Fisica statistica ed informatica – Capacità

Concetto di capacità

Data una sfera conduttrice carica (Q) di raggio R isolata ed in equilibrio elettrostatico, si ha (posto come riferimento V(r) = 0 per r → ∞) che:

Per r > R

V(r) = ¹/_4πϵ₀ * ^Q/_r, E(r) = ¹/_4πϵ₀ * ^Q/_r²

Per r < R

E(r) = 0, V(r) = V(R)

C’è una relazione lineare fra la carica Q posseduta dalla sfera ed il potenziale cui essa si porta:

V = ¹/_4πϵ₀R * Q ⇒ V_sfera = ^Q/_4πϵ₀R ⇒ Q ∝ V_sfera

Si può dimostrare che, detta Q la carica di un qualunque conduttore isolato e V il relativo potenziale, la relazione continua ad essere Q ∝ V ⇒ Q = C · V dove

C = Capacità elettrica del conduttore isolato

Unità di misura: 1 farad = 1F = 1 coulomb/1 volt = C/V

Si dimostra che la capacità dipende solo dalla geometria del conduttore, infatti per una sfera:

C = ^4πϵ₀R = C_sfera

La capacità di un conduttore cambia se esso non è isolato. Per spiegare ciò si deve parlare del fenomeno della induzione elettrostatica.

Induzione elettrostatica

Poniamo un conduttore scarico in un campo elettrico (uniforme). E_est agisce sulle cariche libere q del conduttore ponendole inizialmente in moto. Dopo un certo tempo, il conduttore si porterà in equilibrio elettrostatico. Poiché F = q · E_est, cariche di segno opposto si portano su superfici opposte.

Si generano delle distribuzioni di carica indotte ( q_i = ±q ) con ∑q_i = 0. Queste cariche creano un campo elettrico E_IND che, sovrapponendosi a quello originario, creano una nuova configurazione del campo con E_TOT = E_est + E_IND = 0 all’interno del conduttore.

L’induzione completa:

• Posto Q = ∑q_i (con q_i < 0), Q_± = Q
• ∑q_i > 0, Q_± = Q

Il caso limite si ha quando tutte le linee di campo Q_± terminano sulle cariche Q_i.