Fisica I - Appunti

Appunti di Fisica

Legenda

g (grassetto): versore o vettore.
g (senza grassetto): scalare.
x’: derivata prima.
x’’: derivata seconda.
|: sistema di equazioni.
↔: “se e solo se”.
→: “allora”.
≡: coincidente, congruente.
Λ: prodotto esterno.
R: R "primo" (≠ R’)’ operatore differenziale vettoriale che permette di scrivere in forma compatta “Nabla”,: gradiente, divergenza e rotore.
∂: derivata parziale; tuttavia nel nostro caso può anche riferirsi quando il differenziale non sia un differenziale esatto.

Capitolo 1 - Introduzione

Grandezze fisiche

Una grandezza fisica viene definita operativamente; sono infinite, pertanto bisogna definirne un numero finito definite come “grandezze fondamentali” ed esprimere tutte le altre in relazione a queste grandezze. Si usa il sistema L.M.T. (Lunghezza, Massa, Tempo), da cui il sistema MKS (Metro, Kilogrammo, Secondo), o sistema S.I. Possiamo esprimere con dei numeri interi (positivi o negativi) il sistema LMT in modo da poter definire ogni grandezza fisica. Ad esempio: velocità: m/s = L T¹ -1.

Errore

Non tutte le cifre di una misura sono utili; non ci interessa sapere che la nostra scrivania è lunga 120.00000013 cm: è irrilevante. Abbiamo allora bisogno di una notazione. Esprimiamo allora le grandezze fisiche nella forma: k * 10ⁿ dove k (che varia da 1 a 10) è un numero razionale con un numero finito m di cifre decimali, mentre n è un numero intero. In questo modo n ci dà subito l’idea dell’ordine di grandezza in cui operiamo, mentre m serve per stabilire il grado di accuratezza richiesto dalla misura. Cioè, l’errore tollerato sarà un +/- 1 dell’ultima cifra decimale relativa all’ordine di grandezza. Almeno per quanto riguarda l’errore assoluto; l’errore relativo invece, quello utile si definisce come: Errore Assoluto / Valore “Esatto”.

Sistemi inerziali

In fisica si studiano gli eventi; definizione di “evento”: “L’evento è un fenomeno che si produce in uno spazio così ristretto da poter essere assimilato a un punto e in un tempo così breve da poter essere assimilato a un istante”. A noi serve un “etichetta”, ossia un n-upla di numeri reali che ci permettano di poter identificare l’evento; questi numeri li chiamiamo coordinate. Questi eventi si svolgono in uno spazio, detto spazio fisico: ecco la definizione.

“Chiamiamo spazio fisico la totalità delle possibili posizioni relative ai corpi rigidi; la geometria di tale spazio allora, è determinata dalle proprietà empiriche di tali corpi rigidi chiamati regoli, congruenti tra di loro”.

Che segue la definizione di congruenza: “Il concetto di congruenza è definibile attraverso un regolo-campione che goda di proprietà come la rigidezza e l’invarianza della lunghezza mediante trasporto”.

Proprietà del regolo-campione

Un buon regolo-campione deve soddisfare 2 requisiti:

• Se viene riportato alla condizione iniziale dopo una qualsiasi serie di spostamenti, esso collega sempre i medesimi punti.
• Rispetto ad esso i raggi di luce nel vuoto si propagano in linea retta.

Possiamo quindi definire tramite il regolo-campione un'unità di misura della lunghezza, utilizzando la traiettoria geodetica (la linea più breve che collega due punti) di un raggio di luce e come unità di lunghezza la lunghezza d’onda nel vuoto della riga rossa del Cadmio. Possiamo quindi definire il metro come: 1m = 1.5527349 * 10 λ⁶.

Definizione di sistema inerziale

Possiamo definire il Sistema Inerziale, citando le proprietà che lo caratterizzano:

• Lo spazio è euclideo (omogeneo e isotropo). Particelle libere in quiete permangono in quiete (principio di permanenza in quiete).
• Proprietà 1:
  • Due punti qualsiasi A e B possono essere sempre collegati con un regolo rigido di lunghezza AB.
  • Per ogni triangolo rettangolo costruito con regoli rigidi sussiste il teorema di Pitagora.

Coordinate di un evento in un S.I.

Tre regoli rigidi ortogonali tra di loro uscenti dal medesimo punto individuano un riferimento cartesiano ortogonale; allora a ogni punto P possiamo associare una terna di numeri (x, y, z), definite come coordinate di P. Se in P si verifica un evento E, possiamo individuarlo con 4 numeri (x, y, z, t), dove t rappresenta la coordinata temporale dell’evento E. Tuttavia, non abbiamo un metodo empirico per definire il “regolo” di tempo. Infatti, senza avere un’unità di tempo t, la definizione di S.I. per le particelle in moto (“In un S.I. particelle libere in moto, percorrono in linea retta, spazi uguali in tempi uguali”) non avrebbe senso.

Supponiamo quindi, che tutti gli “orologi” sparpagliati in tutti i punti del riferimento siano sincronizzati tra di loro, e la coordinata temporale dell’evento che si produce in P (x, y, z), si intenderà sempre letta sull’orologio sito in P.

Definizione di S.I.: “Si chiama Sistema Inerziale un riferimento spazialmente inerziale nel quale esiste un tempo inerziale”.

Principio di relatività galileiana

Se esiste un S.I. allora ne esistono infiniti. Il principio della Relatività Galileiana dice proprio questo: non è possibile discriminare un S.I. a vantaggio di un altro mediante osservazione di tipo cinematico, contrariamente a quanto sosteneva la fisica classica, poiché cozzava con la tesi aristotelica che i corpi cadono verso il loro “luogo naturale”, ossia il centro della Terra.

A prova di ciò viene considerato il famoso esperimento della goccia d’olio a bordo di una nave in movimento; in moto a una velocità costante, senza sobbalzi, in un mare perfettamente liscio. Secondo gli Aristotelici una goccia d’olio che cade dal soffitto, avrebbe dovuto spostarsi verso poppa, mentre la tesi sostenuta da Galileo è che sarebbe stato possibile addirittura che la goccia centrasse il collo di una bottiglia con una precisione millimetrica.

Tutto ciò è dovuto alla più grande scoperta di Galileo, ossia che tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione, ossia 9.8 m/s². Quindi il tempo che la goccia avrebbe impiegato per toccare terra sarebbe stato di: t = √(2h / g), dalla ben nota formula della seconda legge di Newton h = 1/2gt² e, in quell’intervallo, la nave si sarebbe spostata di circa 1.28m, una distanza ben elevata, che, ovviamente, non concorda con i dati sperimentali.

Concludendo: “Non è possibile, per un passeggero a bordo di tale nave, supponendo nessun collegamento con l’esterno sapere se la nave è in movimento oppure ferma.” Grazie a questa affermazione, noi possiamo concludere oggi dicendo che non esistono moti assoluti, ma sono moti relativi.

Capitolo 2 – Trasformazione delle coordinate

Trasformazioni delle coordinate di un evento

Dati due S.I. in configurazione standard, (due S.I. dove vengono scelti gli assi x, y e z sovrapposti nell’origine dei tempi, ossia t = t’ = 0) osserviamo la trasformazione delle coordinate di un evento generatosi nel punto P’ (situato lungo l’asse x) appartenente al S.I. G’, che si muove lungo l’asse x di velocità v.

Immaginiamo come evento un’emissione luminosa generata da una sorgente puntiforme nel punto P’. Rispetto al S.I. G, il punto P’ si muove di una velocità v lungo l’asse delle x, mentre per il S.I. G’ l’evento sarà in quiete; chiamiamo P il punto in nell’istante in cui l’evento P’ si riproduce rispetto a G. Quali sono le coordinate del punto P?

Detta O l’origine del S.I. G e O’ l’origine di G’ la coordinata spaziale x di P’ rispetto a G sarà un segmento O’P’ verificato nell’istante t’ letto sull’“orologio” sito in P’; mentre, per quanto riguarda G la coordinata spaziale x dell’evento sarà un segmento OP, e la coordinata temporale sarà fatta coincidere con un certo tempo t, letto sull’“orologio” in P.

Abbiamo quindi due coordinate:

• Rispetto a G: (x, t)
• Rispetto a G’: (x’, t’)

Come legarle? Possiamo semplicemente esplicitare l’ovvia relazione geometrica: OP = OO’ + O’P. Ed essendo OO’ = v*t: x = vt + O’P. Inoltre O’P = O’P’ = x’, quindi: x = vt + x’ o x’ = x - vt.

Per effettuare la misura di OP, in moto di velocità v, un osservatore appartenente a G, deve dapprima individuare le coordinate corrispettive di O’P’ nel medesimo istante t, e successivamente effettuare la misura su OP. Tuttavia, “la misura della lunghezza di un segmento in moto dipende dalla determinazione della simultaneità in sedi spaziali diverse” e, la simultaneità è un concetto difficile da definire in maniera operativa.

Immaginiamo di dover stabilire se un evento che avviene su una stella lontana migliaia di anni luce sia simultaneo a un altro evento che avviene qua sulla Terra. Poiché nessuna informazione può superare la velocità della luce, il messaggero più veloce, potrebbe metterci al minimo migliaia di anni.

Il punto chiave è questo: “Il concetto di simultaneità e il concetto di distanza tra due punti, che apparivano sostanzialmente disgiunti, ora invece ci appaiono strettamente legati.”

In pratica possiamo definire il concetto di lunghezza come assoluto, solo se possiamo garantire il concetto di tempo come assoluto, ossia che scorra sempre allo stesso tempo in ogni sistema di riferimento (t = t’). Tutta la fisica newtoniana si basa su questo concetto, dato come un assioma, e su questo assioma, vengono costruite le trasformazioni classiche o “di Galileo”: x = vt + x’; t = t’ dalle quali, derivando rispetto al tempo (assunto come assoluto), otteniamo: dx’/dt = dx/dt – v, ponendo inoltre u’ = dx’/dt e u = dx/dt: u = u’ + v che è la trasformazione classica della velocità, derivandola: a = a’ che esprime l’invarianza dell’accelerazione rispetto alla trasformata di Galileo.

L’insieme degli S.I. che gode delle proprietà delle trasformazioni di Galileo appartengono al cosiddetto “gruppo di Galileo”, e tutte le grandezze invarianti rispetto al gruppo di Galileo sono dette “Galileo - invarianti” e sono grandezze assolute della fisica classica, tra queste quelle più significative per la cinematica sono: gli intervalli di tempo, gli intervalli di spazio e le accelerazioni. Si può concludere formalizzando il principio di relatività galileiano dicendo che: “Tutte le leggi della cinematica devono essere Galileo – invarianti”.

Capitolo 3 – Fondamenti di meccanica classica

Fondamenti

La fisica classica è un sistema basato su pochi concetti fondamentali e su quattro assiomi fondamentali.

Concetti Fondamentali:

• Spazio Assoluto
• Tempo Assoluto
• Punto Materiale

Mentre gli assiomi, anticipandone alcuni:

1. La legge di inerzia, o prima legge di Newton: “Un punto materiale non soggetto a forze si muove di moto rettilineo uniforme”.
2. La legge di moto, o seconda legge di Newton: “Per modificare lo stato di moto del punto materiale occorre una forza” tale forza accelera secondo la formula: f = m a dove m è la massa inerziale e rappresenta la resistenza che il corpo oppone al modificarne lo stato di moto.
3. Il principio di azione e reazione, o terza legge di Newton: “A ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria”.
4. La legge di gravitazione universale: due punti materiali si scambiano, istante per istante, forze attrattive direttamente proporzionali alle loro masse e inversamente proporzionali al quadrato della loro distanza. L’intensità di tali forze è data dalla formula: f = G(m₁ *m₂)/r² dove G prende il nome di “costante gravitazionale newtoniana”, m₁ e m₂ rappresentano le masse dei due punti materiali, mentre r è la distanza tra tali punti nell’istante in cui vogliamo calcolarne il campo gravitazionale.

Questa formula produce un interessante analogia con la formula dell’intensità dell’attrazione elettrostatica: f = K(q₁ *q₂)/r².

Concetto di punto materiale

Il concetto di punto materiale è una pura astrazione; non dobbiamo pensare ad esso come a un elemento costituente del mondo fisico reale. Un punto materiale è definito come una porzione infinitesimale del corpo stesso preso in analisi. Tuttavia è un errore farlo coincidere con particelle subatomiche quali nucleone o elettrone: lo studio di questi elementi richiede un approccio quantistico.

Infatti è solito utilizzare ordini di grandezza del punto materiali ben superiori a 10^-8, ossia la dimensione di un atomo. Tutto questo si riferisce alla meccanica classica (newtoniana).

Prima legge di Newton

“Ogni particella non soggetta a forze si muove di moto rettilineo uniforme”. Questa legge si riferisce unicamente ai S.I.

Definizione di grandezza propria

Data una particella P, chiameremo il S.I. G₀ istantaneamente in quiete rispetto a P. Tutte le grandezze rilevate in G₀ si definiscono “proprie”.

Definizione qualitativa di forza

Una particella libera mantiene inalterato il suo stato di moto, ossia la sua velocità. Una particella è detta libera quando non risente dell’influsso di altre forze apprezzabili. Tuttavia, l’idea di una particella lontana dal resto delle particelle dell’Universo è inverosimile. L’idea di forza è quindi associata a una causa che determina la variazione della quantità di moto di una particella e, più precisamente, la sua variazione di velocità, possiamo quindi azzardare a dire che la forza è la causa dell’accelerazione.

Se, per esempio, spingiamo un auto in panne lungo una direzione orizzontale osserveremo che, se la spinta è sufficiente, la macchina può proseguire per un breve periodo da sola grazie alla sua inerzia; inevitabilmente, però, dovrà fermarsi a causa degli attriti che intervengono con una forza nel verso opposto. Questo era un esempio per quelle forze dette “di contatto”; esistono tuttavia altre forze che agiscono senza che ci sia contatto tra due forze, come ad esempio l’attrazione gravitazionale.

Ci sono vari modi per misurare una forza: possiamo misurarla in maniera astratta tramite una formula, come ad esempio la forza dell’interazione gravitazionale. Ma, il modo operativo per misurare operativamente una forza è tramite l’utilizzo di un dinamometro, che tuttavia ha molti limiti, come quello che è solamente possibile misurare particelle in quiete e non in moto.

Definizione operativa di forza

Dato un punto P in un S.I. G₀, chiameremo f la forza agente su P, indicata in un dinamometro a riposo, e assumiamo che tale forza sia Galileo-invariante. Non tutte le forze soddisfano questo requisito, ad esempio, la forza che agisce su una particella carica in un campo elettromagnetico, poiché tale forza dipende dalla velocità.

Si indicano quindi con “newtoniane" le forze meccaniche che soddisfano la proprietà di Galileo-invarianza.

Definizione di massa

Esistono due definizioni qualitative di massa: massa gravitazionale e massa inerziale.

Massa gravitazionale

Una misura della “quantità di materia” presente all’interno di un corpo, che serve a misurare l’interazione gravitazionale con altre masse.

Massa inerziale

Una misura della resistenza che oppone un corpo necessaria per modificare il suo stato di moto.

Bisogna definire una misura della massa; purtroppo, una definizione operativa che vada bene sia per misurare oggetti comuni (una mela, una pietra), sia per misurare la massa di atomi o pianeti, non esiste. Ad esempio, per misurare la massa gravitazionale di una mela è sufficiente una bilancia, che attua un confronto con una massa campione. Tuttavia, quando parliamo di bilancia, tendiamo a fare confusione con il dinamometro; quando noi misuriamo l’allungamento della molla del dinamometro in realtà misuriamo una forza, non una massa, più precisamente utilizziamo un’altra unità di misura, il Kg-peso. Inoltre, tale misura, varierà secondo numerosi fattori, come la posizione geografica e l’altitudine. Concludendo imponiamo anche alla massa il concetto di Galileo-invarianza, concordando con il fatto che la “quantità di materia” presente in un corpo non varia al variare del sistema di riferimento (inerziale) utilizzato.

Seconda legge di Newton

Stabilito che una forza genera un’accelerazione, bisogna chiedersi come varia quest’ultima al variare dei corpi applicati e al variare della forza applicata. Per fare ciò ci riferiamo a un’ esperienza di laboratorio, prendendo in analisi diversi corpi di varia composizione fisico-chimica, caricati elettricamente tutti allo stesso modo e azionare un campo elettrico lungo un piano orizzontale. Sperimentalmente, si osserva che tutti i corpi accelerano nella stessa direzione, ma in maniera diversa; quelli con minore massa inerziale maggiormente, quelli con massa inerziale maggiore, più lentamente. Inoltre, variando la forza, osserviamo che se questa viene raddoppiata allora raddoppia anche l’accelerazione; empiricamente possiamo osservare che: “il rapporto |f| / |a| è uno scalare c...”.