Fisica generale - Teorema di Gauss

(III)

)

– Flusso del campo elettrico : in modo del tutto analogo a quanto detto per il flusso della







 

velocità di un fluido, il flusso di un campo elettrico uniforme attraverso una

v E

E





superficie piana è definito come

S   

 

 

     

E E S E S

cos

2

N m

L’ unità di flusso elettrico nel SI è ;

C

 

 

            

  

  

1 2 3 2 1

Le dimensioni sono E F Q L M L T Q

Per farsi un’idea intuitiva del flusso è spesso comodo ricorrere

alle linee di forza.

forza Come si vedrà più avanti,

avanti il numero di linee

di forza che attraversano una superficie è proporzionale al flusso

relativo a tale superficie. Questa rappresentazione visualizza bene il flusso ma non è

utilizzabile per i calcoli a causa del carattere discreto delle linee.

linee

Teorema di Gauss – Il flusso del campo elettrico (IV)

Se la superficie attraverso la quale deve essere calcolato il flusso del

campo elettrico è curva

c r a e il campo elettrico varia

aria da punto

p nto a punto

p nto su

s di

essa , occorre dividere la superficie in tanti piccoli elementi, ciascuno

abbastanza piccolo da poter essere considerato piano e tale che su di

esso la variazione di campo

p elettrico sia trascurabile.

Il flusso attraverso la superficie è allora la somma dei singoli contributi

dovuto a ciascuno dei piccoli elementi di superficie.

Facendo tendere a zero le dimensioni di ciascun elemento e a infinito il loro numero, la somma

 

  



diventa un integrale  

        S

ˆ

lim E S E d S E n d

 i i

E  

S 0

i i 

n̂ d S

(dove è un versore normale alla superficie nel punto considerato e diretto come )

 





  

   

    E S

Ossia oppure con notazione equivalente E d S

E d S cos d

 

E E

quindi

Un integrale di questo tipo viene detto Integrale di Superficie 

Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie è l’integrale di superficie di E

esteso alla superficie data 

Quando la superficie di integrazione è chiusa si usa il simbolo per l’integrale per cui si scrive



 



 

  

   oppure E d S

E d S

 

E E

sup S

La superficie chiusa attraverso la quale si calcola il flusso è una superficie immaginaria o

S

ipotetica detta superficie gaussiana che può avere forma o dimensioni qualsiasi.

Se il flusso attraverso una superficie gaussiana è nullo vuol dire, se il campo non è nullo,

che il flusso entrante uguaglia in modulo il flusso uscente.

- Riepilogo s

Misurato dal rapporto tra la lunghezze di un arco

O

di circonferenza di centro compreso tra le due

O r

semirette uscenti da e il raggio della

circonferenza stessa

O La definizione è valida anche per un arco infinitesimo e si può



estendere a un tratto formante l’angolo con scrivendo

ds’ ds

 è anche l’angolo tra le normali a e ed in ogni caso la

ds ds’ r

definizione non dipende dalla circonferenza scelta,

scelta cioè da .

L’ unità di misura dell’angolo piano è il radiante corrispondente all’angolo



s = r s r,

per cui . Se coincide con la lunghezza della circonferenza, 2



l’angolo corrispondente vale 2 radianti che è il valore massimo possibile.

P O

Per un giro completo del punto rispetto al centro lungo qualsiasi linea



chiusa l’angolo vale sempre 2 .

- Riepilogo

Data una superficie e la sua proiezione , elemento di calotta

dS dS

0 O

sferica

f i ortogonale

t l al

l raggio

i uscente

t da

d un punto

t e passante

t per

, si chiama angolo solido infinitesimo la quantità

dS d

Se si considera l’angolo solido sotto cui è vista dal centro tutta la

calotta sferica, si ottiene

E questo risultato è valido per una superficie chiusa di qualsiasi forma

O

che racchiude , cioè l’angolo solido sotto cui un punto interno ad una



superficie chiusa vede la superficie è sempre 4 che è il valore massimo



di . L’ unità di misura dell’angolo solido è lo steradiante

Teorema di Gauss (1)  q

1



Dato il campo di una carica puntiforme ˆ

E r

  r 2

4 0

il flusso attraverso una superficie orientata è

 

  S

q S q S q q

ˆ ˆ d

d d cos

r n

     

0

d d

E        

r r r 2

2 2

4 4 4 4 0

0 0 0 r

( infatti : è la proiezione di su un piano perpendicolare a

dS dS

0 S

d

  0 q

d è l’angolo solido sotto cui è visto dalla carica il contorno )

dS

r 2  q

Il flusso del campo di una carica puntiforme dipende solo dall

dall’angolo

angolo

E

solido e non dalla superficie nè dalla sua distanza

Si noti che quest’ultima proprietà è dovuta al fatto che il campo elettrico

dipende dall’inverso del quadrato della distanza dalla carica puntiforme

se così non fosse tale proprietà non sarebbe più vera.

q

Tracciata da una serie di semirette che definiscono un cono infinitesimo



q

con vertice in , il flusso di è lo stesso per qualsiasi superficie il cui

dS

E

contorno si appoggi sulla superficie laterale del cono in quanto

 

S S

S S

d d

d cos d cos

     

2 , 0

1

, 0 

2 2

1 1

d r r r r 2

2

2

2 2

2

1

1

È importante sottolineare ancora ( “repetita

repetita… “seccant”

seccant sed,

sed saepe,

saepe iuvant

iuvant”!!!

!!! ) che

La dipendenza del flusso esclusivamente dall’angolo solido è conseguenza del fatto

r 2

che a denominatore dell’espressione del campo compare : qualunque altra

dipendenza NON avrebbe portato all’espressione di sopra per il flusso S

Il flusso del campo elettrico di una carica puntiforme attraverso una superficie finita è

 q q

 

       

S q

ˆ d d

E n ( è l’angolo solido sotto cui è visto dalla carica il contorno della

    

E 4 4 S

superficie )

S S

0 0

Teorema di Gauss (2)

A partire dal risultato in base al quale Il flusso del campo elettrico di una carica puntiforme attraverso

S

una superficie finita è  q q

 

      

S

ˆ

E n d d

    

E 4 4

S S

0 0

 q S

( angolo solido sotto cui è visto dalla carica il contorno della superficie )



Si può calcolare il flusso di attraverso una superficie chiusa distinguendo due casi:

E   S

Carica Interna tutti i contributi si sommano in quanto hanno

E n̂ d S

sempre lo stesso segno in qualsiasi punto di per cui

 q q q

  

      

S

ˆ

E n d d 4

     

E 4 4

S S

0 0 0

Carica Esterna si consideri un cono elementare che sottende l’angolo solido d

e che

h stacca sulla

ll superficie

fi i chiusa

hi d

due elementi

l i e con l

le orientazioni

i i i dei

d i

dS dS

  1 2

   

S S

ˆ ˆ

versori normali tali che su e su per cui

E n d 0 E n d 0

dS dS

1 2

1 2



  q

     

S

ˆ

d E E n d d

   

 

1 1 1 4     

0 d E d E 0

1 2

 

  

q

       

S

ˆ

d E E n d d d E

 

2 2 2 1

4 0

Integrando

g su tutta la superficie

p chiusa si ottiene:





   

S

ˆ

E n d 0



E S

Teorema di Gauss (3)

Le relazioni 

 q

  Carica Interna

E ε 0





  Carica Esterna

E 0

si possono cosi` riassumere

Il flusso

fl totale

l attraverso una superficie

fi i chiusa

hi d

del

l campo

 se la carica è

elettrico di una carica puntiforme vale

q q/ 

interna alla superficie e vale zero se la carica e

e` esterna

Teorema di Gauss (4)

Nel caso di piu

piu` cariche puntiformi per il principio di sovrapposizione (la legge

di Coulomb ha natura vettoriale) e per la proprieta` additiva degli integrali si

ha 

   

 

 

  

      





ˆ ˆ ˆ

E E n dS E n dS E n dS

i i



 i i



Ci

Ciascun i

integrale

t l vale

l se la

l carica

i è interna

i t alla

ll superficie

fi i e vale

l zero se

q / 

i

per cui

la carica è esterna 

  

1 

   

q

E i

ε  

i

0 interne S.

dove la somma è estesa a tutte e alle sole cariche interne a  x, y, z)

Se il campo è generato da una distribuzione continua di carica



 1  

  x y z V

E ( , , ) d

ε V S

0 ( ) V S

dove l’ integrale esteso al volume racchiuso dalla superficie rappresenta

S

sempre la carica totale contenuta all’interno di .

Teorema di Gauss (4)

L

Le due

d ultime

lti espressioni

i i trovate

t t per il flusso

fl d

del

l campo elettrico

l tt i e cioè

i è



  

1 

   

q

E i

ε  

i

0 interne

S

(somma estesa a tutte e alle sole cariche interne a )



 1  

  x y z V

E ( , , ) d

ε V S

0 ( )

V S

(integrale esteso al volume racchiuso dalla superficie che contiene la distribu