − Δ tempo trascorso t t t 2 1.

Δv/dv = lim accelerazione istantanea: a (derivata della vel. risp. tempo) Δt/dt Δ → 0.

L'accelerazione si misura in m/s².

Moto uniforme

(v costante, a=0). s s vt₀ = + v v at₀.

Moto uniformemente vario

(uniformemente accelerato. a=costante). a = s s v t t₀ + 0 2.

Nelle formule precedenti si intende che t=0 sia l'istante iniziale e l'indice 0 si riferisce a tale istante.

Eliminando il tempo si trova anche: s = v₂² − v₁²/2a (spazio percorso fra l'istante iniziale in cui la velocità è v₁ e quello finale in cui è v₂).

Moto circolare

Qui si usano solitamente coordinate angolari e, di conseguenza, velocità angolare e accelerazione angolare:

θ θ θ θ θ − Δ Δ angolo di rotazione dω ω = = = = = 2 1 lim − Δ Δ tempo trascorso t t t t dt Δ → 0 t₂ 1.

ω ω ω ω ω − Δ Δ variazione di vel. angolare dα α = = = = = 2 1 lim − Δ Δ tempo trascorso t t t t dt Δ → 0 t₂ 1.

La velocità angolare si misura in rad/s, l'accelerazione angolare in rad/s².

π²ω ω πνω = = = 2.

Moto circolare uniforme

costante. In tal caso, dove T è il periodo di rotazione e ν è la frequenza di rotazione. ν si misura in s⁻¹ = Hz.

Parte 2. Vettori (in 2D)

Vettore: grandezza dotata di ampiezza (o modulo), direzione e verso.

In un piano x-y, un vettore di componenti a_x, a_y, forma un angolo θ con l'asse x.

r = + a_x² a_y² θ = cos θ a_X a_Y.

Allora: e a θ sin θ = a atan_Y a_X.

r r r = + Somma di vettori. S A B è un vettore. Gode delle seguenti proprietà:

Commutativa: A B B A.

Associativa: A B C A B C

Aspetto geometrico: (regola del parallelogramma): = + S A B.

Componenti cartesiane: S_X = A_X + B_X (la componente X della somma è la somma delle componenti X, ecc.).

Prodotto di uno scalare per un vettore

C = kA. (è un vettore). Vettore con la stessa direzione di A, verso identico (se k>0) o invertito (k<0), modulo: |C|=|k||A| Componenti cartesiane: C_X = kA_X, C_Y = kA_Y.

Opposto di un vettore

Il vettore opposto di A è (-1)A, più brevemente –A.

Versore

Vettore di modulo uno. Ogni vettore si può scrivere come prodotto del suo modulo per il suo versore: A = A_u.

Differenza di due vettori

Si riconduce alla somma: A-B = A + (-B).

Scomposizione di un vettore lungo due rette date (a e b)

È l'inverso della somma: dato il vettore e le due rette, passanti per l'origine del vettore, si usa la regola del parallelogramma.

Caso particolare: scomposizione lungo gli assi cartesiani: a_x, a_y, a_x = a_i, a_y = a_j.

Prodotto scalare fra due vettori

A · B θ = cos Il risultato è uno scalare: A B = AB.

Il prodotto è nullo se θ = 90°, >0 se θ <90°, <0 se θ >90°.

Proprietà commutativa: A · B = B · A.

Proprietà distributiva: A · (B + C) = A · B + A · C.

Prodotto vettore fra due vettori

A × B θsin Il prodotto è un vettore, di modulo pari ad AB, direzione perpendicolare ad A e B, verso dato dalla regola della mano destra. Il prodotto vettore è nullo se A e B sono paralleli (θ = 0° o 180°).

Proprietà anticommutativa: A × B = -B × A.

Proprietà distributiva: A × (B + C) = A × B + A × C.

Parte 3. Cinematica 2D (e 3D)

Il moto si può descrivere usando le coordinate spaziali x, y, z: è come avere 3 moti 1D x(t), y(t), z(t). Si può descrivere nel formalismo vettoriale.

Posizione: indicata dal vettore posizione r.

Velocità media: v = Δr/Δt = r₂ − r₁/t₂ − t₁.

Velocità istantanea: v = lim (Δr/Δt) = dr/dt Δt → 0.

Accelerazione media: a = Δv/Δt = v₂ − v₁/t₂ − t₁.

Accelerazione istantanea: a = lim (Δv/Δt) = dv/dt Δt →0.

Moto circolare uniforme

(visto come moto 2D) su una circonferenza di raggio R: v = ωR, a_c = v²/R in modulo e a_n con n versore centripeto (normale).

Moto rettilineo

a = dv/dt.

Moto generico

a = a_t + a_n. Qui R è il "raggio di curvatura".

Moto dei proiettili

Si descrive mediante le coordinate x(t), y(t).

(x(t)) = x₀ + v_0Xt moto uniforme lungo x, unif. vario (a=-g) lungo y.

(y(t)) = y₀ + v_0Yt - gt²/2.

Eliminando il tempo si ottiene (parabola).

y = x tanθ - (g x²)/(2 v₀² cos²θ).

Essendo θ l'angolo della velocità iniziale rispetto all'orizzontale (alzo). In particolare, in un lancio su un piano orizzontale:

x_gittata = (v_0Xv_0Y) / g.

h_MAX = v_0Y² / (2g).

Parte 4. Dinamica del "punto"

1° Principio

In assenza di cause esterne (forze) un corpo persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme.

2° Principio

F = ma.

La massa si misura in kg, la forza in Newton: N = kg m/s². L'unità di massa (kg), con le unità di lunghezza (m) e di tempo (s) è una delle unità fondamentali del S.I.

Legge vettoriale (sono 3 equazioni, lungo gli assi x, y e z).

F è la forza totale agente sul corpo (somma vettoriale delle forze: risultante).

Altra formulazione: F = d(q)/dt essendo q = mv la quantità di moto.

3° Principio

Se il corpo A subisce una forza dovuta al corpo B, su B agisce una forza -F_A dovuta al corpo A ("principio di azione e reazione").

Forze conosciute

• Reazione normale di un piano d’appoggio (N)
• Tensione di un filo (T). Uguale in modulo lungo tutto il filo se questo è ideale.
• Attrito statico: A ≤ f_SN (f_S: coeff. di attrito statico, N reazione normale).
• Attrito dinamico: A = f_DN (f_D: coeff. di attrito dinamico, tipicamente < f_S).
• Forza elastica (di richiamo) di una molla: F = kx (x: spostamento dalla pos. di riposo).
• Forza peso: P = mg caso particolare della seguente:
• Forza gravitazionale: F = G(m₁m₂)/r² (fra le masse m₁ e m₂ a distanza r). G = 6.67 × 10⁻¹¹ Nm²/kg². Attrattiva.

1-5 sono forze di contatto. 6-7 sono forze a distanza.