Fisica I - Appunti

O

M è un “vettore libero” che ha:

O 1) per modulo u * OP * sinθ, dove θ è il più piccolo angolo compreso tra P – O e u;

2) direzione normale all’elementino di superficie individuato dai vettori P – O e u; 33

3) Verso concorde con la regola della mano destra.

Chiamiamo “braccio” del vettore (u, P) la distanza b = OP * sinθ (distanza tra il vettore (u,

P) e il polo O), il modulo del momento | M | è uguale al semplice calcolo ub, “vettore per

O

braccio”. Geometricamente | M | è l’area del parallelogrammo costruito sui vettori P – O e

O

u.

Momento assiale.

Si dice “momento assiale” del vettore applicato (u, P) rispetto a una retta orientata a lo

scalare: M = M * a ≡ (P – O) Λ u * a

a O

Dove a è il versore della retta orientata, mentre O è un punto qualsiasi di tale retta, infatti,

se O è un altro punto qualsiasi della retta si ha:

1

M * a ≡ (P – O) Λ u * a = (P – O + O – O ) = (P – O) Λ u * a + (O – O ) Λ u * a ≡ M * a

O1 1 1 O

Facendo notare che (O – O ) Λ u * a = 0, poiché (O – O ) // a.

1 1

Infatti, il momento assiale si annulla se la retta di azione di u è parallela o incidente ad a.

In particolare nel caso piano, dove la retta a è ortogonale al piano passante per O, si vede

che (vedi figura libro pagina 178):

M = (P – O) Λ u * = +-ub

z

Dove il segno + o – dipende dal senso (rispettivamente, antiorario o orario) di M z

In ogni caso:

“il segno positivo del momento deve essere concorde con il segno positivo della rotazione”

Sistema di vettori applicati.

“si dice sistema di vettori applicati l’insieme di vettori applicati: [(u , P ), (u , P ),…, (u ,

1 1 2 2 N

P )]”

N

“Si dice risultante di un sistema di N vettori applicati il vettore libero: R = ∑ u ”

N h=1 h

“Si dice momento risultante di un sistema di N vettori applicati, rispetto al polo O, il vettore

libero: M = ∑ (P – O) Λ u

N

O h=1 h h

, cioè il risultante dei momenti dei singoli vettori applicati rispetto al polo O, infine:

“si dice momento risultante assiale di un sistema di N vettori applicati, rispetto alla retta

orientata a, lo scalare: M = ∑ (P – O) Λ u * a ≡ M * a

N

a h=1 h h O

Dove, come sappiamo, a è il versore della retta orientata a, mentre O è un punto qualsiasi

di questa retta. 34

Trasposizione dei momenti.

Vogliamo sapere come cambia il momento risultante rispetto ad un altro polo A; dalla

formula M = ∑ (P – O) Λ u , scriviamo:

N

O h=1 h h

M = ∑ (P – A) Λ u = ∑ [(P – O) + (O – A)] Λ u = ∑ (P – O) Λ u + ∑ (O – A)

N N N N

A h=1 h h h=1 h h h=1 h h h=1

Λ u

h

E, tenndo conto che ∑ (P – O) Λ u = M e che il vettore (O – A) non dipende dalla

N h=1 h h O

sommatoria con indice h, riscriviamo:

M = M + (O – A) Λ R

A O

Tale formula, viene detta “formula di trasposizione dei momenti”; tradotta in termini

significa che:

“il momento rispetto al polo A è uguale al momento rispetto al polo O, sommato al

momento del vettore applicato (R,O) rispetto al polo A”

Si può notare che questa formula ha come conseguenza il fatto che se un sistema di

vettori applicati ha risultante nullo, allora il momento risultante è indipendente dal polo, e

l’indicazione stessa del polo è inutile, poiché la formula si riduce a M = M ; questo è il

A O

caso di una coppia di forza (F,A), (-F, O) (vedi figura libro pagina 183).

Un’altra conseguenza è visibile se si moltiplicano entrambi i membri per R, infatti:

M * R = M * R

A O

Cioè, la grandezza scalare M * R è indipendente dal polo. Questa grandezza prende il

nome di “invariante scalare”.

Sistemi equivalenti di forze.

Fisicamente parlando, possiamo far coincidere questi vettori con delle forze e studiare il

moto di un sistema. Il moto del sistema dipende unicamente da due vettori liberi: il

risultante e il momento risultante (rispetto a un polo qualsiasi); tutti i sistemi che hanno lo

stesso risultante e momento risultante sono detti “equivalenti”.

Un sistema di forze può essere “ridotto” a un sistema di forze equivalente mediante

composizione e scomposizione delle forze e mediante traslazioni dei vettori che li

compongono. “Ridurre” significa cioè, trasformare un sistema complesso in uno più

semplice: 1) Se R ≠ 0, e questo è il caso più interessante per le applicazioni, il

sistema più semplice possibile è un singolo vettore applicato in un

punto opportuno, o su una retta opportuna. Non è detto che la riduzione

a un singolo vettore sia sempre possibile; quando lo è, si dice che il

sistema di vettori “ammette retta d’applicazione del risultante”. Ad

esempio nel caso di un sistema di forze applicate nello stesso punto o

nel caso di forze complanari 35

2) Se R = 0, il sistema più semplice possibile è costituito da una coppia di

forze; in particolare, se oltre a essere uguali e contrarie hanno anche la

stessa retta d’azione, il sistema dato è equivalente al sistema nullo.

Centro di massa (baricentro).

Consideriamo il sistema di N masse m , m , …,m , concentrate nei punti P , P , …P .

1 2 N 1 2 N

detto k il versore orientato verso il basso della verticale, viene definito il sistema delle forze

peso: (m gk, P ), (m gk, P ), …,(m gk, P )

1 1 2 2 N N

, tutte parallele e concordi. Definiamo: m = ∑ m

N h=1 h

come massa totale del sistema. E sia, inoltre:

R = ∑ m gk = mgk

N h=1 h

Il risultante delle forze peso, ossia il peso totale del sistema.

Poiché, un sistema di vettori paralleli tra loro ammette retta d’applicazione del risultante,

individuiamo tale retta definendo il vettore “centro di massa” o “baricentro” del sistema in

tal modo: G – O = [∑m (P – O)] / m

h h

Dove O è un punto qualsiasi dello spazio.

Notiamo, se prendiamo come polo lo stesso G, otteniamo:

m(G – G) = ∑m (P – G) = 0

h h

, mentre le coordinate di G rispetto a un sistema di riferimento cartesiano con origine in O

valgono: x = [∑m x ] / m, y = [∑m y ] / m, z = [∑m z ] / m

G h h G h h G h h

Notiamo, quindi le principali caratteristiche del centro di massa, che sono:

1) “Il centro di massa non dipende ne da k, né da g: esso è una proprietà intrinseca

del sistema di masse”

2) “Il momento risultante del sistema delle forze peso (m gk, P ), (m gk, P ), …,

1 1 2 2

(m gk, P ) rispetto a G è nullo”

N N

La 2) è la proprietà fondamentale del centro di massa, si dimostra infatti che:

M = ∑(P – G) Λ m gk = ∑m (P – G) Λ gk = 0

G h h h h

Poiché, abbiamo visto che il centro di massa rispetto a G stesso è uguale a zero (∑m (P

h h

– G) = 0). 36

Quindi, la retta d’applicazione del risultante è un retta verticale passante per G: il sistema

può essere ridotto a un singolo vettore verticale passante per G. inoltre, se noi

modifichiamo la direzione di k, il sistema delle forze peso può essere risotto al risultante

R= mgk applicato a un’altra retta, che comunque, passa ancora per G. possiamo

concludere dicendo:

“il sistema delle forze peso può sempre essere ridotto al vettore applicato (mgk, G),

indipendentemente dalla direzione di k”

Determinazione del baricentro.

Analizziamo come determinare il baricentro secondo una distribuzione discreta o continua

delle masse:

Distribuzione discreta:

è il caso più semplice. Vogliamo determinare il baricentro di un sistema di masse di due

punti materiali P e P , con rispettive masse m e m . la formula per la determinazione del

1 2 1 2

baricentro si riduce quindi a: m (P – G) = - m (P – G)

1 1 2 2

, dove si nota subito che il baricentro giace all’interno del segmento P P e lo divide in parti

1 2

inversamente proporzionai alle loro masse (vedi figura libro pagina 188).

P G / P G = m / m

1 2 2 1

Nel caso di due massi uguali il baricentro si trova sul punto medio della loro congiungente.

Possiamo concludere che:

“ogni distribuzione omogenea di masse che ammetta un centro di simmetria ha il suo

baricentro che giace sul centro di simmetria”

Distribuzione continua:

tuttavia il caso che si presenta più frequentemente è quello di una distribuzione continua di

masse; lo studio di tale distribuzione necessita di:

1) Individuare la posizione di un elemento della distribuzione mediante indici continui e

non più discreti.

2) Introdurre opportune grandezze densitarie.

3) Sostituire la sommatoria con indice discreti all’integrazione su variabili continue.

Questo ultimo passaggio è una procedura piuttosto complicata, ed è realizzato secondo

un opportuno passaggio al limite che può essere esplicito, o, nel nostro caso e in quello di

fisici e ingegneri, implicito. Questa procedura abbreviata si basa sul concetto di

infinitesimo, cioè di trattare il discreto come se fosse un continuo. 37

Abbiamo quindi delle masse distribuite lungo un dominio D che può essere 1-dimensionale

(linea), 2-dimensionale (superficie) e 3-dimensionale (volume). È necessario quindi,

introdurre un densità di massa μ , che fornisca la massa contenuta all’interno

D

dell’elementino elementare dD, che, a secondà della dimensione di D prenderà il nome di

“densità lineare”, “densità superficiale”, o “densità di volume”.

In generale μ , che per comodità verrà chiamata semplicemente μ, è una funzione della

D

posizione; cioè, dipende dalla posizione del sistema di masse in cui consideriamo dD. Ma

nel caso in cui μ non dipenda dalla posizione, è che quindi è costante rispetto alle

coordinare spaziali, diremo che la distribuzione di massa è “omogenea” (caso più

comune). In questo caso, il baricentro G è definito da:

∫ ∫ ∫

G – O = [ μ (P – O)dD ] / m = (P – O)dD / dD

D D D

E le coordinate di G rispetto a un sistema di riferimento cartesiano con origine in O

valgono: ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

x = xdD / dD, y = ydD / dD, z = zdD / dD

G D D G D D G D D