Fisica generale - Meccanica e conservazione della quantità di moto

MECCANICA

DINAMICA

Conservazione della Quantità di Moto

Urti

Si

Sistemi

t i di Punti

P ti Materiali

M t i li

MECCANICA

Quantità di Moto – Introduzione

La II Legge di Newton,

Newton come noto,

noto si può scrivere come



 d

 v

 

m m

F a d t

Se la massa è costante l’equazione sopra si può scrivere come

m  d 

 (m )

F v

d t



Se si definisce quantità di moto di un punto materiale come il prodotto della sua

p



massa per la sua velocità

m v  

 m

p v

Allora la II Legge di Newton può essere scritta nella forma



 d p



F d t

Ovvero

La rapidità di variazione temporale della quantità di moto di un punto materiale è

uguale alla forza esterna risultante agente sul punto materiale. 

La quantità di moto è una grandezza vettoriale diretta nella direzione e verso di v

 

  m



 1

p M L T

e ha dimensioni e si misura in nel SI.

kg s

MECCANICA

Quantità di Moto e Impulso (I)

Dall’equazione

q 

 d p



F d t

Si vede che,

che se la forza risultante è nulla,

nulla la quantità di moto di un punto materiale



è costante: in altre parole la quantità di moto si conserva quando per cui, nel

 0

F

caso di un punto materiale isolato, cioè tale da non interagire con l’ambiente

 

circostante, è necessariamente e q

quindi rimane costante.

 0 p

F

Questo risultato ovviamente può essere ottenuto direttamente dalla II Legge di

Newton in quanto se la forza è nulla l’accelerazione è nulla e la velocità resta

costante.

L’equazione

L equazione di sopra può essere anche scritta come



 

d dt

p F

ed integrando questa espressione, si ottiene la variazione di quantità di moto del

 

punto

p materiale. Se la q

quantità di moto è all’istante e all’istante ,

t t

p p

i f

i f

integrando si ottiene 

   t



    

f dt

p p p F  

f i t

La quantità a destra in quest’ultima equazione definisce l’impulso della forza

i I F

t

nell’intervallo

ll’i t ll di tempo

t . L’impulso

L’i l è quindi

i di un vettore

tt d

definito

fi it dall’equazione

d ll’ i

= t - t

f i   

t



  

f dt

I F p

t i

Cioè vale il Teorema dell’ Impulso , equivalente alla II Legge di Newton



L’impulso della forza è uguale alla variazione della quantità di moto del punto

F

materiale MECCANICA

Quantità di Moto e Impulso (II)

Dalla sua definizione è evidente che l

l’impulso

impulso è un vettore il cui modulo è uguale

all’area sottesa dalla curva forza-tempo (fig.(a)). In generale si può assumere che la

forza vari nel tempo con un andamento “a campana” diverso da zero

p . La direzione dell’impulso

p è la stessa

nell’intervallo di tempo t = t - t

f i

della variazione della quantità di moto e, inoltre, l’impulso ha le

 

   

dimensioni di una quantità di moto e cioè .



  1

I p M L T

Occore notare che l’impulso non è una proprietà del punto materiale

ma è una quantità che misura l

l’entità

entità della variazione della quantità

di moto per effetto di una forza esterna. Quindi, quando si imprime

un impulso ad un punto materiale, ciò significa che una certa

quantità

q di moto viene trasferita da un agente

g esterno ad un p

punto

materiale o viceversa. Per questo motivo spesso la parola “impulso”

viene usata come sinonimo di quantità di moto.

Poichè in generale la forza varia con il tempo come mostrato in

fig

fig.(a),

(a) è conveniente definire una forza media (media temporale)

 

1 t



 

f dove .

dt t = t - t

F F

MEDIA f i

 t t i

  

 t



Si può quindi scrivere     

f dt t

I p F F

MEDIA

t i

Questa forza media, indicata in fig.(b), può essere immaginata come la forza

costante che, nell’intervallo di tempo imprimerebbe al punto materiale lo stesso

t,

impulso impresso dalla forza variabile che, se nota in funzione del tempo, in linea di

principio, permetterebbe di calcolare l’impulso.

MECCANICA

Quantità di Moto e Impulso (III)

Il calcolo è particolarmente semplice se la forza che agisce sul punto materiale è

 

costante. In questo caso e quindi



F F

MEDIA  



    t

I p F approssimazione impulsiva

In molte situazioni reali si adopera la cosiddetta nella quale

Si assume che una delle forze agenti sul punto materiale agisca per un breve

intervallo di tempo ma sia molto più intensa di tutte le altre forze agenti.

Questa approssimazione è molto utile nello studio degli urti, cioè quando la durata

forza impulsiva

dell’interazione è molto breve e, in questo caso, la forza è detta .

Per esempio

p q

quando una p

palla da g

golf viene colpita

p dalla mazza la durata dell’impulso

p è

dell’ordine di e la forza media esercitata dalla mazza durante questo intervallo



4

10 s

di tempo è tipicamente 4 ordini di grandezza più grande del peso della palla. La forza

di gravità quindi può essere trascurata e l’approssimazione impulsiva è giustificata.

MECCANICA

Quantità di Moto e Impulso (IV)

Esempio – Pallina da golf

Un giocatore colpisce una pallina da golf con l’apposita

mazza. Se la pallina ha una massa e raggio

m = 45 g r = 2,0 cm

e se è noto che con una tipica mazza si ottiene mediamente

una gittata di circa , assumendo che la pallina si

R 190 m

stacchi da terra con un angolo rispetto al piano

 0

= 13

orizzontale, si possono fare le seguenti stime per

a)

) Intensità

à dell’impulso

d ll’ l



l’impulso è pari alla variazione della Quantità di Moto

I

della pallina

t p

I = F =

x media x x

L

La pallina

ll nella

ll posizione prima e dopo

d l’

l’urto con la

l mazza

è rappresentata nella figura a fianco. Se è la velocità

v

0

della pallina quando lascia la mazza, .

p = mv

x 0

può essere valutata dall’equazione per la gittata di un proiettile per cui

R

v

0 

2

2 2

190 m 9

,

81 m/s m m

v

v Rg

             

f 0

sen 2 θ sen 2 θ 65

, 2 I p 0

,

045 kg 65

, 2 2

,

9 N s

R v mv

0 0 0 0

0 x x

sen 2 θ sen 26 s s

g g 0

b) Durata dell’ urto t

Se si considera che

h la

l pallina

ll durante il

l contatto con la

l mazza ha

h una velocità

l à media e

v /2

0

che si può stimare che resti a contatto della mazza per un percorso per cui

x = r = 2,0 cm

  

2 2 0

,

02 m

x x 

      4

6

,

1 10 s

t m

v v 65

, 2

0 s

c) Intensità della forza media



I 2

,

9 N s

  

F 4

,

8 kN

x

media 

  4

6

,

1 10 s

t MECCANICA

Conservazione della Quantità di Moto (I)

Sistema di due Punti Materiali

Dati due punti materiali che interagiscono fra loro ma che sono isolati dall’ambiente

esterno, cioè due punti materiali che esercitano forze uno sull’altro ma che non

risentono di alcuna forza esterna).

Si supponga che, ad un certo istante , la quantità di moto del

t

 

punto materiale sia e quella del punto materiale sia .

1 2

p p

1 2

Applicando la II Legge di Newton a ciascun punto materiale si

ottiene:

tti  

 

d d

p p



 1 2

F F

21 12

dt dt



dove è la forza agente sul punto materiale (esercitata dal

1

F 

21

punto

t materiale

m t i l ) e è la

l forza

f agente

t sul

l punto

t materiale

m t i l

2 2

F

12

(esercitata dal punto materiale ). Per la III Legge di Newton

1

(indipendentemente dalla natura – gravitazionale, elettrica etc.-

 

gioco)

g ) e devono essere uguali

g in modulo e

delle forze in F F 



12 21

direzione ma di verso opposto e cioè formare una coppia di azione e reazione  

F F

12 21

Questa condizione può essere scritta

 

  0

F F

21 12

  

d d d  

 

p p quantità di moto totale del

o anche e definita  

    ( )

1 2 ( ) 0 P p p

p p 

1 2

1 2

dt dt dt  d d

   

P

sistema

, è evidente che deve essere dato che

     

( ) costante ( ) 0

P p p p p

1 2 1 2

dt dt

Il fatto che la quantità di moto totale del sistema di due punti materiali interagenti

resti costante costituisce il Principio di Conservazione della Quantità di Moto

MECCANICA

Conservazione della Quantità di Moto (II)

Sistema di due o più Punti Materiali

  

L’equazione vettoriale è equivalente a tre equazioni scalari . Ciò

  

( ) costante

P p p

1 2 le

significa che essa, scomposta nelle sue tre componenti, esprime il fatto che

quantità di moto nelle tre direzioni , si conservano indipendentemente cioè

x,

x y z

  

P P , P P , P P

i f i f i f

x x y y z z

Conservazione della quantità di moto

Questa è la legge di che si può esprimere come

Se due punti materiali di masse e formano un sistema isolato, la

m m

1 2

quantità di moto totale del sistema si conserva,

conserva qualunque sia il tipo di

forze di interazione (purchè queste obbediscano alla III Legge di Newton).

Più semplicemente, nell’urto di due punti materiali la quantità di moto

totale si conserva, purchè questi costituiscano un sistema isolato.

  

L’equazione vettoriale applicata al sistema costituito dai punti

  

( ) costante

P p p    

1 2

materiali e con velocità iniziali e e velocità ad un istante successivo e

1 2 v v v v

1

i 2 i 1 f 2 f

conservazione della quantità

à di moto totale

permette di esprimere la di questo

   

isolato

sistema nella forma   

m v m v m v m v

1 1

i 2 2 i 1 1 f 2 2 f

   

  

p p p p

1

i 2 i 1 f 2 f

isolato uguale a quella iniziale

cioè la quantità di moto di un sistema è sempre

MECCANICA

Conservazione della Quantità di Moto (III)

Sistema di du