Fisica medica - fluidi reali

Ø Si noti che la del sangue oltre a variare con la T e la P, varia

η

anche con la sua composizione ed in particolare col numero di

globuli rossi per unità di volume.

Ø Quindi una misura di del sangue fornisce la concentrazione

η

dei globuli rossi. Fluidi reali 8

Legge di Poiseuille (1799-1869)

Ø I liquidi reali, a causa della loro viscosità, scorrono perdendo

parte della loro energia meccanica che viene trasformata in

energia interna e quindi si ha un aumento di T.

Ø Si consideri un tubo cilindrico orizzontale in cui scorre un

liquido reale, con viscosità in regime stazionario

η

v v

S S

1 2

1 2

p p

1 2

l

Ø Sia l’energia meccanica persa per unità di volume del liquido

ε

tra le sezioni S e S il teorema di Bernoulli tra le sezioni

⇒

1 2

S e S si scrive tenendo conto della perdita ε:

1 2 Fluidi reali 9

1 1

2 2

p gh v p gh v

ρ ρ ρ ρ ε

+ + = + + +

1 1 1 2 2 2

2 2

Ø rappresenta quindi l’energia meccanica persa per unità di

ε

volume del liquido nel suo passaggio da S a S .

1 2

p p p p

Ø Se h = h e v = v ε ε

= + ⇒ = −

⇒ 1 2 1 2

1 2 1 2

Ø Quindi, affinché un liquido reale (η 0) possa scorrere con moto

≠

laminare o stazionario (v = cost.) in un condotto cilindrico

orizzontale, è necessario applicare una = p - p .

Δp 1 2

Ø Se = 0 (liquido ideale) = 0.

η ⇒ Δp

Ø Stesso discorso vale per la circolazione del sangue. In questo

caso la p è fornita dalla pompa cuore.

Δ Fluidi reali 10

Ø È stato Poiseuille a trovare l’espressione di da applicare agli

Δp

estremi di un condotto cilindrico orizzontale, affinché un liquido

reale possa scorrere con flusso costante.

Ø Poiseuille ha dimostrato che per un liquido reale che scorre in

regime stazionario in un tubo cilindrico di raggio r e lunghezza

l la portata volumetrica R è:

V

4

r p

π Δ

R legge di Poiseuille

=

V 8 l

η

dove è la differenza di pressione agli estremi del tubo ed η

Δp

è la viscosità del liquido.

Ø Questa legge si applica solo ai moti laminari. Non è più valida

per i moti turbolenti. Fluidi reali 11

4

r p

π Δ

ÿ

Da R = ⇒

V 8 l

η caduta di pressione o perdita di carico

8 l

η ⎧

p R

Δ = ⎨

V

4 lungo un tratto l di tubo di raggio r .

r

π ⎩

Ø Si noti che tra due sezioni distanti l di un tubo orizzontale

Δp,

in cui scorre un fluido reale ( ), è inversamente proporzionale a

η

4

r .

Quindi, più piccola è la sezione di un tubo o di un vaso

sanguigno maggiore è la caduta di pressione p.

Δ

R

Ø Perciò per mantenere costante la portata di un fluido reale che

V

scorre in un tubo orizzontale si deve applicare con una pompa

4

una . Questo significa che se r di un tubo si dimezza, la

Δp ∼1/r R

deve aumentare di 16 volte per mantenere la stessa portata

Δp V

Fluidi reali 12

Ø Questo vale anche nel caso della stenosi:

se il raggio r di un vaso si dimezza per accumulo di particelle di

grasso, il cuore deve aumentare la pressione di un fattore

Δp

R

4

2 = 16 per mantenere la stessa di sangue.

V

Fluidi reali 13

a) Flusso laminare;

b) Flusso turbolento;

c) Flusso prima laminare,

poi turbolento del fumo

di una sigaretta.

La legge di Poiseuille, valida per il flusso laminare, non ha

una legge equivalente nel moto turbolento di un fluido.

Fluidi reali 14

Regime turbolento e numero di Reynolds

Ø Se la di un liquido reale è bassa esso scorre con moto

v ⇒

laminare in cilindri coassiali (nei tubi) o in piani // nei canali.

Ø Se la cresce, si raggiunge un valore critico tale che per

v

v c

v v il moto diventa turbolento, a causa dei vortici che si

> c v v

creano, in cui .

> c

In tale regime, a parità di Δp la portata (o flusso) del liquido si

riduce di molto e la legge di Poiseuille non è più valida.

Ø Si è trovato sperimentalmente che in un tubo di raggio r, per un

liquido di densità e viscosità , la velocità oltre cui il

v

ρ η c

regime di scorrimento diventa vorticoso è:

η

v N dove N (adimensionale) è detto numero di Rey

no

l

ds

.

=

c R R

r

ρ Fluidi reali 15