Fisica medica - Legge di Gauss

Q

S oppure S è: 

1 2 0

 Si può dimostrare che questo risultato vale per ogni

superficie chiusa di forma qualsiasi, indipendentemente dalla

posizione della carica totale Q.

Legge di Gauss e sue applicazioni 7

Legge di Gauss (1785)

 Il flusso del campo attraverso una qualsiasi superficie chiusa S

E

che racchiude una carica netta Q è:

  Q

 

E 

S 0

 Le dimensioni del flusso sono:

  N

  

 

   2

E E S m (S.I.)

 

S C  

  

 Se la carica netta Q entro la superficie S è nulla E 0

S

 

 

 Se Q > 0 si ha (flusso uscente)

E 0

S  

 

 E 0

Se Q < 0 si ha (flusso entrante)

S Legge di Gauss e sue applicazioni 8

S +q 1

q q

+q

4 2

3   

  q q q q q Q

q q q

      

3 1 2 3 4 TOT

1 2 4

E      

S 0 0 0 0 0 0

Legge di Gauss e sue applicazioni 9

Distribuzione di carica a simmetria sferica

Sia Q la carica distribuita in una sfera isolante di raggio R

a) punti P esterni alla distribuzione sferica (r > R)

 Si consideri una superficie di Gauss sferica di centro “O” e

da “O”.

raggio R. Sia P un punto a distanza r

I punti della superficie S sono

E

E S 

equidistanti dal centro “O”

P Q

r il campo ha lo stesso modulo

E

+

+ +

+ u

+ +

R su tutti i punti della superficie S.

N

O

+ + + La simmetria sferica suggerisce

che la direzione del campo E

deve essere radiale.

E E

Legge di Gauss e sue applicazioni 10

 Applico la legge di Gauss alla superficie S per ottenere il

E

modulo di :

Q

     

( E ) E u S ( E e u sono )



S N N

0

  Q Q

   

2

E cos 0 4 r E

  2

4 r

0 0

 E

Quindi il campo in punti esterni ad una sfera con carica

elettrica Q, è lo stesso che si avrebbe se tutta la Q fosse

concentrata nel punto “O”.

Legge di Gauss e sue applicazioni 11



b) punti P interni alla distribuzione sferica (r R)



 Per r R esistono due possibilità:

I) tutta la carica Q è distribuita sulla superficie S della sfera

(es.: sfera cava all’interno)

Sia P un punto interno a distanza r da O.

+

+ +

+ + ? E (P)

R P Si consideri una superficie sferica S ' di

r

+ +

O S' All’interno di

raggio r < R. S ' non

Q + + 

esistono cariche elettriche

+ +

+ 

q  

  

( E ) 0 essendo q in S nulla





S 0



    

2

E u 4 r 0 E 0

N

Legge di Gauss e sue applicazioni 12

II) tutta la carica Q è distribuita uniformemente nella sfera con

Q

  3

densità (C/m )



4 3

r

3 Si consideri un punto P all’interno della

+

+ + sfera, a distanza r da O.

+

+ +

+ +

+ +

R +

P

+ + +

+ ? E (P)

+ +

+ +

+ r

+ + + +

+

+

O + S' +

+ + Per calcolare E (P), si consideri una

+

Q + + + +

+ + superficie chiusa di Gauss S ' costituita

+ + +

+ +

+ da una sfera di raggio r e centro O.

La carica contenuta in questa S ' è: 3

4 Q 4 Qr

   

   

3 3

q r r 3



3 3 R

4 3

R

3

Legge di Gauss e sue applicazioni 13

'

Si applichi alla superficie sferica S di raggio r la legge di



Gauss: q



   

( E ) E u S

 

S N 0

 Essendo la distribuzione di carica uniforme in tutto il volume,



q’

anche è uniformemente distribuita è logico pensare che

P 

' '

il campo su S è radiale S .

 Per la legge di Gauss, la carica all’esterno di '

S non contribuisce



al campo nel punto P il campo in P è dovuto solo

E

E ' '

alla carica q in S 3

Qr



       

( E ) E u S (essendo E u )

 

S N 3

R 0

3

Qr Qr

      

2

E 4 r E per r R : E cos

t. r

 

3 3

R 4 R

0 0

Legge di Gauss e sue applicazioni 14

E Sfera carica uniformemente

Q con carica elettrica Q

 2

4 R

0  2

E 1/r r

R

E Q posta tutta in superficie

Q

 2

4 R

0  2

E 1/r r

R Legge di Gauss e sue applicazioni 15

Distribuzione di carica lineare

 Si consideri una distribuzione lineare posta su un filo rettilineo



indefinito con densità (C/m).

u z Sia P un punto a distanza r dal filo.

S +

2 u E

Si vuole calcolare il campo prodotto

+ N

B

+ dalla distribuzione filiforme nel punto P.

E

+ A

S + P Si applichi la legge di Gauss conside

L r E

+ O rando una superficie chiusa S, di

+ E B forma cilindrica, di raggio r, altezza

+ A 

+ L e coassiale col filo indefinito

+

S PS

1 +

 (C/m) Legge di Gauss e sue applicazioni 16

 E ( P )

La simmetria del problema suggerisce che deve essere



parallela all’asse E ( P )

r (i.e. alla direzione del filo). Infatti,

cariche elettriche rispetto all’origine “O” (es.: A e B) producono

in P due campi le cui componenti verticali (lungo z)

E e E

A B 

sono uguali ed opposte e quindi si annullano

E e E

restano le due componenti di lungo la direzione r, le

A B

quali si sommano lungo l’asse r.



 ( E )

Il flusso attraverso la superficie totale del cilindro S lo

S

scomponiamo in tre contributi:



a ) ( E ) : flusso del campo E attraverso la superficie cilindrica;

S L



b ) ( E ) : flusso del campo E attraverso la superficie di base S ;

S 1

1



c ) ( E ) : flusso del campo E attraverso la superficie di base S .

S 2

2 Legge di Gauss e sue applicazioni 17

  

Il flusso ( E ) e ( E ) attraverso le basi del cilindro è 0,

S S

1 2



in quanto E u . Infatti,

z 

 

      

2 2

( E ) E u S Eu u ( r ) E (cos )( r ) 0

2

S 1

z r z

1 

 

        

2 2

( E ) E ( u ) S Eu ( u )( r ) E (cos )( r ) 0

2

S 2

z r z

2 

Invece, ( E ) attraverso la superficie laterale è:

S L  

     

( E ) E u S Eu u (2 rL ) E 2 rL

S L

N N N

L

Legge di Gauss: Q

        

( E ) ( E ) ( E ) ( E ) 

S S S S

1 2 L 0

 

L

   

E 2 rL E

 

2 r

0 0

Legge di Gauss e sue applicazioni 18

E E ~ 1/r r

 2

E

Si osservi che dipende da 1/r e non da 1/r come nella

distribuzione sferica, all’ext. della distribuzione. Ciò è dovuto al

fatto che le cariche elettriche non sono contenute in una regione

limitata dello spazio, ma si estendono all’.

Legge di Gauss e sue applicazioni 19

Distribuzione piana di cariche elettriche



 Sia la densità di carica superficiale uniformemente distribuita

.

su un foglio 



Si consideri un punto P a



distanza r da .

Si vuole determinare il campo

E (P) c

o

n la legge di Gauss .

u z

A A A Sarebbe impossibile calcolare

2 1



u E (P) con la leg ge di Coulomb

u

N N 

a causa de

l numero di cariche

 elettriche

.

Legge di Gauss e sue applicazioni 20

  

 Considerando il piano come costituito da tanti fili di

,

lunghezza si ripete lo stesso ragionamento della distribuzione

 

lineare per capire che il campo risulta punto dello spazio

E

.

al piano

 E

Intuita la direzione di , possiamo applicare la legge di Gauss

E

per ottenere il modulo di .

 Si deve scegliere una superficie chiusa di Gauss (S) attraverso

 ( E )

cui calcolare il , sfruttando la simmetria piana del

S

problema.

 Come superficie chiusa (S) di Gauss, si scelga quella di un

 . Il punto P sia sull’asse del

cilindro con asse al piano 

cilindro e la sua intersezione con il piano sia il cerchio A.

L’altezza del cilindro sia 2r.

Legge di Gauss e sue applicazioni 21



 Il flusso del campo attraverso la superficie S lo si

( E ) E

S

può dividere in tre contributi:



a ) ( E ) : flusso del campo E attraverso la superfici e di base A

A 1

1

    

( E ) Eu u A EA cos0 EA ;

r

A 1 1 1

N

1



b ) ( E ) : flusso del campo E attraverso la superficie di base A

A 2

2

      

( E ) E ( u ) ( u ) A EA cos0 E

A ;

r

A 2 2 2

N

2



c ) ( E ) : flusso del campo E attraverso la superficie cilindrica

S L 

    

( E ) Eu u S ES cos /2 0

r z

S L L

L  

infatti E è // all'asse del cilindro E u .

z

         

Quindi ( E ) EA EA 2 EA

S A A S 1 2

1 2 L

Legge di Gauss e sue applicazioni 22

Q Q

   

Legge di Gauss: ( E ) 2

EA

 

S 0 0

dove Q è la carica totale nella superficie chiusa di Gauss.



Cioè Q è la carica sul cerchio A in

tersezione tra e cilindro

 

A



     

Q A 2

EA E

 

2

0 0

u

+ z

+ N.B. Il campo prodotto dalla

E

+ 

distribuzione piana è uniforme,

+ 

A A

+ P: 

2 1 cioè

E

E E ( P ) u

+  N

2

 + 

E 0

u

u N N

+ u

 N

+ 2 0

+

+

 r

Legge di Gauss e sue applicazioni 23

 Si consideri un piano carico con densità di carica superficiale

 2

- (C/m ) 



-

- Anche in questo caso le linee di

- 

campo sono semirette al piano

-

   che partono dall’ e terminano



 - E

E   

2

2 - sul piano .

0

0