Fisica - Seconda parte

FISICA 1

ELETTROMAGNETISMO

Tra le interazioni fondamentali esistenti in natura la prima ad essere scoperta è stata

l’interazione gravitazionale, responsabile di gran parte dei fenomeni che si osservano

nell’universo.

Il moto dei pianeti attorno al sole come il moto rispetto alla terra, sia di un corpo che un

satellite sono regolati dalla legge di Newton.

Un’altra interazione fondamentale è quella ELETTROMAGNETICA, un aspetto di questa

interazione è la forza elettrica.

Noi chiamiamo queste forze elettriche cariche, che preesistono nei corpi e che passano da un

corpo all’altro durante lo strofinio, per cui i corpi elettrizzati si chiamano anche elettricamente

carichi.

Questi corpi si caricano per strofinio sono detti ISOLANTI in quanto capaci di trattenere la

carica elettrica, mentre i metalli e il corpo umano non trattengono la carica e sono detti

CONDUTTORI.

CONDUTTORI:

Sono caratterizzati da cariche che possono muoversi in tutto il volume occupato dal

 materiale; sono i materiali metallici (elettroni, rame, argento, alluminio, ioni positivi e

negativi).

ISOLANTI:

Le cariche non sono libere di muoversi all’interno del materiale (acqua pura, gas non

 ionizzato, materiali plastici, vetro).

SEMICONDUTTORI:

(silicio o germanio) hanno una limitata conducibilità elettrica, partecipano alla

 conduzione sia gli elettroni che le lacune (i posti lasciati liberi dagli elettroni).

Esistono due diversi tipi di cariche elettriche:

- Due corpi isolanti carichi positivamente o entrambi negativamente si respingono;

- Un corpo isolante carico positivamente e uno carico negativamente si attraggono;

- Nel processo di carica per strofinio i due corpi acquistano sempre una carica di segno

opposto.

I fenomeni descritti si spiegano in modo coerente con l’ipotesi ella preesistenza delle cariche

elettriche, ovvero con l’ipotesi che i costituenti elementari della materia possiedono carica

elettrica.

La materia stabile che ci circonda è formata da tre costituenti il protone, il neutrone e

l’elettrone.

In un atomo ci sono esattamente tanti elettroni quanti protoni, l’atomo quindi è

complessivamente neutro e la carica non dipende dalla velocità.

La carica è quantizzata, ogni particella ha una carica un atomo o particella può avere una

carica che è un multiplo intero di un valore minimo di carica cioè una carica elementare [e =

-19

1.602x10 C].

Qualunque processo consideriamo ritroveremo sempre la conservazione della carica elettrica,

la carica si conserva anche nei processi elementari.

Caricare un oggetto significa o sottrarre o fornirgli un certo numero di elettroni.

ESPERIENZA DI MILLIKAN 1

Abbiamo detto che la carica elettrica è quantizzata, cioè è un multiplo intero di un certo

valore minimo, detto carica elementare, che corrisponde alla carica dell’elettrone e del

protone.

Le misure condotte da Millikan hanno permesso di determinare il valore della carica

elementare.

La verifica della quantizzazione della carica elettrica venne eseguita per la prima volta da

Millikan. Tra i due dischi A e B è possibile stabilire un campo

4

elettrostatico, dell’ordine di 10 N/C, diretto ad esempio dal basso verso l’alto e uniforme nella

zona centrale.

Attraverso un foro F passano in questa zona goccioline d’olio, nebulizzato con uno

spruzzatore, alcune delle quali risultano cariche, in genere positivamente per strofinio.

Si può misurare lo spazio percorso da una goccia in un dato tempo e quindi la sua velocità di

caduta. Il tutto è termostatato per evitare moti convettivi in aria.

In assenza di campo elettrostatica l’equazione di campo elettrostatica l’equazione del moto di

una goccia è

'

ma=m g−6 πηrv

Dove m è la massa della goccia, m’g è la forza peso agente sulla goccia corretta per spinta

idrostatica: 4

' 3

( )

m g= ρ−ρ πr g

a 3 ρ

ρ

Con densità dell’olio e densità dell’aria nelle condizioni sperimentali, r è il raggio

a

η

della goccia, è la viscosità dell’aria. Quando la resistenza dell’aria eguaglia la forza peso

corretta, il moto rettilineo uniforme con velocità:

2

( )

2 ρ−ρ g r

m' g a

= =

v 0 6 πηr 9 η

Dalla misura di Vo si può dedurre il raggio r della goccia.

Quando si applica il campo elettrostatico la legge di moto diviene:

ma=m ' g−qE−6 πηrv

Se la carica è positiva e il campo elettrostatico:

'

m g−qE qE

= =v −

v 1 0

6 πηr 6 πηr

Osservando il moto di una goccia si vedono in tal caso di tanto in tanto variazioni brusche

della velocità V1, attribuibili a variazioni di carica della goccia che nel suo moro ha catturato

qualche ione. Oppure, se la goccia è bilanciata cioè in equilibrio statico m’g=qE essa si mette

all’improvviso in movimento, verso l’alto o il basso.

E

=

Δ v Δq ,

Nel primo caso al variare di ∆q varia ∆v1

1 6 πηr ∆

Nel secondo caso tramite la regolazione del campo elettrostatico ad ogni q corrisponde

una variazione di ∆E per ripristinare l’equilibrio.

2

Millikan trovò che la velocità variava sempre in modo discreto e che ∆q era sempre un numero

intero piccolo multiplo di un valore preciso.

In conclusione, sia le cariche degli ioni che quelle formate per strofinio positive o negative,

sono sempre multiple di una carica elementare.

INDUZIONE ELETTROSTATICA

Supponiamo di avvicinare una bacchetta carica positivamente ad un elettroscopio senza

toccarlo, osserviamo che le foglie divergono. Sotto l’azione della carica positiva, un certo

numero di elettroni liberi del conduttore va sull’estremità superiore della bacchetta e sulla

parte più lontana, resta un eccesso di carica positiva.

Se la bacchetta è carica negativamente, gli elettroni si muovono verso le foglie, su cui

compare un eccesso di carica negativa.

Allontanando la bacchetta si ripristinano le condizioni iniziali, le foglie si richiudono.

Questo processo di separazione della carica, caratteristico dei conduttori è noto come

INDUZIONE ELETTROSTATICA. Il processo è statico, cioè comporta una situazione di equilibrio

con cariche ferme, in quanto l’accumulo di elettroni su una estremità, che avviene molto

rapidamente, impedisce per repulsione elettrica un ulteriore arrivo di elettroni. Si può ottenere

per induzione una carica permanente su un conduttore isolato.

Avvicinando ad un elettroscopio carico un corpo carico si può determinare il segno della

carica:

CARICA DELLO STESSO SEGNO se aumenta la divergenza delle foglie.

CARICA DI SEGNO OPPOSTO se diminuisce la divergenza.

Nell’induzione come nell’elettrizzazione per strofinio non si ha la creazione di carica elettrica,

ma solo separazione di cariche.

La carica di un sistema isolato non varia per il principio di conservazione ma è possibile un

trasferimento di n elettroni da un corpo all’altro per contatto o una separazione di carica per

induzione o per strofinio.

LA LEGGE DI COULOMB

Per misurare la carica elettrica dei copri carichi si stabilisce innanzi tutto di considerare uguali

in grandezza e segno due cariche se queste, poste alla stessa distanza da una terza, agiscono

su di essa con una forza uguale e dello stesso verso; si considerano uguali ma di segno

opposto se hanno il verso opposto. 3

La formulazione precisa della legge della forza elettrica è dovuta a Coulomb, il quale esegui

una serie di misure sistematiche per stabilire la dipendenza tra forza di due cariche dai valori

q1 e q2 e dalla loro distanza r.

Stabilì che due cariche poste a una distanza r interagiscono con una forza F, diretta secondo

la loro congiungente di modulo:

q q

1 2

F=k 2

r

LA FORZA È DIRETTAMENTE PROPORZIONALE AL PRODOTTO DELLE CARICHE ELETTRICHE E

INVERSAMENTE PROPORZIONALE AL QUADRATA DELLA LORO DISTANZA.

La costante k dipende dalla scelta delle unità di misura e dal mezzo in cui le cariche sono

immerse, mezzo di norma isolante che per le sue proprietà viene chiamato DIELETTRICO.

L’Ampere è l’unità di misura dell’intensità di corrente elettrica, e come unità di carica il

Coulomb, simbolo C che è pari alla carica trasportata da una corrente di 1A in 1 secondo.

K nel vuoto risulta:

9 2 2 9 2 2

⋅10

=8,9875 /C =9⋅ /C

k N m 10 N m

1

=

k 4 π ε 0

ε

Dove è nota come costante dielettrica del vuoto e ha il valore di

0 2

1 C

−12

= =8,8542⋅10

ε .

0 2

4 πk N m

Quindi F è:

q q

1 1 2

F= 2

4 π ε r

0 −19

Il valore della carica elementare espressa in coulomb è e=1,6022⋅ 10 C

La legge di Coulomb ha una struttura simile alla legge di gravitazione universale

q q

1 2

F=−G u

2

r

Se volessimo calcolare il rapporto tra la forza elettrostatica e la forza di gravitazione

universale, dovremmo considerare che la forza elettrica è repulsiva e la forza gravitazione è

attrattiva.

IL CAMPO ELETTROSTATICO 4

IL PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE – se sono presenti più cariche la forza complessiva su q

sarà la somma delle forze esercitate dalle singole cariche, considerando come se ciascuna di

esse agisca da sola.

q q q

1 1

i 0 i

=Σ =q

F=Σ F u Σ u

i i 1 i 0 i i

2 2

4 π ε 4 π ε

r r

0 0

i 0

F

E= è il campoelettrostatico

q 0

Il campo elettrostatico prodotto in un punto P da un sistema di cariche ferme è definito come

q

la forza elettrostatica risultante F che agisce su una carica di prova posta in P divisa per

0

q

la carica stessa.

0 q

Nei casi concreti la carica di prova può perturbare la distribuzione originale, non potendo

0

questa essere formata da cariche esattamente puntiformi ovvero prive di struttura.

q

In campo elettrico prodotto da una carica puntiforme nel punto P è dato da:

1

q

1 1

=

E u

1 i

2

4 π ε r

0 i q q q

Si deduce che se la carica è positiva il campo è uscente da , mentre se è

1 1 1

q

negativa il campo è entrante in .

1

Analogamente un campo elettrostatico generete da un sistema di cariche puntiformi è:

q

1 i

E=Σ u

i i

2

4 π ε r

0 i

Il campo elettrostatico in un punto P prodotto da un sistema discreto di cariche è uguale alle

somme dei campo elettrostatici prodotto singolarmente dalla cariche.

( ) ( )

=q

F x , y , z E x , y , z

0

CAMPO ELETTROSTATICO PRODOTTO DA UNA DISTRIBUZIONE CONTINUA DI

CARICHE

Nelle normali applicazioni non si è mai interessati al campo elettrostatico locale che esiste in

prossimità della singola carica ma piuttosto di un campo elettrostatico medio nei punti

distanti dalle cariche, punti dai quali la distribuzione di carica è vista come una distribuzione

continua.

Se la distribuzione di carica è continua il campo elettrostatico che essa crea in un punto P si

può ottenere dividendo la carica in elementi infinitesimi dq.

Il campo prodotto da dq in un punto P distante r’ si scrive:

ⅆ q

ⅆ =

E u'

2

'

4 π ε r

0

con u’ versore della direzione orientata che va da dq a P.

Il campo risultante in P si calcola con il principio di sovrapposizione, poiché la somma è estesa

ad un numero infinito di contributi infinitesimi: ⅆ

1 q '

E= ∫ u

4 π ε 2

'

r

0

Se volessimo fare esempi su campi generati da distribuzioni volumetriche di carica,

ⅆ ⅆ ⅆ

q ∕ ρ τ τ

l’elemento di carica si scriverebbe dove è il volume infinitesimo che

ⅆ qeρ 3

contiene la carica è la densità volumetrica di carica, che si misura in C/m .

LINEE DI FORZA DEL CAMPO ELETTROSTATICO

5

La presenza di un sistema di cariche modifica lo spazio circostante nel senso che una carica di

prova posta in un qualsiasi punto risente della forza attribuita all’interazione con il campo

elettrostatico.

Partendo da una generica posizione e muovendosi per tratti infinitesimi successivi, ciascuno

parallelo e concorde al campo elettrostatico in quel punto, si ottiene una linea che è detta

LINEA DI FORZA o LINEA DEL CAMPO ELETTROSTATICO, per tanto in ogni suo punto tale linea

per definizione è tangente al campo e il suo verso di percorrenza indica il verso del campo.

Se si traccia un certo numero di linee di forza si ha una rappresentazione grafica complessiva

del campo in tutto lo spazio.

Nel caso di una carica puntiforme, le linee di forza hanno direzione radiale con origine sulla

carica e sono uscenti da questa se è positiva, entranti se è negativa.

LINEE DI FORZA DI UNA CARICA POSITIVA

LINEE DI FORZA DI UNA CARICA NEGATIVA 6

Una linea di forza in ogni suo punto è tangente e concorde al campo elettrostatico in quel

punto. 7

- Le linee di forza si addensano dove l’intensità del campo elettrostatico è maggiore.

- Le linee di forza non si incrociano mai, in quanto in ogni punto il campo elettrostatico è

definito univocamente e non può avere due direzioni distinte.

- Le linee di forza hanno origine dalle cariche positive e terminano sulle cariche negative,

qualora ci siano solo cariche di uno stesso le linee di forza si chiudono all’infinito.

Nel caso di cariche di segno opposto, ma uguali in modulo (a) tutte le linee che partono dalle

cariche positive si chiudono su quelle negative, alcune passando per l’infinito; se le cariche

sono dello stesso segno (b), tutte le linee terminano o provengono dall’infinito (c).

MOTO DI UNA CARICA IN UN CAMPO ELETTROSTATICO

Supponiamo di immettere una carica q di piccole dimensioni, puntiforme, in una zona di

spazio in cui esiste un campo elettrostatico generato da un sistema di cariche ferme, che non

vengono perturbate in alcun modo dalla carica. La carica di massa m è sotto posta ad una

forza: 2

ⅆ r q

=

qE=ma quindi a= E

LEGGE DELLA DINAMICA DI NEWTON 2 m

ⅆ t

Integrando si ottiene la posizione e la velocità della carica, note la posizione e la velocità

iniziale.

Se E è uniforme (costante in modulo e in direzione), l’accelerazione a è una costante; se q è

positiva l’accelerazione sarà nel verso di E, se la carica q è negativa sarà nel verso opposto.

ANGOLO PIANO

θ

L’angolo è la parte di piano compresa tra le due semirette aventi origine in O. Per

misurare l’angolo si traccia la circonferenza con centro in O e raggio arbitrario r, si misura la

θ

lunghezza dell’arco di circonferenza compreso tra le due semirette. Si definisce l’angolo

come il rapporto tra la lunghezza dell’arco e il raggio della circonferenza.

lunghezza dell ' arco l

=

θ= raggio della circonferenza r

ANGOLO SOLIDO

L’angolo solido è la parte di spazio delimitata dalla superficie conica di vertice in O.

Per misurare l’angolo solido si costruisce la superficie sferica con centro in O e raggio

arbitrario.

Si determina l’area della superficie sferica staccata dal cono.

Ω

Si definisce angolo solido rapporto tra l’area staccata dal cono sulla superficie sferica e il

raggio al quadrato della sfera:

area della calotta S

=

Ω= raggio della sfera al quadrato 2

r 8

FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO

Consideriamo una superficie chiusa S immersa in un campo elettrico, consideriamo un suo

elemento infinitesimo dS.

L’elemento di superficie dS può essere rappresentato come un vettore dS con:

MODULO, pari all’area dell’elemento selezionato;

 DIREZIONE, perpendicolare alla superficie nel punto considerato (perpendicolare al

 piano tangente);

VERSO, verso l’esterno della superficie chiusa.



Si definisce flusso del campo elettrico E attraverso la superficie elementare dS la seguente

quantità:

ⅆϕ=E

ⅆ S

il prodotto scalare del campo elettrico per il vettore dS, si definisce flusso del campo elettrico

attraverso la superficie chiusa S

ϕ= ⅆ

∫ E S

SISTEMA DEL FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO ATTRAVERSO LE LINEE DI FORZA

TEOREMA DI GAUSS

Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è uguale alla carica totale

ε

presente all’interno della superficie chiusa diviso per 0

9

∫ ¿

¿

¿

q

ϕ= ⅆ =¿

∫ E S

VERIFICA DEL TEOREMA DI GAUSS PER UNA CARICA PUNTIFORME

Vogliamo determinare il flusso del campo elettrico generato da una carica puntiforme,

attraverso una superficie sferica il cui centro corrisponde con la posizione occupata dalla

carica puntiforme.

Il campo elettrico E in qualunque punto P della superficie sferica e il vettore dS, l’elemento di

superficie attorno al punto P, sono paralleli:

1 q

ⅆ ⋅ ⅆ

=

E S S

4 π ε 2

r

0

Il flusso attraverso la superficie chiusa è:

ⅆ

1 q q S

ⅆ ⋅ ⅆ

=∫ =

∫ E S S ∫

4 π ε 4 π ε

2 2

r r

0 0

Ω

D è l’angolo solido con cui viene vista la superficie dS dalla carica q, in questo caso il

centro della sfera.

Se q è interna ad S:

Ω angolo solido sotto cui è vista S da q coincide con l’angolo solido sotto cui è vista una

superf