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1. Vettori
Dato uno spazio vettoriale:
Segmento orientato:
- F. O, a O a P corrisponde il mancamento: ROP
- P: ROP = ROP = P - O
Fissato 0 a O:
- P - O = ROP
Equivalenti
- Stesso modulo
- Stessa direzione
- Stesso verso
Vettore: ciò che hanno in comune tutti i vettori:
- Equivalenti
V ha modulo, direzione, verso.
- Libero
- Apparato (V, P)
Insette vettore esterno punto di applicazione.
Vettore polare
Vettore assiale
Lo specchio cambia vettura
- Lo specchio cambia vettura
Grandezze di un vettore:
- Modulo caso (O, P)
Direzione una qualunque retta a livello su cui fare
Verso: senso di percorrenza
Vettore Opposto:
Si chiama −V un vettore con direzione uguale e verso opposto.
Vettore Nullo:
0 è il vettore con |0| = 0.
Somma di Vettori:
- Regola del Δ: immagina di compiere uno spostamento da A a B e poi da B a C
- Regola del □: costruisci il parallelogramma.
Proprietà:
- Commutativa: a + b = b + a
- Associativa: (a + b) + c = a + (b + c)
- Esiste Inverso: a − a
- Esiste Inverso: a + (−a) = 0
Differenza tra Vettori:
- −V + V = V
Somma di un vettore all'opposto dell'altro vettore:
a − b = a + (−b)
Non è commutativa:
a − b ≠ b − a
SISTEMI DI COORDINATE
Terna di numeri (a, b, c) che identifica univocamente un punto P dello spazio
Coordinate Cartesiane
P(x, y, z)
- x ∈ ]-∞, +∞[
- y ∈ ]-∞, +∞[
- z ∈ ]-∞, +∞[
- x: dist. piano YZ
- y: dist. piano XZ
- z: dist. piano XY
Coordinate Cilindriche
P(R, φ, z)
- R: distanza radiale [0,+∞[
- φ: angolo azimutale [0, 2π]
- z: dist. piano XY [-∞,+∞[
Coordinate Sferiche
P(ρ, θ, φ)
- ρ: raggio (dist. origine)
- θ: angolo polare (colatitudine) [0, π]
- φ: angolo azimutale (longitudine) [0, 2π]
Definizioni
\(\hat{m} = \rho \frac{d\hat{\ell}(s)}{ds} \Rightarrow \hat{t\'} = \lim_{\Delta s \to 0} \frac{\hat{\ell}(s + \Delta s) - \hat{\ell}(s)}{\Delta s}\)
Grafico
- Il triangolo è solo simili immaginando un ragionamento di un poligono circoscritto.
- \( \hat{m} = \rho \frac{\alpha \hat{t}}{ds} \)
- Ritornati a \(\hat{\alpha}{e}\) utilizzare entrambi i casi.
- Notare: i triangoli sono isosceli quindi \( \pi = \alpha + 2 \beta \)
- Quando \(\Delta s \to 0\) si ha che \(\alpha \to 0\) e che \(\beta \to \pi/2\)
\(\Delta \hat{\ell}\) ha definizione musicale (o normale).
- \(\Delta \hat{\ell} = \hat{\ell} \Delta \hat{\ell}' \hat{m}\)
- I triangoli sono simili (isosceli entrambi) o forse sono simili perché isosceli e un angolo uguale… \(\frac{\Delta \hat{\ell}}{\overline{AB}} = \frac{1}{\rho}\)
\(\Rightarrow \left\| \Delta \hat{\ell} \right\| = \frac{1}{\rho} \Delta s\)
\(\hat{m} = \rho \lim_{\Delta s \to 0} \frac{1}{\hat{\Delta s}} \hat{m}\) \(\rightarrow \hat{m}' = \hat{m}^\prime\)
Si definisce:
\(\hat{b} = \hat{t} \land \hat{m}\)
Versore Binormale
\(\hat{t} \cdot \hat{t} = 1\)\(\hat{t}\cdot\hat{m} = \hat{t} \cdot \hat{b} = 0\)\(\hat{b}\cdot\hat{b} = 1\) \(\tau \hat{m} = \hat{b}\)\(\hat{m} \cdot \hat{b} = \hat{t}\cdot\hat{m}\)\(\hat{b} \cdot \hat{t} = \hat{m}\) \(\hat{t} \cdot \hat{b} = 0\)\(\hat{m} \cdot \hat{m} = 0\)\(\hat{b} \cdot \hat{b} = 0\)Rappresentazione dei vettori:
3. ANALISI VETTORIALE
DIPENDENZA DA UN PARAMETRO
FUNZIONE SCALARE
- f: S [ϵ ℝ] → f(S) [ϵ ℝ]
FUNZIONE VETTORIALE
- V: S [ϵ ℝ] → V(S) [ϵ V]
SE LA DIPENDENZA È DATA DA UNA PARTICOLA LOCALIZZATA IN P(x, S, z) POSSO DEFINIRE IL CAMPO SCALARE E IL CAMPO VETTORIALE.
CAMPO SCALARE
- f: (x, y, z) ϵ ℝ³ → f(x, y, z) ϵ ℝ
CAMPO VETTORIALE
- V: (x, y, z) ϵ ℝ³ → V(x, y, z) ϵ V
Esempio: campo vettoriale velocità del vento
DERIVATA DI UN VETTORE
SIA V(S) UNA FUNZ. VETTORIALE E S UNA VARIABILE
- dV/dS = Lim [V(S+ΔS) - V(S)]/ΔS
- ΔS→0
- = lim ΔS→0 dV/dS
LA DERIVATA DI UN VETTORE È UN VETTORE.
REGOLE DI DERIVAZIONE DI UN VETTORE
- d/dt (a * b) = da/dt * b + db/dt * a
- d/dt (α a) = α da/dt
- d/dt (a + b) = da/dt + db/dt
- dV/dt = dVx/dt i + dVy/dt j + dVz/dt k
- d/dt (a ∧ b) = da/dt ∧ b + a ∧ (db/dt)
IN BASE CARTESIANA
BASE INTRINSECA
d r̅ = ds * t̅
|t̅| = |ds|
AREE ELEMENTARI VOLMI ELEMENTARI
Cartesiana:
- dAxy = dx dy
- dAxz = dx dz
- dAyz = dy dz
dV̅ = dAxy dz = dx dy dz
Cilindrica:
- Sr = R dα dz
- Sz = dα dz
- S3 = R dα dz
dV̅ = R dα rq dz
Sferica:
- Sn = ρ dρ dσ
- Sλ = ρ2 sinσ dρ dq
- S3 = ρ2 sinσ dσ dα
dV̅ = ρ2 sinσ dρ dσ dq
Differenza tra velocità vettoriale istantanea/media
Si tratta della velocità indotta dal tangente al cerchio descritto. Nel limite in cui Δt → 0 la corda e l'arco coincidono e ciò che v(t) = V(t).
La velocità media è quella data dal tratto s compiuto in Δt nelle due condizioni in cui la corda non tende a coincidere con il segmento rettilineo dell'arco, in questo caso il rapporto diventa
- Um(t, Δt) ≥ V(t)
essendo nel limite in cui v = 0 e percorriamo raggio.
Velocità areolare
Def A̅ = 1/2 r̅op ∧ v̅
Velocità angolare vettoriale
- per andare a descrivere velocità areolare istantanea
- A = Lim ΔS/Δt→0 dt
Nel limite in cui Δt va a 0, ΔS si può calcolare come l'area del triangolo che ha r come cateto di ampiezza ridotta. Come base a r descriverebbero quindi un segmento istantaneo e tangente alla tangente.
Nel limite in cui Δt→0, ∠β assume ca direzione di v̅
- ⇒ Lim ∠β = ∠r ∧ P = π - β per Δt→0 ⇒
- A = Lim [(1/2 ∥r∥∥v∥sinθ)/Δt] ⇒
- A = Lim [(1/2) r̅op ∧ v̅] ⇒
- (1/2) Lim [(∥r∥∥v∥sinθ)/Δt]
⇒ (1/2) ∥r∥∥v∥ |sinθ|
= 1/2 r̅op ∧ v̅
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