Fisica generale II - formulario, quarta parte

FORMULARIO DI FISICA II

• Campi elettrici
• Legge di Gauss
• Potenziale elettrico
• Calcolo del campo elettrico e del potenziale: casi particolari
• Capacità, condensatori e dielettrici
• Calcolo della capacità di alcuni condensatori particolari
• Sistemi di più condensatori
• Energia immagazzinata in un condensatore carico

Beatrice Meucci

FORMULARIO DI FISICA II

• Campi elettrici
• Legge di Gauss
• Potenziale elettrico
• Calcolo del campo elettrico e del potenziale: casi particolari
• Capacità, condensatori e dielettrici
• Calcolo della capacità di alcuni condensatori particolari
• Sistemi di più condensatori
• Energia immagazzinata in un condensatore carico

Beatrice Meucci

Formulario di Fisica II

Campi Elettrici: CONSERVATIVI!

• F_e = k_e |q₁| |q₂| / r_q² [C] FORZA ELETTRICA DI COULOMB

  • k_e = 8.98845 x 10⁹ N m² / C²

  • k_e = 1 / (4πε₀) COSTANTE DI COULOMB

  • |e| = 1.602 x 10^-19 C CARICA DI UN ELETTRONE O DI UN PROTONE

  • ε₀ = 8.8542 x 10^-12 C² / N m² COSTANTE DIELETTRICA DEL VUOTO

• E̅ = F_e / q₀ [N / C] CAMPO ELETTRICO

• q₀ è la carica di prova su cui agisce il campo E

• E̅ = F_e / q₀ = k_e q * q₀ / (q₀ r²) Ke (q / r²)

• E̅ = k_e q / r² CAMPO ELETTRICO MONICO

• q > 0 ➔ E̅ USCENTE DA q
• q < 0 ➔ E̅ ENTRANTE IN q

• Densità di Carica

  • ρ = Q / V [C / m³] VOLUMETRICA

  • σ = Q / A [C / m²] SUPERFICIALE

  • λ = Q / l [C / m] LINEARE

_a = ^qE/_m

accelerazione di una carica q all'interno di un campo elettrico E

(dim. su 2 m)

_Φe = EA

flusso del campo elettrico se E ed dA sono paralleli.

(Il flusso è uno scalare)

_Φe = ∫_S EdA

definizione generale di flusso elettrico

integrale di superficie

_Φe = ^q_int/_εo

q_int è la carica tot. all'interno della superficie gaussiana.

flusso del campo elettrico attraverso una superficie qualunque chiusa che racchiude una carica puntiforme q.

_Φe = ∮ EdA = ^q_int/_εo

LEGGE DI GAUSS ←

Flusso tot. attraverso una qualunque superficie chiusa è pari a q_int:

È = campo elettrico in ogni punto della superficie

q_int = carica tot. interna alla superficie di Gauss.

E = k_e ^q/_r²

campo elettrico generato da una carica puntiforme q

E = k_e ^q/_r²

E = _keq / ^R2

​Il campo varia come 1 / r² alla di fuori della sfera con carica puntiforme q al centro.

Il campo varia in modo lineare al raggio all'interno della sfera (di raggio "R")

E = 2ke λ / r

il campo varía come 1 / r

campo elettrico generato da una distribuzione di carica a simmetría cilindrica

E = σ / 2ε₀

campo elettrico generato da una lastra uniformemente carica (a distanze qualsiasi dalla lastra)

E = σ / ε₀

campo elettrico nella regione compresa tra due lastre uniformemente cariche (uguali, una con σ e l'altra con -σ.

al di fuori della regione tra le lastre, il campo e E = 0

E = ϕ

il campo elettrico all'interno di un conduttore in equilibrio elettrostatico deve essere nullo

E = ϕ infatti, qualunque carica q del conduttore deve trovarsi sul bordo del conduttore stesso.

VB - VA = ke q [1/rB - 1/rA]

• rB = distanza della carica dal punto B
• rA = distanza della carica dal punto A
• q = carica che genera il potenziale

V = ke q/r

Potenziale elettrico creato da una carica puntiforme ad una distanza r dalla carica

V = ke ∫ dq/r

Potenziale elettrico in un punto P del campo creato da un elemento infinitesimo di carica dq che dista r da P

(V = 0 quando P è infinitamente lontano dal elemento di carica)

Le superfici di un conduttore all'equilibrio, carico, sono equipotenziali (V è il stesso tutta la superficie)

Tutte le cariche in eccesso sono sul bordo sulla superficie del conduttore

All’interno del conduttore E = 0

Il potenziale all’interno del conduttore e sulla superficie è lo stesso

Er = - dV/dr

potenziale costante all'interno della sfera conduttiva

Il potenziale V decresce come ¹/_r

Andamenti del potenziale e del campo elettrico in una sfera conduttrice di raggio R.

campo elettrico decresce come ¹/_r² quindi più velocemente del potenziale)

Il campo elettrico è nullo all'interno della sfera conduttrice.

MINI RIPASSO DI CAMPI ELETTRICI E POTENZIALI IN ALCUNI CASI PARTICOLARI

• tx = ke ¹/_x(x-L)

CAMPO GENERATO DA UNA DISTRIBUZIONE LINEARE DI CARICA A SU UN ANTO P (lungo l'asse X) A DISTANZA X. davanti scoccia...

Campo diretto su lungo

... Attenzione: quando hai campi ... diretti nel lungo X o solo lungo Y, devi considerare sempre ... le componenti cos θ e sin θ ...

• tX = ke X (x²+q²)^3/2 Q

CAMPO È DIRETTO SOLO LUNGO X PER... DELL 'ENCICLEMENTE CAMPO E = 0

ALL'INTERNO DELL’ANELLO IL CAMPO E = 0

CAMPO ELETTRICO IN UN PUNTO P DELL’ASSE X DA UN ANELLO UNIFERENTEMENTE CARICO DI RAGGIO “R”

le componenti lungo x (in blue) si sommano quelle lungo y (in rosso) si annull... case

Campo calcolato in un punto P di coordinate (X,0) posto lungo l'asse x (asse di simmetria del disco).

Campo elettrico generato da un disco di raggio R pieno (di densità superficiale di carica uniforme σ) con all'interno un anello di raggio r.

E fuori dal filo

Superficie gaussiana cilindrica di raggio r

Filo rettilineo infinitamente lungo con carica Q per unità di lunghezza λ.

Campo elettrico generato a distanza r da una distribuzione in carica a simmetria cilindrica (cioè un segmento carico di ampiezza infinita, m.=2 π).

Campo elettrico di una sfera isolata di raggio R con carica tot. Q all'esterno della sfera.

Campo elettrico di una sfera isolata di raggio R con carica tot. Q all'interno della sfera.

C = 4πε ₀ ( r₂ r₁) / ( r₂ - r₁ )

Se la sfera interna possiedecarica positiva, il campo elettrico trale due sfere è radiale uscente.

3º Caso

Condensatore Piano

Armature caricate Q delcondensatore a distanza "d"l'una dall'altra

ΔV = Ed = σd / ε₀σ = Q / AΔV = Qd / Aε₀

Φ = QQ / ΔV = Aε₀ / d

C = ε₀A / d

La capacità in un condensatorepiano dipende dalla distanzatra le armature inversamente,mentre dipende direttamentedalla superficie "A" di ciascunaarmatura

Maggiore è lasuperficie in ciascunaarmatura, maggiore sarà la capacitàdel condensatore.Maggiore sarà la vicinanza diminore sarà la capacità dellecondensatore.

4º Caso

Condensatore a Simmetria Cilindrica

Campo elettricodiretto radialmente versol'esterno

Due cilindri concentrici dicariche + Q e -Q e diraggi r₁ e r₂ (con r₂ > r₁)

Per semplicità si prende unsuperfici gaussiani cilindrica di raggior est, part'ichi'orest,...

ρ è la densità dicarica volumica del cilindrointerno.

Φ_E = ∫Eds = Qint (teo Gauss).

E2πrℓ = ¹/_ε0 qint = E= ^p/_2ε0 ℓ

→ E= ^p/_2ε0 ℓ

→ Fr= ^p/_2ε0 r²/_r

Quindi:

ΔV = -∫_r1^r₂ Edr = ∫_r1^r₂ p n²/2ε₀ Em(^r₂/_r1)

C = ^Q/_ΔV = 2ε₀ ℓ/em (^r₂/_r1)

C = 2πε₀ ℓ/em (^r₂/_r1)

CAPACITA’ DI UN CONDENSATOREA SIMMETRIA CILINDRICA (lungi da due cilindri concentrici di carico) ℓ - L - Φ

La capacita’ è proporzionalimale alla lunghezza deidue cilindri e dipende anchedai loro raggi.

se R₁ e R₂,

Se il cilindro internopossiede carica positivail campo E tra i due cilindrie radiale uscente.

SISTEMI DI PIÙ CONDENSATORI

CONDENSATORI IN PARALLELO - STESSA TENSIONE

ΔV₁ = ΔV₂ = ΔV

• Stessa tensione ai capi dei condensatori connessi in parallelo
• Capacità equivalente maggiore di ciascuna capacità presente nel circuito

Q = Q₁ + Q₂

• La carica tot. ai condensatori connessi in parallelo è la somma delle cariche su ciascun condensatore

CONDENSATORI IN SERIE - STESSA CARICA (STESSA CORRENTE)

Q₁ = Q₂ = Q

• Stessa quantità di carica sui condensatori connessi in serie
• La capacità equivalente è minore di ciascuna capacità connessa nel circuito

¹/_Ceq = ¹/_C1 + ¹/_C2

C_eq = C₁ · C₂ / (C₁ + C₂)

ΔV = ΔV₁ + ΔV₂

• La tensione tot. ai capi di un qualunque numero di condensatori in serie è uguale alla somma delle tensioni ai capi dei singoli condensatori