Fisica - Seconda parte

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W WE sommando tutti i contributi. Dal momento che il numero di termini è infinito, la somma diventa:

∫ ∫ ∫ⅆ ⅆ ⅆ= = =qw W F s E s1 1 0C C C1 1 1Dove ds è un vettore elementare tangente alla curva e l'ultimo integrale è l'INTEGRALE DILINEA del campo E lungo C.

Questo integrale tra il lavoro compiuto dalla forza F nello spostamento della carica da A a B lungo il percorso C e il valore della carica definisce la TENSIONE ELETTRICA TRA I DUE PUNTI A E B RELATIVA AL PERCORSO C.

∫ ⅆ=T E s1 C 1Se si considera un altro percorso il lavoro è diverso e quindi cambia il valore della tensione elettrica, pur avendo gli stessi punti.

Per un percorso chiuso C, lungo A e B il lavoro risulta:

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ= + = − =W −WW F ds= F s F s F s F s 1 2C C C C C1 2 1 2L'integrale si chiama CIRCUITAZIONE; in generale il lavoro per un percorso chiuso è diverso da zero: ∫ ∫ ⅆ= =qW

F ds=q E s C0 0C C∫ ⅆC= E s si definisce FORZA ELETTROMOTRICE relativa al percorso chiuso. Le forze conservative sono quelle per cui il lavoro compiuto nello spostamento di un punto da A a B è funzione soltanto della posizione di partenza e di quella di arrivo e non del cammino eseguito: ( ) ( ) ( )=… =…W C W C W C1 i n Ne deriva che il lavoro lungo un qualsiasi percorso chiuso è nullo, ovvero che la circuitazione di una forza conservativa è nulla. Non dipendendo dal percorso effettivamente seguito dall'integrale, può sempre essere come differenza dei valori di una funzione delle coordinate, chiamata POTENZIALE ELETTROSTATICO: B∫ ⅆ−V =−V E sB A A In realtà è la differenza di potenziale elettrostatico tra il punto B e il punto A ad essere definita: ( )=−q −v =−qW v ΔVAB 0 B A 0 q IL LAVORO SVOLTO DALLA FORZA ELETTROSTATICA PER PORTARE DA A A B E' 0q DATO DALL'OPPOSTO DELPRODOTTO DI PER LA DIFFERENZA DI POTENZIALE (ΔV) TRA IL PUNTO DI ARRIVO E IL PUNTO DI PARTENZA. Ricordiamo che ad ogni forza conservativa è associata una determinata energia potenziale e che il lavoro della forza conservativa è pari all'opposto della variazione della corrispondente energia potenziale. Nel caso elettrostatico abbiamo: ΔU = -ΔV e e e=qΔU = qΔV e dal confronto con e 0U La prende il nome di ENERGIA POTENZIALE ELETTROSTATICA, risulta proporzionale al potenziale elettrostatico e anch'essa definita a meno di una costante additiva. Il campo elettrostatico E, essendo la differenza di potenziale nulla in quanto A coincide con B, ∆ =0 =qC=∫ E s W C=0 IN UN CAMPO ELETTROSTATICO LA FORZA ELETTROMOTRICE È UGUALE A ZERO, OVVERO È NULLO IL LAVORO COMPIUTO DALLA FORZA ELETTROSTATICA PER QUALSIASI PERCORSO CICLICO. Si definisce potenziale elettrostatico nel punto P l'energia

potenziale relativa alla carica q quando si trova in P diviso per la carica stessa, il potenziale elettrostatico è l'energia potenziale che spetterebbe alla carica unitaria posta nel punto considerato.

Il potenziale elettrostatico generato dalla carica q nel punto P a distanza r, pari al lavoro compiuto dalla forza elettrostatica per trasportare una carica unitaria da P all'infinito.

q q1 1( )=E rp 4 π ε r0 18q1 1( )=V r 4 π ε r0

L'energia potenziale elettrostatica del sistema di due cariche rappresenta il lavoro di una forza esterna per portare le due cariche dall'infinito alla distanza r, il lavoro è positivo se fatto contro la forza repulsiva tra le cariche, negativo se le cariche sono di segno opposto.

SUPERFICI EQUIPOTENZIALI

Il lungo dei punti aventi lo stesso potenziale, per una carica puntiforme:

q1

1=V 4 π ε r₀ Le superficie equipotenziali sono delle superfici sferiche con centro nella carica: Il campo elettrico è perpendicolare alla superficie equipotenziale, consideriamo un spostamento infinitesimo dr su una superficie equipotenziale: dr è tangente alla superficie. La variazione di potenziale dV sarà sempre uguale a zero per qualunque spostamento dr sulla superficie equipotenziale. ⅆV/ⅆr = -E = 0 V(r) per le proprietà del prodotto scalare. n versore della normale alla superficie equipotenziale, orientata verso i potenziali crescenti. Per uno spostamento elementare dn dell'unità di carica nella direzione di n si ha: ⅆW = V₀ lavoro delle forze del campo elettrico < 0 E diretto in verso opposto ad n ⅆV/ⅆn = -E ⅆW = -E⋅n⋅ⅆV La direzione di E in ogni punto P è definita dalla normale alla superficie equipotenziale passante per il punto. Il verso è quello che punta

Verso i potenziali decrescenti.

FORMULAZIONE DIFFERENZIALE DELL'ELETTROSTATICA: LA DIVERGENZA

La divergenza di un campo rappresenta la densità di volume delle sue sorgenti. Con la legge di Gauss possiamo valutarla:

∫ ∫ⅆ ⅆ=E n S divE τS S( )Q s 1 ⅆ= ∫ ρ τε ε0 0 1∫ ∫ⅆ ⅆ=divE τ ρ τε 0τ τⅆ ivρE− ⅆ(¿ ) =0τε 0∫ ¿τ

Siccome la superficie S è assolutamente arbitraria, l'ultima uguaglianza è possibile solo se l'integrando tra parentesi si annulla. Si ha:

ρdivE= ε 0 19

L'ultima equazione è la legge di Gauss in forma differenziale o legge di Gauss propriamente detta. Questa formulazione è più generale poiché vale per tutti i punti dello spazio. È una legge di natura A Ay Azx∇ + + ∮coordinateA= cartesiane∂x ∂y ∂z

DELL'ELETTROSTATICA: IL ROTORE

Il rotore è un operatore vettoriale che associa a un vettore un altro vettore le cui componenti sono date dalle differenze tra le derivate parziali delle componenti del vettore rispetto ai tre assi, combinate a due a due.

Teorema di Stokes

∫ ∇ · d=E l ∫ x E Sc

Componenti cartesiane

DIPOLO ELETTRICO

Due cariche puntiformi -q e +q distanti a costituiscono un dipolo elettrico, si chiama MOMENTO DEL DIPOLO ELETTRICO il vettore:

P=qa

Con a orientato dalla carica negativa alla carica positiva.

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Il potenziale elettrostatico generato dal dipolo elettrico si calcola sommando i potenziali elettrostatici delle due cariche:

−r( ) rq 1 1 q 2 1( )= − =V p 4 π ε r r 4 π ε r r0 1 2 0 1 2

Se il punto P è lontano dal dipolo, cioè r>>a si può porre:

2−r =a =rr cos θ r r2 1 1 2( )=qV P a

E quindi cosθ 24 π ε r0

Ovvero: ∇·p uρ cos θ r( )= =v P 2 24

→ π ε r 4 π ε r0 0u

Essendo il versore della direzione OP.rL' unica grandezza caratteristica del dipolo è il momento p e non q e a separatamente, ciò indica che da misure di potenziale possiamo ricavare informazioni su p ma non sulla costituzione del sistema.

Ad esempio, due cariche +2q e -2q distanti a/2 hanno momento di dipolo 2qa/a=qa=p e generano un potenziale uguale a⋅upρ cos θ r( )= =v P 2 24 π ε r 4 π ε r0 0

Per il carico del potenziale del campo elettrostatico utilizziamo:

−∂ v 2 p cos θ= =E r ∂r 34 π ε r0ⅇ−1 ∂ v ρs nθ= =E θ r ∂θ 34 π ε r0 u

Il campo elettrostatico sta pertanto nel piano p e , vettorialmente:rp ( )+ = +E=E u E U 2 cos θ u senθ ur r θ θ r θ34 π ε r0

Nei punti dell'asse del dipolo il campo elettrostatico è parallelo e concorde a p e vale:2 pE= 34 π ε

Nel piano mediano cioè nel paino passante per il centro del dipolo o ortogonale a p, il campo elettrostatico è parallelo e discorde a p e vale: -pE = 34πεr₀

LA FORZA SU UN DIPOLO ELETTRICO

Consideriamo un dipolo, di momento p posto in una regione in cui agisce un campo -qE = qEF elettrostatico E, uniforme. La forza F ed il momento meccanico M costituiscono una coppia; quindi, hanno risultante nulla e momento meccanico diverso da zero. Tale momento, calcolato per esempio rispetto al centro del dipolo è:

M = r₁ × F + r₂ × F = -r × F = q × (r₁ - r₂) × E = p × E

Ruotando il dipolo di un angolo θ rispetto all'equilibrio, il momento meccanico Mθ tende a riportarlo nella condizione di equilibrio. Mθ = -pEsinθ

Il lavoro del momento meccanico per ruotare il dipolo dall'angolo θ₀ all'angolo θ è:

∫ Mθ dθ = -PE∫ sinθ dθ = -PEcosθ

cos θ− pE cos θ 0θ θ0 0E può essere espresso come differenza dell’energia potenziale elettrostatica del dipolo:
^{[ ]( )( )= =− −UW ρE cos θ− pE cos θ U θ θ0 e e 0}
Si ha quindi che l’energia potenziale elettrostatica di un dipolo l’espressione:
^{( )=−pEcosθU θe}
CONDUTTORI, DIELETTRICI, ENERGIA ELETTROSTATICA
I materiali conduttori sono caratterizzati dal fatto che nel loro interno sono verificate particolari condizioni per cui è possibile il moto di alcune delle cariche che li costituiscono. Nei metalli per ogni atomo si hanno uno o più elettroni che sono in pratica separati dal resto dell’atomo e liberi di muo