Fisica Generale 2 - Teoremi e dimostrazioni per l'orale

Momento di dipolo elettrico del materiale:

Σ p_i = N . p₀

introduco: p = <p₀ > n . p₀

Ora:

P = Σ p_i / V = N / V . p₀ = n . p₀

Vettore Polarizzazione Dielettrica

P_v = Σ . h

Σ d . cos(Θ)

Legge di Gauss nei dielettrici

q = N . q_i = n . Vq = n . q . d . Σ cos(Θ) = n . p_i . Σ cos(Θ) = P . Σ cos(Θ) = P . dΣ . Ün

q_P = G . dΣ = q_P / dΣ

(P . Ün)

Carica e Densita di Carica di Polarizzazione

solo E e' contributisce al flusso

∮ ε₀ E^* dΣ Ün = q - q_p

∮ ε₀ E dΣ Ün = q - q_p

q - ∮ φ . dΣ Ün

∮ ε₀ E dΣ Ün + P . dΣ Ün = q_libera

∮ (ε₀ . E + P) dΣ Ün = q

Vettore Induzione Dielettrica

∮ D . dΣ Ün = q

Materiali isotropi:

C'è proporzionalità tra campo elettrico e polarizzazione nei materiali isotropi, omogenei, lineari:

D = ε₀E_x + P con P = χ_eε₀E_x

P = d · ε₀E_x con d = polarizzabilità

P = χ_eε₀E_x con χ_e = suscettività elettrica

D = ε₀E_x(χ_e + 1) => ε_r

D = ε₀E_xε_r

Legge di Gauss per i dielettrici: ∮D·dΣŨ_n= q ∮ε₀ε_rE_x·dΣŨ_n = q

∮E_x·dΣŨ_n =

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Dielettrico nel condensatore

q = q₀

G= q - q₀

q - q₀ = ε₀

(d₀, d)

E_x·dΣ =

G = σ - σ₀/ε₀

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V⁺ - V^- = ∫B·ds = ∫ɛ_xdx + ∫B^ddx + ∫Bɛdx

= 2∫Bɛdx + ∫B^ddx

= d/ε₀ - ɛ₀/h

nel caso in cui D e P siano rispettivamente // Ũ_n:

D = σ

P = Gp

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d/ε₀ - ɛ/ε₀h

Carica di un circuito RC

ε = Ri + V_c

ε - Ri - V_c = 0 con i = dq/dt e V_c = q/C

ε R dq/dt - q/C = 0

ε q - ε C = R dq / dt

dx/x = dt/RC da -εC a q - εC

ln(q - Cε) - (-Cε) = t/RC

q - Cε = -Cε e^t/RC

q = Cε (1 - e^t/RC)

i = dq/dt = d/dt (Cε(1 - e^-t/RC)) = ε/R e^-t/RC

Energia immagazzinata

U_e = 1/2 Cε²

Lavoro del generatore

∫₀^t ε i dt

∫₀^t Ri dt = ∫₀^t R (ε/R e^-t/RC) dt

| ^x2_R C ^{x2 C} e^-t/RC |₀⁰

ε - Cε

ε - q

Cε

Energia dissipata per effetto Joule

L_tot - U_e = 1/2 Cε²

Spettrometro di Massa

Separa ioni con rapporto _q^m diverso. Quando la carica entra nella regione di campo magnetico viene deviata con raggio r = _m^q·B verso dx/sx a seconda del segno della carica.

Ora _X^q·B = 2_mV^qB

da cui ricavo _m^X·q·B = _X·q·B^2V

Effetto Hall

Il conduttore è immerso in un campo magnetico costante perpendicolare al conduttore.

Le cariche in moto risentono della F_L e si accumulano sulla faccia superiore. (Sia che siano ⊕ che ⊖)

Quindi posso innanzitutto conoscere il segno delle cariche che sono in movimento. Quando si accumula un certo quantitativo di cariche di segno opposto respingiamoci su una faccia e la sua opposta si viene a creare una ΔV che va a contrastare la forza di Lorentz.

F = q · v · B + q · E = 0

v · B + E = 0

_i^B + ^{n e}ΔV = 0

Calibrando la sonda di Hall in B noto conosco la densità di ioni.

_n = ^iB e·d·ΔV

J = _i^A = neV → |v_s| = ^ineA

A = h·d

Mutua induzione

Consideriamo due spire percorse da corrente. I campi B₂ e B₁ entrano in parte anche nell'altra spira. Si ha quindi:

• Φ ₁ (B) = L₁ · i₁ + M₁₂ · i₂
• Φ ₂ (B) = L₂ · i₂ + M₂₁ · i₁

Dove i primi termini costituiscono l'autoflusso

Si può riscrivere:

• Φ ₁ (B) = L₁ · I₁ + M · i₂
• Φ ₂ (B) = L₂ · i₂ + M · I₁

La simmetria della situazione suggerisce che M₂₁ = M₁₂ = M e viene definito coefficiente di mutua induzione

Se almeno una delle due correnti è variabile nel tempo:

• L · di₁/dt + M · di₂/dt = d(Φ ₁(B))/dt = - E_i1
• L · di₂/dt + M · di₁/dt = d(Φ ₂(B))/dt = - E_i2

Consideriamo ora due circuiti accoppiati:

• E₁ = R₁ i₁ + L₁ di₁/dt + M di₂/dt
• E₂ = R₂ i₂ + L₂ di₂/dt + M di₁/dt

Il lavoro per mantenere la corrente in circolazione è fatto dal generatore

dW = E₁i₁dt + E₂i₂dt = ... = (R₂i₁² + R₂i₂²)dt + L₁i₁di₁ + L₂i₂di₂ + M(i₁di₂)

Sostituo E₁ e E₂

W = _TE ∫(R₁ i₁² + R₂ i₂²) dt + _j1 ∫L₁ i₁ di₁ + _j2 ∫L₂i₂ di₂ + _i1 ∫ M di₁ i₂ = W_TE + 1/2 L₁ i₁² + 1/2 L₂i₂² + M i₂² + M i₁ i₂

Consideriamo ora le eq. di D’alembert, ricordando che sono nulle le derivate parziali rispetto a y e z.

\(\nabla^{2} \vec{E} = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}}\)

\(\nabla^{2} \vec{B} = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \vec{B}}{\partial t^{2}}\)

\(\nabla^{2}E_{y} = \frac{\partial^{2}E_{y}}{\partial x^{2}} - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}E_{y}}{\partial t^{2}}\)

\(\nabla^{2}B_{z} = \frac{\partial^{2}B_{z}}{\partial x^{2}} - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}B_{z}}{\partial t^{2}}\)

Ciascuna componente del campo \(\vec{E}\) e campo \(\vec{B}\) sarà descritta da una c.l. di un’onda progressiva e una regressiva.

Consideriamo per semplicità solo l’onda progressiva. Per il campo \(\vec{E}\) vale:

\(E_{y} = f[(x-ct)+g(t)]\) con \([p=x-ct]\)

\(B_{z} = F(x-ct)=F(p)\)

Le derivate prime sono:

\(\frac{\partial E_{y}}{\partial x} = \frac{\partial E_{y}}{\partial p} \cdot \frac{\partial p}{\partial x} = \frac{\partial E_{y}}{\partial p}\)

\(\frac{\partial E_{y}}{\partial t} = \frac{\partial E_{y}}{\partial p} \cdot \frac{\partial p}{\partial t} = -c \cdot \frac{\partial E_{y}}{\partial p}\)

\(\frac{\partial B_{z}}{\partial t} = -c \frac{\partial F}{\partial p}\)

\(\Rightarrow \frac{\partial B_{z}}{\partial x} = \frac{\partial F}{\partial p}\)

\(B_{z} = \frac{1}{c} E_{y}\)

\(\frac{\partial B_{z}}{\partial x} = -\frac{1}{c} \frac{\partial E_{y}}{\partial t}\)