Fisica medica - Legge di Gauss

LEGGE DI GAUSS

&

SUE APPLICAZIONI

Legge di Gauss e sue applicazioni 1

Introduzione

 Calcolare il campo con la legge di Coulomb quando si conosce

E

la distribuzione delle cariche elettriche è sempre possibile, ma

eccetto casi semplici, il calcolo è molto laborioso.

 La legge di Gauss rappresenta una forma diversa e più elegante

di esprimere la legge di Coulomb e permette di calcolare il

campo prodotto da una distribuzione di cariche, se queste

E

hanno una qualche simmetria geometrica (es. sferica, piana,

cilindrica).

 La legge di Gauss si basa sul concetto di “Flusso del campo E”

attraverso una superficie.

Legge di Gauss e sue applicazioni 2

E

E

Flusso di attraverso una S (caso di uniforme)

 Si consideri una superficie S di area A attraversata dalle linee di

campo di uniforme:

E u N

 

 E E

Si definisce flusso del campo attraverso la superficie

A

di area A:  

 

  

E E A u E A cos

A N



u

dove è il versore alla superficie (che si guarda), orientato nel

N

verso di avanzamento di una vite che ruoti in senso antiorario.

Legge di Gauss e sue applicazioni 3

  



 Il flusso è > 0 se (flusso uscente);

( E ) 2

A

  



( E ) 2

Il flusso è < 0 se (flusso entrante).

A  



 E 2

Se è tangente alla superficie: e quindi

 

( E ) 0

A

Legge di Gauss e sue applicazioni 4

E

Flusso di attraverso una superficie chiusa

 Si consideri una carica puntiforme Q al centro di una superficie sferica

S di raggio r.

 

P S si ha che il campo E è quello di una carica puntiforme.



Quindi E è sempre alla superficie S , ha direzione radiale e E

u

vale: N

Q

1



E u r

 Q dA

2

4 r

0

dove u indica la di r

e

zione radiale di E .

r r

 Si suddivida la superficie S in un numero N molto grande di elementi

di superficie dA, in modo che dA sia abbastanza piccola da poter

essere considerata piana e da poter ritenere

su tutto l’elemento di area

costante dA.

E Legge di Gauss e sue applicazioni 5

 



Il flusso totale E di E attraverso l'intera superficie S è la

S

somma di tutti i singoli contributi elementari di flusso attraverso

ciascun elemento di superfici e dA

   

E u dA con i 1, 2,..........., N

i i

N

  N N N

  

     

E E u dA E u u dA E dA

r

S i i i

N N

  

i 1 i 1 i 1

 

Infatti il prodotto scalare u u 1 ed E ha modulo costante

r N

  

P S  

  Q Q

 

   

2 2

E E 4 r 4 r 

S   2

4 r 0

0

 



 Quindi attraverso la sfera è proporzionale alla Q e non

E

S 

dipende da r Legge di Gauss e sue applicazioni 6

Q S 1

S 2

Il flusso di E attraverso ognuna delle superfici sferiche concentriche

Q

S oppure S è: 

1 2 0

 Si può dimostrare che questo risultato vale per ogni

superficie chiusa di forma qualsiasi, indipendentemente dalla

posizione della carica totale Q.

Legge di Gauss e sue applicazioni 7

Legge di Gauss (1785)

 Il flusso del campo attraverso una qualsiasi superficie chiusa S

E

che racchiude una carica netta Q è:

  Q

 

E 

S 0

 Le dimensioni del flusso sono:

  N

  

 

   2

E E S m (S.I