Fisica Generale 1 - Dimostrazioni Professore Daniele Di Castro

Dimostrazioni di fisica

Derivata di un versore

Δû = û(t+Δt) - û(t)

lim(Δû/Δt) = dû/dt

dû/dt = dØ/dt û_N

Sistema inerziale

V_c = cost, Ø_e = 0, w = 0

ā' = ā + Ø_ex + W(senØ)

F̅ = mĉ̅' = m, ŝ̅ = F̅

Teorema del momento angolare

L = R x mV

L V.G. in funz. di T - Anche L Vi Dipende

dl─ = d(R x mV) = dR x mV + R x d(mV) / dt

Vettoretto Se Ecco FrevvuL

dl ─ = R x m dV ─ R x mdt / dt = R x ma = R x F = M^o

Teorema del momento angolare per sistemi di punti

L̇ = ∑ (r̄_i × m_iv̄_i)

r̄_a + r̄_i = r̄_i ; r̄_i = r̄_i - r̄_r

d/dt ( ∑ (r̄_i × m_iv̄_i) ) = ∑ ( dr̄_i/dt × m_iv̄_i )

= ∑ ( dr̄_i/dt × m_iv̄_i ) - ∑ (v̄_i × m_iv̄_i)

L̇_a (dr̄_i/dt) = dr̄_t/dt = v̄_i - v̄_r

= m_iv̄ = m_iȁv̄ = F̄_i = F̄_i^t + F̄_i^(e)

= ∑ ( (v̄_i - v̄_a) × m_iv̄_i + ∑ ( F̄_i^(e) + F̄_i^(t) ) × r̄_a )

= ∑ (v̄_i - v̄_a) × m_iv̄_i + ∑ F̄_i^(e) × r̄_a

= ∑ v̄_a × m_iv̄_i + ∑ M̄_e^(t) + M̄^(e)

= - v̄_a × ∑ (m_iȁ_i)

= mȁ_a × ∑ m_iȁ_i

Dimostrazione di M_ij = 0

M_Fj = ρ_i^→ x F_j^→;

M_Fij = ρ_j^→ x F_ij^→;

F_ji^→ = -F_ij^→

M_i^→ = C'_i^→ x F_i^→ + C'_j^→ x F_j^→ = ρ_i^→ x F_ij^→ - ρ_j^→ x F_ji^→ = (ρ_i^→ - ρ_j^→) x F_ji^→

= l_ji^→ / / F_ji^→

lim_{Mij^→ -> 0} ==> M_ij^→ = 0

Momento risultante dovuto alle sollecitazioni

d/dt L = M(G) - V₀ x mv_cm^→

O_R^* = ∑ M_i x F_e

a = a_i - a_CM = m a = M a_CM

Energia cinetica

L_R = L - F_app

M^* = R x L_e = R_i x F - F_app

L = L + L_CM

1. L = L + L_CM

PRENDO C.O.G. COINCIDENTE CON SIST. INERZ. -0 = ∑ M_iV_eM + ∑ m_i v_i = 0

L_i(H_i + l_CM) x m_i (V_i + V_CM) = ∑ (R_i x m_i v_i) + H_i x m_i V_eM + l_CM x m_i v̇_i + l_{CMx mi V̇CM)}

= ∑ R_i x m_i V_i + ∑ R_i x m_i v̇_CM + ∑ H_CM x m_i V̇_i + ∑ H_i x m_i v̇_CM = O

L_CM + L_i

Teorema di Carnot

1. E_K = E_C + E_KEM
2. E_K = Σ_i m_i V_i² _i = Σ_i m_i (V_i + V_CM)² = Σ_i m_i (V_i² + V_CM² + 2V_iV_CM)

= Σ_i m_iV_i² + Σ_i m_iV_CM² + Σ_i m_i V_iV_CM = E_C + E_KEM

Momento rispetto ad altro polo

M_P = Σ_i (r_i + ℓ_i ) × F_i = Σ_i r_i × F_i + Σ_i ℓ_i × F_i

= − Σ Ω × R + M_P

Momento angolare e di inerzia del corpo rigido

_li = _ri × m_{i V`i</sub> → <sub>l`} = ^mmΣ m_{i V`i</sub> + Σ m<sub>i Ω W`}×_ri

[_Lz]_Σ = [L]_Σ = Lcos(^π/₂ − θi) = Lsinθ = Σm_iWRisinθi

= Σ m_iRi² _WLz = Σ m_{i Ri}² _W = I_{Ω WL`</sub> = I<sub>z W`} − ^{MdU`</sup>/<sub>dt</sub> = I<sub>Ω</sub> <sup>dφ`}/_dt

→ se assi notori → assi simmetria

Huygens-Steiner

x = x’, y = α + y’, z = β + z’

→ I_z = Σ m_{i Ri}² = Σ m_i (x’_i² + (α + y’)²) = Σ m(x’_i²+ y’_i²) + Σ.^m_i α² ".$C_{i}". + Σi ^m_i α₁ y’_i² = I_CM + mα²

Σ m_i y’_i = m

Teorema di Carnot

H.P. M_X > M_R

Sono cicli quindi ΔU=0 → Q=W

W = Q₂ + Q₁

W = Q_R − Q₂

LDA H.P. ☞W / Q₂' ☞ Q₂ > Q₂

Q₂ − Q₂ > 0

Inverso RΔQ M.N.A. se Q₂ > Q₂' → Q₁ − Q₁' > 0

L = Q = Q₁ − Q₁' > 0

Calore assorbito da T₁Q=Q₂' < 0

Calore ceduto a T₂

I lavori si annullano

L'annull. L'unico risultato è il passaggio di calore da T₁ a T₂

Viola il secondo enunciato di Clausius ☞