Fisica generale - Elettromagnetismo, Capacità e Condensatori

S

S 

r

Il potenziale in un punto qualsiasi del conduttore, individuato da è costante in valore ed è dato da

P  

 ' ' '

1 , ,

x y z



 d

V S

 

   '

4 r r

0 S

Si può inoltre dimostrare che esiste una e una sola distribuzione di carica superficiale di un conduttore

tale da renderne nullo il campo elettrico all’interno e quindi costante il potenziale.

Se la carica del conduttore viene portata al valore anche la densità superficiale di carica varia

q

q’ = mq

 

dello stesso fattore diventando ’ e così il potenziale diventa ’ .

= m V = mV

Se ne deduce che il rapporto q



C V

tra la carica e il potenziale di un conduttore isolato non cambia al variare della carica sul conduttore.

del conduttore.

Il rapporto tra carica e potenziale di un conduttore isolato si chiama capacità

La capacità

p dipende

p solamente dalla forma e dalle dimensioni lineari del conduttore e dal mezzo che

lo circonda, in questo caso il vuoto, come vedremo in vari esempi. C

Coulomb 

Farad 1 F 1

L’ unità di misura della capacità di un conduttore è il che prende il nome di V

Volt

 

Q

                 

   

D

Dal

l punto

t di vista

i t dimensionale

di i l 1 2 2 2 1 2 4 2

  

C M L T Q M L T I

      

 

2 2 1

M L T Q

Il Farad è un’ unità di misura molto grande: significa una carica di 1 Coulomb per un potenziale di

1 Volt e quindi una carica estremamente grande presente sul condensatore.

Capacità e Condensatori (2)

Un condensatore è un dispositivo costituito da due conduttori affacciati in modo

che tra di essi ci sia induzione elettrostatica completa, cioè tale che, quando su

uno di essi è presente una carica , sull’altro è presente una carica .

+q -q

I due conduttori prendono il nome di armature del condensatore.

Il rapporto fra il valore assoluto della carica presente su una delle armature e il

q

V valore assoluto della differenza di potenziale (d.d.p.) ha, in modo analogo al

V

conduttore isolato, un valore costante per i differenti valori di , fissato il condensatore, e prende il

V

nome di capacità del condensatore e si indica con .

C

q



C V

Un condensatore può essere caricato collegandolo ad una batteria che può

essere vista come un dispositivo che fa muovere i portatori di carica da

un’armatura all’altra.

All’equilibrio una carica è presente su una armatura e una carica sull’altra e

q –q

la carica totale del condensatore è nulla.

La capacità di un condensatore è una misura della sua attitudine a contenere cariche.

Dalla definizione di capacità risulta che un valore maggiore della capacità corrisponde ad una

maggiore quantità di carica per una data differenza di potenziale.

Vedremo più avanti che un condensatore carico contiene energia.

La capacità dei condensatori commerciali, che sono dispositivi impiegati nei circuiti delle radio,

F

-12 -6

F 1 pF 10 F, 1

10 , ossia (picofarad) e ossia

televisioni, calcolatori è compresa nell’intervallo tra

(microfarad) . Capacità e Condensatori (3)

In un condensatore piano, in cui le dimensioni lineari delle armature sono

molto maggiori della distanza tra le armature, la densità di carica

d

  /

superficiale è uniforme , dove è l’area delle armature, quando si

= Q A A

trascurano gli effetti ai bordi.

Analogamente

Analogamente, quando si trascurano gli effetti ai bordi,

bordi il campo elettrico,

elettrico per

simmetria, è perpendicolare alle armature ed uniforme fra di esse mentre è

nullo all’esterno, quindi applicando il Teorema di Gauss ad un cilindro retto

che racchiude la distribuzione di carica di un’armatura e ha una base

all’esterno ed una fra le due armature

 

 Q S

         

ˆ d 0

E n S E S S E

  

0 0 0

cilindro 

 

La differenza di potenziale fra le armature è V E d d

 0



 A

Q A Esempio: un condensatore piano ha le armature quadrate di lato

   0

da cui la capacità è C  122 mm, d=0,24 mm e fra di esse c’ è il vuoto: la sua capacità è

V d  

d  

 2



  

12

8

,

85 10 F m 0

,

122 m

A 

    

10

0 5

,

5 10 F 0

,

55 nF

C

0 

 4

2

, 4 10 m

d

La capacità di un condensatore piano dipende quindi dall’area delle armature e dalla loro distanza ed

in particolare, per ottenere una grande capacità occorre che l

l’area

area delle armature sia grande e che la

loro distanza relativa sia piccola.



L’espressione di contiene , costante dielettrica del vuoto, e quindi dipende dal mezzo tra le

C C

0

armature (in questo caso il vuoto).  

F Farad

  

Dall’espressione di si può osservare che l’ unità di misura SI di può essere scritta come

C 0 m metro

 

2

C

oltre che come 2

N m Capacità e Condensatori (3)

Condensatori in serie: dati due condensatori collegati in serie, cioè uno di

seguito all’altro, si vuole determinare capacità del sistema costituito dai due

C

12

condensatori e collegati in serie.

C C

1 2

La capacità equivalente di un sistema di condensatori è la capacità di un singolo

condensatore che,

che quando viene usato in luogo del sistema,

sistema ha lo stesso effetto

esterno.

Se i condensatori sono inizialmente scarichi e poi vengono collegati tra loro e caricati da una batteria,

il tratto di conduttore isolato racchiuso nel rettangolo

g azzurro in figura

g ha carica totale nulla, e q

quindi

Q = Q = Q , e le singole armature sono caricate da quella affacciata, collegata al generatore, per

1 2

induzione elettrostatica. In effetti qualunque sia il numero dei condensatori in serie (inizialmente

scarichi), tutti hanno la stessa carica. 1 e 2

Per produrre lo stesso effetto esterno dei condensatori disposti in serie, la capacità equivalente

deve possedere una carica di valore assoluto su ciascuna delle due armature quando la differenza

Q

di potenziale ai suoi capi è , cioè

V Q Q

  

C V

12 V C

12

Q Q  

 

Inoltre e, ricordando che ( infatti la differenza di potenziale tra gli estremi

, V V V

V V 1 2

1 2

C C

1 2

di un sistema costituito da un numero qualsiasi di dispositivi elettrici collegati in serie è la somma

delle differenze di potenziale ai capi dei singoli dispositivi ) si ottiene

1 1 1

Q Q Q

    

C C C C C C

12 1 2 12 1 2 …

In generale la capacità equivalente di un numero qualsiasi di condensatori collegati in serie è

C C C

eq 1 n

1 1

N





C C



1

eq i i

Capacità e Condensatori (4)

Condensatori in parallelo: due condensatori collegati come in figura (uno “a

fianco” dell’altro con entrambi gli estremi in comune) sono detti essere collegati

“in parallelo”.

Dalla figura si vede che la differenza di potenziale ai capi dei due condensatori è

= =

la stessa .

V V V

1 2

Questo è un caso particolare di una regola generale: la differenza di potenziale

ai capi di diversi elementi di circuito disposti in parallelo è la stessa .

1 2

Per produrre lo stesso effetto esterno dei condensatori e disposti in parallelo,

= +

un singolo condensatore con capacità deve possedere una carica quando la differenza

C Q Q Q

12 1 2

di potenziale ai suoi capi è . Deve essere cioè

V 

Q Q Q Q Q

   

1 2 1 2

C

12 V V V V

Q Q  

 

1 2

Poichè e si ha C C C

C C 12 1 2

1 2

V V

In generale la capacità equivalente di un numero qualsiasi di condensatori in parallelo è

C

eq N





C C

eq i



1

i

Energia Elettrostatica immagazzinata in un Condensatore

Quando una batteria carica un condensatore, compie lavoro per trasferire i portatori di carica da

un’armatura all’altra, aumentando la loro energia potenziale. Questo aumento dell’energia potenziale

dei portatori di carica costituisce l’ energia elettrostatica immagazzinata nel condensatore .

Sia l’energia di un condensatore dopo che è stato caricato fino a raggiungere una carica finale e

U Q

una differenza di potenziale e siano ’ , ’ e ’ queste grandezze mentre variano durante il

V U Q V d

processo di carica. In un certo istante durante la carica, la variazione ’ dell’energia potenziale del

U

d

sistema di cariche dovuto al trasferimento della carica ’ da parte della batteria è

Q

d d

’ = ’ ’

U V Q

Perchè ’ è l’energia potenziale per unità di carica.

V d

Per determinare l’energia fornita al condensatore durante la carica da zero a si integra ’ :

U Q U

Q



 ' '

d

U V Q

0

La differenza di potenziale ’ tra le armature del condensatore non può essere portata fuori

V

dall’integrale perchè varia mentre ’ cresce. In effetti ’ (che è pari a ’/ ) aumenta linearmente

Q V Q C

con la carica del condensatore per cui ' 2

Q Q

1 1 Q

Q

 

  

' ' '

d d

Q Q Q

U 2 C

C C

0 0

L’energia di un condensatore dipende quindi dal quadrato della sua carica.

Q



Servendosi quindi della definizione di capacità l’energia di un condensatore carico in termini di

C V

due qualsiasi delle tre grandezze e è

Q , C V 1 1

2

1 Q  

2

 oppure

pp U U Q V

C V

U 2 2

oppure

2 C F

5,5 42 V

Se ad es. ai capi di un condensatore di c’ è una d.d.p. di l’energia immagazzinata dal

1 1  