Fisica generale - la meccanica statica

L

La seconda

d condizione

di i stabilisce

t bili l’ :

L’accelerazione angolare del corpo rispetto ad un asse qualsiasi deve essere nulla

MECCANICA

Cenni di Statica (II)

 

 

 

Le due equazioni

q vettoriali e sono equivalenti

q a sei equazioni

q scalari relative

F τ

0 0

i i

i

i

alle tre componenti di ciascuna equazione vettoriale.

In quanto segue, per evitare la difficoltà matematica di dover risolvere sistemi di equazioni lineari

molte

m incognite

g a causa della p

presenza di p

più f

forze agenti

g in direzioni diverse,

, si tratterà solo il

in coplanari stesso

caso in cui tutte le forze sono , cioè giacenti sullo piano, identificato come il piano

.

xy

In questo caso il sistema si riduce a solo 3 equazioni scalari:  

  

2 equazioni relative al bilancio delle forze nelle direzioni e F F

x y 0 ; 0

x y

i i

1 equazione esprimente la condizione che, rispetto ad un 

i i

   0

qualsiasi punto del piano il momento risultante è nullo z

xy i

i

Per quanto concerne la terza equazione è importante osservare che i momenti possono essere

qualunque

calcolati intorno ad un asse . 

 

Si consideri un corpo su cui agiscono più forze tali che la loro risultante sia nulla F 0

 i

Fissato un polo se il punto di applicazione della generica forza ha

F

O, i 



  

 

i   

vettore di posizione , il momento risultante rispetto a è allora

r τ τ r F

O O O

i i i

i



i i

p ad un altro p

punto g

generico avente rispetto

p ad vettore p

posizione la posizione

p

rispetto r '

O’ O

 



dell’ i-esimo punto di applicazione della forza è per cui il momento risultante è

r r '

  

  i

   

 

   

       

τ τ r r F r F r F

' '

' ' i i i i i

O O i 

  

 



i i i i

    se

 

ma

ma, poichè la forza risultante , si ottiene per cui

τ r F τ

F F 0 O

' i i

O

i i

i

un corpo è in equilibrio traslazionale e il momento risultante è nullo rispetto ad un asse, è

anche nullo rispetto a qualsiasi altro asse.

MECCANICA

Cenni di Statica (III)

occorre attrazione gravitazionale

Nell’analizzare il moto dei corpi rigidi considerare la forza di e

punto di applicazione

quindi conoscere il suo , dimodochè l’insieme delle forze gravitazionali che

unica

agiscono

g sugli

g elementi di massa siano equivalenti

q ad un’ forza che agisce

g in tale p

punto.

dm

Per calcolare la posizione del punto di applicazione si può procedere in una maniera analoga a

quanto si è fatto per calcolare le coordinate del centro di massa di un sistema di punti materiali.



Si supponga che l’accelerazione sia uniforme su tutto il corpo: ogni elemento di massa ha

g dm



coordinate ed è sottoposto ad una forza peso pari a per cui indicando con il

m g

x,

x y,

y z (d ) CG

centro di gravità si ottiene per la coordinata :

x

CG

 

g m x x m

d d 1  ( 

     massa totale

x x m

x M m

dove si è posto del corpo)

d d

 

CG CM M

g m m

d d

e analogamente e .

y = y z = z

CG CM CG CM

Inoltre, fissata un’origine come punto cardine per il calcolo del momento della forza peso, il

O

peso di ogni elemento di massa contribuisce al momento risultante con il prodotto del braccio

dm 

per il suo peso: ad es. il momento della forza peso dovuto all’elemento di massa è .

m g x

(d )

dm

Se, considerando il corpo come un punto materiale di massa totale posto nel baricentro, si

M

eguaglia

g g il momento del p

peso totale applicato

pp al baricentro con la somma dei momenti dei p

pesi degli

g

elementi di massa da cui è costituito il corpo, si può calcolare la coordinata del baricentro

dm 1

 

   

Mg x m g x x x m x

d d

GC CG CM

M

E quindi, confrontando con quanto sopra ottenuto si ottiene che data un’accelerazione di gravità



uniforme , il centro di gravità (o baricentro) di un corpo coincide con il suo centro di massa .

g MECCANICA

Equilibrio

q di un sistema e diagrammi

g energetici

g (

(I)

)

Le posizioni di equilibrio di un siatema possono essere individuate mediante

considerazioni energetiche e più precisamente studiando un grafico della sua

energia

g p

potenziale.

A titolo di esempio si consideri la funzione energia potenziale per un sistema

costituito da una massa e una molla data da (V. fig. (a)).

1



U k x 2

2

Come noto la forza esercitata dalla molla è data da

F U

d

   

F k x

x

d

Quando la massa si trova nella posizione di equilibrio della molla (x dove resta ferma a

F

= 0), = 0,

meno che non agisca su di essa una forza esterna .

F

est

Se la forza esterna allunga la molla spostandola dalla posizione di equilibrio, è positiva e la

x

U

d

pendenza è positiva per cui la forza esercitata dalla molla è negativa e la massa accelera

x

d

verso Se

S la

l forza

f esterna

t comprime

mp im la

l molla,

m ll è negativa,

ti l

la pendenza

p d è negativa

ti e di

x x

= 0.

0

conseguenza è positiva e anche in questo caso la massa accelera verso

F x = 0.

In definitiva la forza di richiamo esercitata dalla molla è diretta sempre verso per cui si può

x = 0

equilibrio stabile

concludere che la posizione per un sistema massa-molla è una posizione di ,

x = 0

ci

cioè

è ogni

ni spostamento

sp st m nt da

d questa

qu st posizione

p sizi n genera

n un

una forza

f z di richiamo

ichi m verso

v s x = 0.

0

equilibrio stabile

In generale le configurazioni di di un sistema sono quelle per cui del sistema

U(x)

minima

è .

Un esempio

s mp o di un a

altro

tro s

sistema

st ma m

meccanico

ccan co ch

che amm

ammette

tt una conf

configurazione

guraz on di equilibrio

qu r o sta

stabile è

costituito da una pallina libera di scorrere sul fondo di una ciotola. Se si sposta la pallina dalla

posizione più in basso e la si lascia libera , la pallina tende a tornarvi.

MECCANICA

Equilibrio

q di un sistema e diagrammi

g energetici

g (

(II)

)

Se si considera un punto materiale che si muove lungo l’asse sotto l’azione di

x

una forza conservativa il cui diagramma dell’energia potenziale è

F

x

rappresentato

pp in figura,

g , ragionando

g come sopra

p si trova che p

per deve

x = 0

U

d

essere per cui in tale posizione il punto materiale è in equilibrio.

  

F 0

x x

d equilibrio instabile

Tale posizione è però una posizione di infatti se si sposta il punto materiale

U

d

dU

verso destra

d t (x

( dato

d t che

h la

l pendenza

d è negativa

ti per i trova

t che

h e quindi

i di

  

x F

> 0),

0) > 0,si

0 0

x x

il punto materiale accelera allontanandosi dalla posizione di equilibrio. d

U

d

Se si sposta il punto materiale verso sinistra (x trova che dato che la pendenza

  

F

> 0),si 0

x x

d

è positiva e anche in questo caso il punto accelera allontanandosi dalla posizione di equilibrio .

equilibrio

Si può quindi concludere che in questa situazione la posizione è una posizione di

x = 0

instabile poichè per ogni spostamento la forza spinge il punto materiale sempre più lontano

dall’equilibrio verso una posizione di energia potenziale minore.

Ad

d esempio, una matita appoggiata in bilico

bl sulla

ll sua punta è in una posizione di

d equilibrio

lb

instabile: se la matita viene spostata leggermente dalla sua posizione rigorosamente verticale e

quindi lasciata andare, cadrà sicuramete

equilibrio instabile

In generale,

generale le configurazioni di di un sistema sono quelle per le quali del

U(x)

massima

sistema è . equilibrio indifferente

Infine una configurazione di isi verifica quando è costante in una data

U(x)

regione. Piccoli spostamenti di un corpo da una posizione in questa regione non provocano alcun

tipo di forza.

Ad esempio, una pallina appoggiata su un piano orizzontale è un esempio di corpo in una posizione

di equilibrio indifferente. MECCANICA

Esempi di Corpi Rigidi in Equilibrio Statico (I)

Un

Un’altalena

altalena costituita da una tavola uniforme di massa e lunghezza

M l

sostiene padre e figlia di massa, rispettivamente e . Il supporto

m m

p f

fulcro

(detto anche ) è proprio sotto il baricentro della tavola ed il

padre e la figlia si trovano, rispettivamente a distanze e dal

d l /2

centro.

centro 

a) Si determini la reazione che il fulcro esercita sulla tavola.

n sia bilanciata

b) Si determini dove deve stare seduto il padre affinchè l’altalena

Sol. a) Dato che il sistema è in equilibrio la risultante delle forze esterne deve essere nulla per

cui, scelto l’asse diretto verso l’alto, deve essere :

y    

            

n m g m g Mg n m g m g Mg m m M g

0

p f p f p f

b) Dato che il sistema è in equilibrio anche la risultante dei momenti delle forze esterne deve

essere nulla per cui, scelto l’asse diretto verso l’alto, deve essere :

y m

   

f

       

τ τ m g d m g d

0 0

p f p f m

2 2

p

 

 

   

τ d g

m m g d

p p p p

 

  



    

τ g

m m g

f f f f

2 2

MECCANICA

Esempi di Corpi Rigidi in Equilibr