Fisica - Lavoro e Energia Cinetica

Lavoro e energia cinetica

Abbiamo visto che il lavoro è dato da \( W = \int F(x) \, dx \); se il lavoro risulta costante, si può ottenere semplicemente che il lavoro \( W = F(x_b - x_a) \).

Se invece non è costante, basta integrare \( F \). Se volessimo calcolare il lavoro totale, ossia considerando tutte le forze che agiscono sul corpo, otteniamo:

\[ W_{\text{TOT}} = \int F_{\text{TOT}}(x) \, dx \]

E dato che \( F_{\text{TOT}} = \sum_{I=1}^{M} F_I \), sostituendo otteniamo:

\[ W_{\text{TOT}} = \int \sum_{I=1}^{M} F_I \, dx = \sum_{I=1}^{M} W_I \]

Se a partire da:

\[ W_{\text{TOT}} = \int F_{\text{TOT}} \, dx = \int ma \, dx = m \int a(x) \, dx = m \int v \, dv = \frac{1}{2} m[v_b^2 - v_a^2] \]

Definendo l'energia cinetica \( E_c = \frac{1}{2} mv^2 \), otteniamo che:

\[ E_c(B) - E_c(A) = \Delta E_c \quad \text{con} \quad [E_c] = J \] (effettuando il cambio di variabile).

Nella caduta di un grave, abbiamo visto che il lavoro è:

\[ W_{\text{TOT}} = mgh = 1/2 mv_b^2 - 1/2 mv_a^2 \quad \text{e} \quad mgh = \frac{1}{2}m v_b^2 \quad \Rightarrow \quad v_b = \sqrt{2gh} \]

Studio dell'attrito

Dato un corpo con velocità iniziale \( v_0 \) su cui agisce l'attrito, abbiamo:

\[ W_{\text{ATTRITO}} = -F \cdot d = 1/2 mv_0^2 - 1/2 mv_a^2 \]

\[ d = -1/2 mv_a^2 \quad \Rightarrow \quad F = \frac{mv_a^2}{2d} \]

Moto elastico

Per quanto riguarda il moto elastico, il lavoro è:

\[ W_{\text{ELASTICO}} = \frac{1}{2} k x_a^2 = \frac{1}{2} mv_b^2 - \frac{1}{2} mv_a^2 \]

\[ \frac{1}{2} mv_b^2 = \frac{1}{2} k x_a^2 \quad \Rightarrow \quad v_b = \sqrt{\frac{k}{m}} x_a \]