Fisica generale I - meccanica dei fluidi

UN FLUIDO E’ UNA SOSTANZA, LIQUIDA O GASSOSA, CHE HA LA PROPRIETA’ DI NON AVERE UNA FORMA PROPRIA.

I LIQUIDI HANNO UN PROPRIO VOLUME, MENTRE I GAS TENDONO AD OCCUPARE TUTTO IL VOLUME A LORO DISPOSIZIONE.

LA DENSITA’ DI UN LIQUIDO E’ MOLTO MAGGIORE DI QUELLA DI UN GAS.

SI PARLA DI DENSITA’ DI UN FLUIDO PULVISCOLO (H₂O), DI MASSA m, IN QUANTO SI HA A CHE FARE CON DISTRIBUZIONI CONTINUE DI MATERIA.

_dm ^{ρ =} _dV

LA DENSITA’ VIENE DEFINITO COME IL RAPPORTO TRA MASSA E VOLUME INFINITESIMALE.

ρ PUO’ VARIARE CON LA TEMPERATURA E CON APPLICAZIONE DI FORZE.

SI PARLA DI FORZE DI VOLUME QUANDO ESSE DIPENDONO DALL’ESTENSIONE VOLUMETRICA DEL FLUIDO, CIOE’ QUANDO SONO PROPORZIONALI AL VOLUME, COME LA FORZA PESO.

F = mg ^{m F}

V → ^{= = ρVg}

SI PARLA DI FORZE DI SUPERFICIE QUANDO SONO PROPORZIONALI ALLA SUPERFICIE, COME LE FORZE DI PRESSIONE CHE AGISCONO ORTANTEMENTE SULLA SUPERFICIE, E POSSONO SCOMPORRE IN “FORZE PERPENDICOLARI O TANGENTI”.

ALLE FORZE PERPENDICOLARI F_S, CORRISPONDONO LE FORZE DI PRESSIONE;

ALLE FORZE TANGENTI Tf_I CORRISPONDONO GLI SFORZI DI TAGLIO CHE NON SONO ALTRO CHE FORZE VISCOSO, PROPORZIONALI ALLA VELOCITA’.

NEI FLUIDI GLI SFORZI DI TAGLIO SONO MOLTO MINORI DELLE FORZE PERPENDICOLARI, PER CUI VENGONO TRASCURATI E SI PARLA DI FLUIDO NON VISCOSO.

SI DEFINISCE PRESSIONE IL RAPPORTO TRA LA COMPORENTE NORMALE ALLA SUPERFICIE DELLE FORZE DI SUPERFICIE E LA SUPERFICIE STESSA.

ρ = _{|F . n |} ^{d |F|}

ρ= _dS ^{= dS}

SI CONSIDERANO LE COMPONENTI INFINITESIME QUANDO LA SUP. NON E’ COSTANTE

SE NON CI SONO SFORZI DI TAGLIO ALLORA ∂ |F_S . n | = ∂ |F|

D_F [pa = ^N ]

d S m₂

PERCHE’ LA PRESSIONE E’ UNO SCALARE?

Δx = p

Un fluido è una sostanza, liquida o gassosa, che ha la proprietà di non avere una forma propria.

I liquidi hanno un proprio volume, mentre i gas tendono ad occupare tutto il volume a loro disposizione.

La densità di un liquido è molto maggiore di quella di un gas.

Si parla di densità di un fluido alludendo quindi di massa, in quanto si ha a che fare con distribuzioni continue di materia.

ρ = dm/dV

La densità viene definita come il rapporto tra massa e volume infinitesimi.

Può variare con la temperatura e con applicazione di forze.

Si parla di forze di volume quando esse dipendono dall'estensione volumetrica del fluido, cioè quando sono proporzionali al volume, come la forza peso.

F = mg ρ = m/V F = ρVg

Si parla di forze di superficie quando sono proporzionali alla superficie, come le forze di pressione, che agiscono ortogonalmente sulla superficie, e possono scomporre in forze perpendicolari o tangenti.

Alle forze perpendicolari F_n corrispondono le forze di pressione; alle forze tangenti F_s corrispondono gli sforzi di taglio, che non sono altro che forze viscose, proporzionali alla velocità.

Nei fluidi gli sforzi di taglio sono molto minori delle forze perpendicolari, per cui vengono trascurati e si parla di fluido non viscoso.

Si definisce pressione il rapporto tra la componente normale alla superficie delle forze di superficie e la superficie stessa

p = |dF_n * n|/ds

Si considerano le componenti infinitesime quando la sup. non è costante

Se non ci sono sforzi di taglio allora |dF_s * n| = dF_n

p = dF_s/ds [ρ = N/m²]

Perché la pressione è uno scalare?

Se ruotando il cilindro il pistone si muovesse vorrebbe dire che la pressione è un vettore.

µΔx = pS Δx = pS/l

Relazione tra forze di volume e aumenti di pressione

dV = dx dy dz

All'equilibrio

∑f_i = ρ dV f_v

dF_x1 - dF_x = dF_x^v

p(x) S_n - p(x+dx) S_x + dF_x^v = 0

p(x) dy dz - p(x+dx) dy dz + ρ f_v dx dy dz = 0

f_vx - (p(x+dx) - p(x))

dV → 0

• Conservatività delle forze di volume

f_v = ∇p

∫f ⋅ ds = ∫∇p ⋅ ds = 0

∫f ⋅ ds = ∫(&partial;x + &partial;y + &partial;z) (xî + y + z ) ds

= ∫∇p ds = 0

La variazione di pressione lungo un percorso chiuso è nulla

∫f ⋅ ds = 0

Le forze di volume sono quindi forze conservative, si può quindi associare un'energia potenziale

∇p + Δp = ρ v

∇(p+Δ) = 0 = costante

• FLUIDO IN ROTAZIONE

VELOCITA' ANGOLARE COSTANTESI OSSERVA CHE DOPO UN CERTO TEMPO TUTTO IL FLUIDO RUOTA RIGIDAMENTE INSIEMEAL RECIPIENTE E LA SUP. LIBERA NON E' PIU' PIANA MA CONCAVA

VOGLIO DETERMINARE LA FORMA DI TALE SUPERFICIE

OGNI PUNTO FA UN'ORBITA CIRCOLARE ED E' QUINDI SOTTOPOSTO ADUNA FORZA RADIALE = mω²ζ

MI VOGLIO RICONDURRE ALLA SITUAZIONE STATICA CHE ABBIAMOTRATTATO , SISTEMA NON INERZIALE, DOVE DOBBIAMO CONSIDERARELA FORZA CENTRIFUGA APPARENTE RADIALE E DIRETTAALL'ESTERNO

dĹF = 0

dĹF_i + df_g + dĹF_c = 0

ĹF_c = 0

f_i = -ζ² + ^gz / _c + ωΛ(ωΛζ)

ωΛ(ωΛζ) + dmq + dĹF_c =

dĹF_v = (ωζ)ω - (ω²ζ)_i = dmω²ε

TROVIAMO LE ENERGIE POTENZIALI: V_g = ρgy

-dW_ℜ = dmω²ζ ∙ dS

∫₀^ζ-dW_ℜ = dmω² ∫₀^ζζdζ

[V_ℜ(ζ) - V_ℜ(0)] = dmω²ε²

V_ℜ(ζ) = -¹ / ₂ dmω²ζ²

PER UNITA' DI VOLUME V_ℜ = -^ρ / ₂ ω²ζ²

pM = COST p + V_g + V_ℜ = COST

p + ρgy - ¹ / ₂ ρνω²ζ² = COST. ALL' ISTANTE INIZIALE t = 0 p = ρ_ATM y = y₀

p + ρgy - ¹ / ₂ ρνω²ζ² = ρ_ATM + ρgy₀ p = ρ_ATM

y = y₀ + ¹ / ₂ ^ω2ζ2

PARABOLOIDE DI RIVOLUZIONE ATTORNO ALL'ASSE DI ROTAZIONE

Superficie di separazione di fluidi immiscibili

P_A2 = P_A1

P_A2 = P_B2

Per la legge della statica:

a) P_A1 + ρA_A = P_A2 + ρA_V

b) P_B1 + ρB₂ = P_B2 + ρB_L

Essendo le densità diverse:

ρA ≠ ρB L'unica soluzione è √(ρA) = √(ρA)

√(ρB) = √(ρB)

→ Le superfici sono isobare e equipotenziali

Paradosso idrostatico:

Dato 2 recipienti di diversa forma, si riempiono fino alla stessa altezza h,

la pressione a un determinato livello y è la stessa,

quello che conta è il dislivello tra y e h.

Legge di Pascal

P₁ + ρgh = ρ₂ + ρgh

Se varia la pressione nel punto 1

P₁ + Δp₁ Come varia la pressione nel punto 2?

Δp₁ + Δp₂ P₁ + ρgh = ρ₂ + ρgh P₂

Δp₁ + Δp₂ La pressione varia in tutti i punti con lo stesso valore

Un fluido non viscoso e incomprimibile è detto fluido ideale.

Corpo sulla superficie di separazione tra due fluidi

Supponiamo ₁ < ₂

_{Densità del corpo}

V = V₁ + V₂

_s1 + _s2 + mg = 0

Applichiamo la legge di Archimede per entrambi i fluidi

_s1 = mg = 1V₁

_s2 = mg = 2V₂

1V₁ + 2V₂ - V = 0

-1V₁ - 2V₂ = -V

V₁₁ + V₂₂ = V( - )

V₁( - 1) = V₂(2 - )

V₁(- 1) = V₂(2 - )

Affinchè ci sia galleggiamento 3 < ₁ < ₂

Determiniamo la frazione di volume immerso

= V₂

V_hV

V₂V_h

V₂(1 + )

1 +

= 1

1 +

= 1 -

3

2 - 3

3 = aria allora si può trascurare perchè _aria << ₁,₂

V₁ =

V 2

PRESSIONE SU SUPERFICIE IRREGOLARE:

dFp = -p dS · n

MOLTIPLICO SCALARMENETE PER z_k PER OTTENERE LA PROIEZIONE LUNGO ZETA

dFp_z = -p dS · n z_k = -p dS · cos()

∫ dFp_z = ∫ -p dS₁ F_pz = -p S_L

QUALUNQUE SIA LA SUPERFICIE, AI FINI DI OTTENERE LA FORZA LUNGO LA VERTICALE, L'UNICA COSA CHE CONTA È LA PROIEZIONE DELLA SUPERFICIE LUNGO UN PIANO ORIZZONTALE (LA PRESSIONE DEVE ESSERE COSTANTE LUNGO LA SUPERFICIE)

• CORPO IMMERSO IN UN FLUIDO E LEGGE DI ARCHIMEDE

1^a E.C.D.: F_p + m_lg = N gLA PRESSIONE SUBITA

2^a E.C.D.: θ’/g_c = dL/dt

SUPPONIAMO CHE ALL'INTERNO DELLA SUP. Σ DEL CORPO CI SIA LO STESSO FLUIDO IN CUI ESSO È IMMERSO ALLORA IL CORPO E IN EQUILIBRIO:

F_p + m_lg = 0θ’/g_c = 0

DOVE m_l È LA MASSA DEL FLUIDO CONTENUTA IN Σ

ALLORA F_p = -m_lg È APPLICATA IN G_l (CENTRO DI MASSA DEL LIQUIDO CONTENUTO IN Σ)

LEGGE DI ARCHIMEDE:

UN CORPO IMMERSO IN UN FLUIDO RICEVE UNA SPINTA (FORZA) UGUALE AL PESO DEL VOLUME DEL LIQUIDO SPOSTATO, APPLICATA IN G_l (CENTRO DI MASSA DEL LIQUIDO IN Σ)

1^o N_mg + m_lg = m g ---> ã = (1 - m / m_l) ãm_l < m IL CORPO AFFONDAm_l > m IL CORPO GALLEGGIA

2^o N - g ∧ m g = 0 ---> dL/dtSE G NON COINCIDE CON G_l SI GENERA UNA ROTAZIONE

MOTO STAZIONARIO SI HA QUANDO LE PARTICELLE CHE PASSANO PER UN DETERMINATO PUNTO NELLO SPAZIO HANNO LA STESSA VELOCITÀ NEL CORSO DEL TEMPO (IN PUNTI DIVERSI CI SONO VELOCITÀ DIVERSE).

LE LINEE CHE IN OGNI PUNTO HANNO DIREZIONE E VERSO DELLA VELOCITÀ (SONO TANGENTI AL VETTORE VELOCITÀ) SONO DETTE LINEE DI CORRENTE. IN REGIME STAZIONARIO ESSE HANNO UNA CONFIGURAZIONE COSTANTE NEL TEMPO. TUTTE LE LINEE DI CORRENTE CHE PASSANO ATTRAVERSO UNA GENERICA SEZIONE SCOSTITUISCONO UN TUBO DI FLUSSO.

• LEGGE DELLA COSTANZA DELLA PORTATA

CONSIDERIAMO UN TUBO DI FLUSSO CON DUE SEZIONI S₁, S₂

POICHÉ IN TUTTO NON ESCONO PARTICELLE DEVE VALERE LA CONSERVAZIONE DELLA MASSA.

S₁v₁ = S₂v₂ → Sv = cost.

• TEOREMA DI BERNOULLI

(IPOTESI: FLUIDO IDEALE (NON VISCOSO E INCOMPRESSIBILE) MOTO STAZIONARIO E LAMINARE (IRROTTAZIONALE: LE LINEE DI FLUSSO NON SI INTERSECANO TRA LORO, IL MOTO È NON VORTICOSO))

PER TEO. BELL'ENERGIA CINETICA (Δ(TH(v₂)) = L_p)

ΔT = Ts₂i₂ - Ts_i1 = (Ps₂ + Ts_a1) - (Ts_a1 + Ps_a1) = Ts_a2 - Ts_a1 - Ts_a1

m = ρV = ∫ SνdS = ∫ Sνdνdt

m = ρS _v1dt

ΔT = 1/2 (ρS₂v₂²)v₂ - 1/2 (ρS_v1v₁)v₂ = 1/2 ρS₂ v₂dt - 1/2 ρm_nv₁dt

Δν_g = ∫ νgS_i¹ - ∫ νgS_i² = (∫ νgS_i1/2 + ∫ νgS_i12] - ( ∫ νgS₂ - ∫ νgS₂] - ∫ gS _v1 - ∫ Sνdtg S_y2 - ∫ Sνdtg S_y4) (∫ VgS_S, i_S2, + ∫ νgS_i1) = ∫ νgS₂ - ∫ gS_a1V + ∫ g_iS1 = ρS_v2 α_v g_y2 - ρSνdtg_y4

LE FORZE DI PRESSIONE LUNGO LA SUP. LATERALE SONO ⟬ AU == AL VELOCITA' ⟭

F

p

p

F

p

LP₁ = FpA = FpA · ∫ v = -pSkdt

LP₂ = F

p

v = 1/6 (lp2

F

p

_sm p

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