Fisica generale - Teorema di Gauss

Teorema di Gauss

Teorema di Gauss – Il flusso del campo elettrico (I)

– La Legge di Gauss (nota anche come Teorema di Gauss) è espressa in termini del flusso

del campo elettrico detto anche flusso elettrico.

– Concetto di Flusso: introdotto originariamente in meccanica dei fluidi dove il flusso è

legato alla quantità di fluido che passa attraverso una data superficie immaginaria.

i. dal campo

– 

Flusso di un campo vettoriale dipende ii. dalla superficie rispetto alla quale viene calcolato

– Per determinare il flusso attraverso una data superficie, quest’ultima viene rappresentata

tramite un vettore superficie

 S



Il vettore superficie

p per

p una superficie

p ha intensita` p

pari

S

all’area della superficie e direzione perpendicolare alla superficie

stessa ed e` orientato da quel lato della superficie per cui, fissato

un verso di percorrenza sulla linea che la circonda, quest

quest’ultima

ultima

e` vista essere percorsa in senso antiorario (regola mano destra).



– Un tipo particolare di campo è il campo delle velocità di un fluido:

v

si può trattare della velocità del vento (esempio visto in precedenza) o della velocità

dell’acqua che scorre in un tubo. Si vuole sapere quale è il flusso del fluido, inteso come

volume del fluido che attraversa nell’ unità di tempo una data superficie perpendicolare

alla direzione del moto. Ciò si può ottenere moltiplicando il modulo

del vettore velocità per la superficie in gioco.

Teorema di Gauss – Il flusso del campo elettrico (II)





Se la superficie attraverso la quale si vuole calcolare il flusso non è

S 

perpendicolare alla velocità del fluido occorre proiettare la superficie

v 

 '

in questione su una superficie perpendicolare alla direzione del moto

S

  

  

'

tale che (V. fig.) .

S S cos  



   

    

      

Il flusso del vettore è allora cioè è

v

v v v S cos v S



v

dato , nel caso che sia ovviamente uniforme, dal prodotto scalare fra



 

il vettore e il vettore che rappresenta la superficie in questione.

questione

v S

Bisogna osservare che la direzione del vettore superficie è definita in modo ambiguo poichè ci

sono due direzioni perpendicolari ad una superficie piana, una opposta all’altra e anche la

regola che lega il verso di percorrenza della linea che circonda la superficie con il verso del

vettore superficie non aiuta a risolvere l’ambiguità. Nel caso del flusso di un fluido si sarebbe

benissimo prendere il verso puntante verso l’interno per la superficie attraverso cui si è

calcolato il flusso della velocità del fluido: sarebbe solo cambiato il segno del flusso.

L’ambiguità può essere eliminata quando la superficie è chiusa, cioè

quando essa racchiude un volume (V. fig.) . 



Nel caso di una superficie chiusa si sceglie la direzione di per ciascuna

S





faccia della scatola in modo che sia rivolto verso l’esterno del volume.

S

Teorema di Gauss – Il flusso del campo

p elettrico (

(III)

)

– Flusso del campo elettrico : in modo del tutto analogo a quanto detto per il flusso della







 

velocità di un fluido, il flusso di un campo elettrico uniforme attraverso una

v E

E





superficie piana è definito come

S   

 

 

     

E E S E S

cos

2

N m

L’ unità di flusso elettrico nel SI è ;

C

 

 

            

  

  

1 2 3 2 1

Le dimensioni sono E F Q L M L T Q

Per farsi un’idea intuitiva del flusso è spesso comodo ricorrere

alle linee di forza.

forza Come si vedrà più avanti,

avanti il numero di linee

di forza che attraversano una superficie è proporzionale al flusso

relativo a tale superficie. Questa rappresentazione visualizza bene il flusso ma non è

utilizzabile per i calcoli a causa del carattere discreto delle linee.

linee

Teorema di Gauss – Il flusso del campo elettrico (IV)

Se la superficie attraverso la quale deve essere calcolato il flusso del

campo elettrico è curva

c r a e il campo elettrico varia

aria da punto

p nto a punto

p nto su

s di

essa , occorre dividere la superficie in tanti piccoli elementi, ciascuno

abbastanza piccolo da poter essere considerato piano e tale che su di

esso la variazione di campo

p elettrico sia trascurabile.

Il flusso attraverso la superficie è allora la somma dei singoli contributi

dovuto a ciascuno dei piccoli elementi di superficie.

Facendo tendere a zero le dimensioni di ciascun elemento e a infinito il loro numero, la somma

 

  



diventa un integrale  

        S

ˆ

lim E S E d S E n d

 i i

E  

S 0

i i 

n̂ d S

(dove è un versore normale alla superficie nel punto considerato e diretto come )

 





  

   

    E S

Ossia oppure con notazione equivalente E d S

E d S cos d

 

E E

quindi

Un integrale di questo tipo viene detto Integrale di Superficie 

Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie è l’integrale di superficie di E

esteso alla superficie data 

Quando la superficie di integrazione è chiusa si usa il simbolo per l’integrale per cui si scrive



 



 

  

   oppure E d S

E d S

 

E E