Fisica generale - Appunti

ELETTROMAGNETISMO

Elettricità:

La parola elettricità deriva dal greco electron che significa ambra.

L’ambra è un materiale che strofinato ha la proprietà di attivare i corpi leggeri; questa

proprietà è comune anche ad altri materiali come il vetro.

Diciamo che questi corpi nello strofinio si sono elettrizzati e supponiamo che abbiano

acquistato una carica elettrica.

La carica elettrica è una proprietà posseduta dalle particelle che compongono

l’atomo: i protoni che insieme ai neutroni si trovano nel nucleo e gli elettroni che

sono in movimento intorno a esso.

Esistono due tipi diversi di interazione elettrica che si esplicano rispettivamente con

una forza repulsiva o attrattiva; ciò è dovuto all’esistenza di due tipi di cariche: la

positiva (protoni) e la negativa (elettroni).

Cariche dello stesso segno si respingono, cariche di segno opposto si attraggono.

Principio di conservazione della carica elettrica:

Nel 1750 Franklin enunciò il principio di conservazione della carica elettrica in base

al quale la carica elettrica è una costante nel senso che non varia col tempo.

Elettroscopio:

L’elettroscopio è un rivelatore di cariche, ovvero un dispositivo per rivelare la carica

di un corpo. È costituito da una bacchetta metallica terminante a una estremità

con una sferetta e all’altra con due foglioline metalliche (spesso

d’oro); il tutto è disposto in una custodia di vetro.

Portando a contatto della sferetta un corpo elettrizzato, la carica

tramite la bacchetta si trasmette alle foglioline, che a causa della

forza repulsiva tra le cariche divergono.

Se allontaniamo il corpo elettrizzato, le foglioline rimangono

aperte e ciò dimostra che su di esse è rimasta parte della carica.

Un elettroscopio carico, per esempio positivamente, può essere

usato per individuare il segno di una carica incognita posseduta da un corpo: portando

a contatto della sferetta il corpo, se la divergenza delle foglioline aumenta la carica è

positiva, se diminuisce la carica è negativa.

1

Isolanti e conduttori:

I diversi materiali vengono classificati dal punto di vista elettrico, in isolanti e

conduttori.

Negli isolanti, come la plastica, la carica elettrica prodotta in una regione rimane

localizzata in quel punto poiché gli elettroni sono legati ai nuclei degli atomi.

Nei conduttori, come i metalli, la carica elettrica prodotta in una regione si propaga in

tutto il corpo poiché alcuni elettroni hanno una certa libertà di movimento.

Elettrizzazione:

Un corpo allo stato neutro possiede un uguale numero di protoni e di elettroni. Si dice

che un corpo è elettrizzato quando l’equilibrio fra il numero di cariche elettriche

positive e quello delle cariche elettriche negative è alterato.

L’elettrizzazione può avvenire in tre differenti modi:

1- per strofinio: in questo caso alcuni elettroni vengono strappati a un corpo

dall’altro.

2- per contatto: nei conduttori alcuni elettroni hanno una certa libertà di

movimento e sottoposti a una forza elettrica si possono spostare da un atomo

all’altro determinando l’elettrizzazione dei due corpi, uno positivamente e uno

negativamente. Questi elettroni vengono detti elettroni di conduzione.

3- per induzione: avvicinando un corpo carico a un corpo conduttore neutro, il

conduttore nella parte più vicina al corpo carico si carica di una carica di segno

opposto e nella parte più lontana di una carica dello stesso segno.

2

Legge di Coulomb:

Nel 1785 il francese Coulomb determinò la legge che esprime la forza elettrica tra

due cariche in funzione della distanza e delle intensità delle cariche: la forza attrattiva

o repulsiva tra due cariche elettriche è direttamente proporzionale al prodotto delle

cariche e inversamente proporzionale al quadrato della distanza che le separa.

×

q q

1

= ×

F 1 2

π ε

× 2

4 r

0 2

C

ε −

× 12

= 8,859 10 2

0 Nm

q = cariche r = distanza tra le cariche

ε

C = Coulomb (unità di misura) = costante dielettrica del vuoto

0

1 2

Nm

= = × 9

k 8,988 10 2

π ε C

×

4 0

La formula scritta vale nel vuoto; se ci troviamo in un dielettrico, ovvero in un mezzo

isolante, la formula diventa: ×

q q

1

= × 1 2

F π ε ε

× × 2

4 r

0 r

ε = costante dielettrica negativa del mezzo

r

La forza in un mezzo è sempre minore della forza agente sulle stesse cariche nel

vuoto.

Le formule precedenti esprimono l’intensità della forza; la direzione del vettore forza,

è la retta congiungente le due cariche, il verso è determinato dal segno delle cariche.

Principio di sovrapposizione:

La forza di interazione tra due corpi elettrizzati è da considerarsi come la risultante

delle forze agenti fra le singole particelle cariche di cui essi sono costituiti.

R 3 Q

Campo elettrico:

Una carica elettrica agisce su una seconda carica elettrica non direttamente ma

attraverso il campo elettrico che essa genera, inteso come modificazione dello spazio

circostante indipendentemente dalla presenza della seconda carica.

Per misurare l’intensità e in generale il vettore campo elettrico in un certo punto dello

spazio, è necessario situare in quel punto una carica di prova q per poter misurare le

interazioni tra q e la carica Q che genera il campo.

Il vettore campo elettrico generato dalla carica Q viene definito come rapporto tra la

forza e la carica di prova q: ur

ur F

=

E q

E = campo elettrico q = carica di prova F = forza

Il campo elettrico è uguale alla forza che viene esercitata sull’unità di carica (sulla

carica esploratrice)

L’unità di misura del campo elettrico è N/C (Newton/Coulomb).

Si dimostra che il campo elettrico E è indipendente dalla carica di prova q sia per

intensità che per direzione e verso, purché la carica q sia piccola rispetto a Q in modo

da non perturbare il campo.

Campo elettrico di una carica puntiforme Q:

ur

ur ×

1 Q q

F

= = ×

E

Intensità: q π ε

× 2

4 r

0

Direzione: è sempre la retta congiungente q e Q quindi non dipende dalla scelta di q

Verso:

Comunque si scelga la carica di prova q il campo elettrico ha verso uscente da Q se Q

è positivo, entrante in Q se Q è negativa. 4

Il campo elettrico si rappresenta mediante le linee di forza, linee la cui tangente in

ogni punto ha la stessa direzione del campo in quel punto.

Rappresentazione del campo:

Un campo elettrico può essere rappresentato graficamente con le frecce che indicano

i vettori E in alcuni punti.

Un campo elettrico è rappresentato con linee di forza, cioè linee la cui tangente in

ogni punto è diretta come il campo.

A seconda che il campo elettrico di una carica puntiforme sia negativo o positivo

avremo linee di forza uscenti o entranti.

Sovrapposizione dei campi generati da cariche puntiformi:

Il campo elettrico di una distribuzione di cariche puntiformi è uguale alla somma

vettoriale dei campi elettrici che le singole cariche genererebbero se agissero da sole.

ur uur uur uur uur

= + + + +

E E E E ... E in cui E è il campo creato singolarmente da ogni carica nel

n

1 2 3 n

punto fissato. 5

Il teorema di Gauss (I° eq. di Maxwell):

Flusso del campo elettrico attraverso una superficie:

Se il campo elettrico E è uniforme su tutti i punti di una superficie S, il flusso del

α

= × ×

E S cos

campo attraverso la superficie è: Ф

E = intensità del campo elettrico S = superficie

α = angolo che il vettore E forma con la perpendicolare alla superficie

× 2

N m

L’unità di misura del flusso è: C

Nel caso di una superficie tridimensionale (angolo solido) α

∆ × ×

S cos

ω

∆ =

S·cos α 2

r

r ω π

= 4

tot

ω

∆ 6

Gauss studiò quanto vale il flusso di campo campo elettrico uscente da un corpo

carico attraverso una superficie immaginaria chiusa.

α

∆

S cos

ФE

∆

α

Ф

∆ ×∆

= E Scos

E 1 Q

= × (campo elettrico · carica puntiforme)

E π ε

× 2

4 r

0 α

∆

1 Q 1 Scos 1

α ω

∆ × ×∆ = × × = × ×∆

Ф = Scos Q Q

E π ε π ε π ε

× × ×

2 2

4 r 4 r 4

0 0 0

1 ω

= × × ∑ ∆

Q ( )

π ε

= ∑ ∆ ×

4

Ф Ф 0

E E 1 π

= × ×

Q 4

π ε

×

4

Ф 0

E Q

= ε

Ф 0

E 7

Il flusso del campo elettrico uscente da una superficie chiusa, è dato dal rapporto tra

la somma delle cariche contenute nella superficie e la costante dielettrica nel vuoto.

Σ

Q

=

Ф ε 0

Σ

Q = somma delle cariche racchiuse entro la superficie (principio di sovrapposizione)

Carica Puntiforme:

Il teorema vale per ogni distribuzione di cariche.

Distribuzione di

cariche su corpo di

dimensioni limitate = ∑

Q Q

tot ∑ Q

= ε

Ф 0

E [Principio di sovrapposizione]

8

Campo elettrico di una piastra piana carica elettricamente: = × ×

2 E S

Ф

E Q

= ε

Ф 0

E

= × + × +

E S E S 0

Ф E Q

=

2 ES ε 0

Q 1

= ×

E ε

S 2 0 σ

=

E ε

×

2 0

Densità superficiale di carica elettrica: 9

Data una superficie S sulla quale sia distribuita in modo uniforme una carica elettrica

σ

Q, la densità superficiale di carica (sigma) è definita dal rapporto tra la carica

complessiva e la superficie: Q

σ = S

σ

L’unità di misura di , in quanto rapporto tra una carica elettrica e una superficie, è il

2

C/m

Condensatore elettrico:

Due piastre metalliche piane poste una di fronte all’altra a distanza piccola rispetto

alle loro dimensioni, elettrizzate con cariche opposte Q e –Q, costituiscono un

condensatore piano. E = 0

est

E = 2E

int

E = 0

est

σ

σ σ

= = × = =

E 2 E 2 E

ε ε

cond . × cond . ε

2 0 0 0

10

Campo elettrico di un corpo (conduttore) carico elettricamente:

1. All’interno di un conduttore carico:

EQUILIBRIO ELETTROSTATICO

 (cariche sono ferme) ∑ =

Q 0

int evallo

Le cariche elettriche stanno sulla superficie del corpo

 11 =

E 0

int erno

2. Campo elettrico all’esterno di un corpo carico [Teorema di Coulomb]

Ф =E ·S+E ·S

est int

Ф = E ·S

est

12

Applicando il teorema di Gauss:

Q

Ф = ε

E 0

Q = ×

E S

ε est

0 Q

=

E ε

est ×

S 0 σ [

=

E Teorema di Coulomb: il campo elettrico in

ε

esterno prossimità di un conduttore è proporzionale

0 alla densità superficiale di carica]

Energia potenziale elettrica e differenza di potenziale elettrico:

∆ = −

r r r

B A

= ×∆

L F r

Il lavoro che è stato fatto

dal campo elettrico.

L=U - U = -∆U

A B

[lavoro fatto dal campo per

spostare AB = differenza

energia potenziale elettrico del

punto A meno energia potenziale

elettrico del punto B]

13

Il campo elettrico è un campo conservativo, cioè il lavoro L della forza del campo su

una carica di prova q che compie uno spostamento da un punto A a un punto B

dipende da A e B ma non dal cammino percorso. In particolare il lavoro è nullo se la

carica descrive una traiettoria chiusa.

Si può pertanto definire l’energia potenziale U della carica di prova come la funzione

tale che, se U e U sono i suoi valori in A e B, si ha L= U - U .

A B A B

Il lavoro si misura in Joule =Nm/C

Il potenziale elettrico (V) in un punto dello spazio è definito come il rapporto fra

l’energia potenziale elettrica di una carica di prova q posta in quel punto e la carica

U

=

V

stessa: .

q

Di conseguenza la differenza di potenziale elettrico V - V fra due punti A e B è

A B

legata dalla seguente relazione al lavoro L sopra definito:

L

− =

V V

A B q ×

U U L

∆ = × = =

Dimostrazione: A B

V V V

A B q q

F

∆ = ×∆

V r

q

∆ = ×∆

V E r L Joule

= = Volt

L’unità di misura del potenziale elettrico è il Volt (V): q Coulomb

Carica Puntiforme

Il potenziale del campo elettrico generato nel vuoto da una carica puntiforme Q a

distanza r, posto uguale a zero all’infinito, è:

14

1 Q

= ×

V π ε

×

4 r

0

Condensatore:

Nel caso del campo uniforme tra le piastre di un condensatore:

= ×

V E d

σ

= ×

V d

ε 0

Una superficie sulla quale il potenziale elettrico assume lo stesso valore in ogni punto

è detta superficie equipotenziale.

In essa il lavoro è uguale a zero:

= ×∆ = −

L q V q (

U U )

A B

=

U U

A B

=> =

L 0

Lavoro lungo una linea chiusa è uguale a zero poiché:

= −

L U U

A B

= − =

L U U 0

lineachiusa A A

Teorema della circuitazione del campo elettrico (II° eq. di Maxwell):

Il fatto che il campo elettrico sia conservativo si può anche esprimere nel seguente

modo: la circuitazione del campo elettrico lungo qualsiasi cammino chiuso è nulla,

ovvero C = 0.

E ur uur

= ∑ ×∆

C E r

E ∆

r ur uur L

F

= ∑ ×∆ = =

lineachiusa

C r 0

E q q

∆

r

=

C 0

E 15

Potenziale elettrico all’interno di un corpo carico all’equilibrio elettrostatico:

V Q

V Q

1 1

V Q

2 2

V Q

3 3

. .

. .

. . ∆ = − = ×

V V V E d

AB A B AB

− =

V V 0

A B

=

V V

A B

Tutti i punti all’interno di un corpo carico hanno lo stesso potenziale.

Il potenziale elettrico all’interno di un corpo carico è costante.

In queste condizioni in ogni punto del conduttore il campo elettrico è nullo e il

potenziale è costante.

Capacità elettrica: Q (Coulomb)

Preso un corpo (conduttore) carico elettricamente, si cerca di trovare una relazione tra

la carica elettrica (Q) del corpo e il suo potenziale elettrico (V):

16

Q

1

Q

2

Q

3 V (Volt)

V V V

1 2 3

Notiamo, dal grafico, che tra Q e V c’è una relazione di proporzionalità diretta:

µ µ =

Q V proporzionale

=

Q CV Per definizione la costante di proporzionalità

tra Q e V si chiama capacità elettrica

Q

=

C V Quanta carica può avere un corpo (conduttore)

L’unità di misura della capacità elettrica è il Farad (F): Coulomb/Volt = Farad

(da Faraday)

Capacità elettrica di un condensatore: 17 σ Q

= =

E ε ε

×

S

0 0

quindi : ε

= × ×

Q E S 0

= ×

V E d ε ε

× × ×

E S S

= =

0 0

C ×

E d d

S

ε

= ×

C 0 d

Condensatori in parallelo:

La capacità elettrica di un sistema di condensatori in parallelo è uguale alla somma

delle capacità dei songoli condensatori:

V = V = V la differenza di potenziale è la stessa

tot 1 2

Q = Q + Q Q = C ·V Q = C ·V

tot 1 2 1 1 2 2

C=Q/V => Q= C·V Q = C ·V

tot tot

C ·V = C ·V + C ·V

tot (parallelo/equivalente) 1 2 C = C + C

parallelo 1 2

Condensatori in serie: 18 hanno la stessa carica Q

 V = V + V

 tot 1 2

La capacità elettrica è definita come la capacità di un

unico condensatore da inserire tra i terminali esterni

affinché con la stessa differenza di potenziale la carica

sia sempre la stessa.

Il reciproco della capacità elettrica di un sistema di

condensatori in serie è uguale alla somma dei reciproci

delle capacità dei singoli condensatori.

Q

=

C V Q

=> =

V 1 1 1

C = +

C C C

Q

= serie 1 2

V

tot C

tot

Q Q Q

= +

C C C

tot 1 2

Esperimento di Millikam (1908) 19

Nel 1908 Millikam costruì un dispositivo che gli permise di misurare la carica

dell’elettrone. Scoprì così che la carica elettrica è quantizzata, nel senso che tutte le

cariche in natura sono multipli interi di una carica elementare, non ulteriormente

frazionabile, che rappresenta il quanto di carica. La carica elementare coincide con la

-19

carica di un elettrone o di un protone e ha il valore 1,6·10 C.

Non esiste però nessuna impossibilità concettuale nel prendere in considerazione un

ulteriore frazionamento del quanto elementare di carica. &E